高考数学压轴专题新备战高考《数列》基础测试题附答案
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【高中数学】数学高考《数列》试题含答案
一、选择题
1．设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且Sn为数列{bn}的前n项和.若a2＝1，a10＝16且a6＝b6，则S11＝（ ）
A．20 B．30 C．44 D．88
【答案】C
【解析】
【分析】
设等比数列{an}的公比为q，由a2＝1，a10＝16列式求得q2，进一步求出a6，可得b6，再由等差数列的前n项和公式求解S11.
【详解】
设等比数列{an}的公比为q，由a2＝1，a10＝16，
得810216aqa，得q2＝2.
∴4624aaq，即a6＝b6＝4，
又Sn为等差数列{bn}的前n项和，
∴1111161111442bbSb.
故选：C.
【点睛】
本题考查等差数列与等比数列的通项公式及性质，训练了等差数列前n项和的求法，是中档题.
2．已知等差数列na中，若311,aa是方程2210xx的两根，单调递减数列*nbnN通项公式为27nbnan.则实数的取值范围是（ ）
A．,3 B．1,3 C．1,3 D．3,
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出71a，再根据nb是递减数列，得到121n对*nN恒成立，即得解.
【详解】
∵311,aa是方程220xx的两根，∴3112aa.
∵na是等差数列，∴311722aaa，∴71a，
∴2nbnn，又∵nb是递减数列， ∴10nnbb+-
则22110nnnn，∴2110n，
∴121n对*nN恒成立，
∴13.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查等差中项的应用，考查数列的单调性和数列不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤15斤，1斤16两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半．若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（ ）
A．9两 B．266127两 C．26663两 D．250127两
【答案】B
【解析】
【分析】
先计算出银的质量为266两，设分银最少的为a两，由题意可知7人的分银量构成首项为a，公比为2的等比数列，利用等比数列的求和公式可求得a的值.
【详解】
共有银161610266两，
设分银最少的为a两，则7人的分银量构成首项为a，公比为2的等比数列，
故有71226612a，所以266127a，
故选：B．
【点睛】
本题以元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提出的问题为背景，贴近生活，考查了等比数列的求和问题，本题注重考查考生的阅读理解能力、提取信息能力、数学建模能力以及通过计算解决问题的能力，属中等题．
4．已知数列na为等比数列，前n项和为nS，且12a，1nnba，若数列nb也是等比数列，则nS（ ）
A．2n B．31n C．2n D．31n
【答案】C 【解析】
【分析】
设等比数列na的公比为q，写出,nnab.由数列nb是等比数列，得2213bbb，求出q，即求nS.
【详解】
设等比数列na的公比为q，112,2nnaaqQ，
121nnbq，
13b，221bq，2321bq，
nbQ也是等比数列， 2213bbb，即2221321qq
解得1q，2,2nnaSn.
故选：C.
【点睛】
本题考查等比数列的性质，属于基础题.
5．已知数列na的前n项和为nS，若2nnSan，则9S（ ）
A．993 B．766 C．1013 D．885
【答案】C
【解析】
【分析】
计算11a，1121nnaa，得到21nna，代入计算得到答案.
【详解】
当1n时，11a；
当2n时，1121nnnnaSSa，∴1121nnaa，
所以1na是首项为2，公比为2的等比数列，即21nna，∴1222nnnSann，
∴1092111013S．
故选：C.
【点睛】
本题考查了构造法求通项公式，数列求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.
6．已知公比为q的等比数列na的首项10a，则“1q”是“53aa”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
【分析】
根据等比数列的性质可得530,0aa，若53aa，可得21q，然后再根据充分条件和必要条件的判断方法即可得到结果．
【详解】
由于公比为q的等比数列na的首项10a，
所以530,0aa，
若53aa，则233aqa，所以21q，即1q或1q，
所以公比为q的等比数列na的首项10a，
则“1q”是“53aa”的充分不必要条件，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的相关性质和充分必要条件的判断方法，熟练掌握等比数列的性质是解题的关键.
7．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（ ）
A．1.5尺 B．2.5尺 C．3.5尺 D．4.5尺
【答案】C
【解析】
【分析】
结合题意将其转化为数列问题,并利用等差数列通项公式和前n项和公式列方程组,求出首项和公差,由此能求出结果.
【详解】
解:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列na,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,
∴111913631.598985.52aadadSad,
解得113.5a,1d,
∴小满日影长为1113.510(1)3.5a（尺）.
故选C.
【点睛】
本题考查等差数列的前n项和公式,以及等差数列通项公式的运算等基础知识,掌握各公式并能熟练运用公式求解,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,属于基础题.
8．数列na的通项公式为nancnN．则“2c”是“na为递增数列”的（ ）条件．
A．必要而不充分 B．充要 C．充分而不必要 D．即不充分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】
根据递增数列的特点可知10nnaa，解得12cn，由此得到若na是递增数列，则32c，根据推出关系可确定结果.
【详解】
若“na是递增数列”，则110nnaancnc，
即221ncnc，化简得：12cn，
又nN，1322n，32c，
则2c¿na是递增数列，na是递增数列2c，
“2c”是“na为递增数列”的必要不充分条件．
故选：A.
【点睛】
本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.
9．等差数列{}na的前n项和为nS，已知2611203aaaa，则21S的值为（ ）
A．63 B．21 C．63 D．21
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等差数列性质，原式可变为220616113()aaaaa，即可求得21112163Sa.
【详解】
∵261116203aaaaa，
∴220616113()aaaaa，
∴113a，∴21112163Sa， 故选：C．
【点睛】
此题考查等差数列性质和求和公式，需要熟练掌握等差数列基本性质，根据性质求和.
10．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第n个三角形数为na，则下面结论错误的是（ ）
A．1(1)nnaann B．20210a
C．1024是三角形数 D．123111121nnaaaan
【答案】C
【解析】
【分析】
对每一个选项逐一分析得解.
【详解】
∵212aa，323aa，434aa，…，由此可归纳得1(1)nnaann，故A正确；
将前面的所有项累加可得1(1)(2)(1)22nnnnnaa，∴20210a，故B正确；
令(1)10242nn，此方程没有正整数解，故C错误；
1211111111212231naaannLL122111nnn，故D正确.
故选C
【点睛】
本题主要考查累加法求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
11．在等差数列{}na中，2436aa，则数列{}na的前5项之和5S的值为（ ）
A．108 B．90 C．72 D．24
【答案】B
【解析】
由于152436aaaa，所以1555()5369022aaS，应选答案A．
点睛：解答本题的简捷思路是巧妙运用等差数列的性质152436aaaa，然后整体代换前5项和中的15=36aa，从而使得问题的解答过程简捷、巧妙．当然也可以直接依据题设条件建立方程组进行求解，但是解答过程稍微繁琐一点．
