八年级数学全等三角形单元试卷(word版含答案)
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八年级数学全等三角形单元试卷（word版含答案）
一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
1．如图，在锐角△ABC中，AB=5，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是______．
【答案】5
【解析】
【分析】
作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知MH=MN，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】
如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值．
∵AD是∠BAC的平分线，∴MH=MN，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短）．
∵AB=5，∠BAC=45°，∴BH== 5．
∵BM+MN的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=5．
故答案为5．
【点睛】
本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．
2．如图，在ABC中，ABAC，点D和点A在直线BC的同侧，
,82,38BDBCBACDBC，连接,ADCD，则ADB的度数为__________．
【答案】30°
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理以及角的和差求出ABD的度数，然后作点D关于直线AB的对称点E，连接BE、CE、AE，如图，则BE=BD，∠EBA=∠DB，∠BEA=∠BDA，进而可得∠EBC=60°，由于BD=BC，从而可证△EBC是等边三角形，可得∠BEC=60°，EB=EC，进一步即可根据SSS证明△AEB≌△AEC，可得∠BEA的度数，问题即得解决．
【详解】
解：∵ABAC，82BAC，∴180492BACABC，
∵38DBC，∴493811ABD，
作点D关于直线AB的对称点E，连接BE、CE、AE，如图，则BE=BD，∠EBA=∠DBA=11°，∠BEA=∠BDA，
∴∠EBC=11°+11°+38°=60°，
∵BD=BC，∴BE=BC，∴△EBC是等边三角形，∴∠BEC=60°，EB=EC，
又∵AB=AC，EA=EA，
∴△AEB≌△AEC（SSS），∴∠BEA=∠CEA=1302BEC，
∴∠ADB=30°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定和性质、全等三
角形的判定和性质以及轴对称的性质等知识，涉及的知识点多、综合性强，难度较大，作点D关于直线AB的对称点E，构造等边三角形和全等三角形的模型是解题的关键．
3．如图，在RtABC△中，ACBC，D是线段AB上一个动点，把ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A处，当AD平行于RtABC△的直角边时，ADC的大小为________．
【答案】112.5或67.5
【解析】
【分析】
当AD平行于RtABC△的直角边时，有两种情况，一是当ADBC时，二是当ADAC时，两种情况根据折叠的性质及等腰三角形的性质进行角度的计算即可．
【详解】
如图1，当点D在线段AB上，且ADBC时，45ADBB，
45180ADCADC
，解得112.5ADCADC.
图1
如图2，当ADAC时，45ADBA，
45180ADCADC
，解得67.5ADCADC.
图2
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质，等腰直角三角形的性质，掌握折叠的性质是解题关键．
4．如图，在△ABC中，P，Q分别是BC，AC上的点，PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若AQPQ，PRPS，那么下面四个结论：①ASAR；②QP//AR；③△BRP≌△QSP；④BRQS，其中一定正确的是（填写编号）_____________.
【答案】①，②
【解析】
【分析】
连接AP，根据角平分线性质即可推出①，根据勾股定理即可推出AR=AS，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出QP∥AB即可；在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS．无法判断△BRP≌△QSP也无法证明BRQS．
【详解】
解：连接AP
①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴点P在∠BAC的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2-PR2，AS2=AP2-PS2，
∵AP=AP，PR=PS，
∴AR=AS，
∴①正确；
②∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP∥AR，
∴②正确；
③在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，
不满足三角形全等的条件，故③④错误；
故答案为：①②.
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质与勾股定理的应用，熟练掌握根据垂直与相等得出点在角平分线上是解题的关键.
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC的延长线上，G是AC上一点，且CG＝CD，F是GD上一点，且DF＝DE．若∠A＝100°，则∠E的大小为_____度．
【答案】10
【解析】
【分析】
由DF=DE，CG=CD可得∠E=∠DFE，∠CDG=∠CGD，再由三角形的外角的意义可得∠GDC=∠E+∠DFE=2∠E，∠ACB=∠CDG+∠CGD=2∠CD G，进而可得∠ACB=4∠E，最后代入数据即可解答.
【详解】
解：∵DF＝DE，CG＝CD，
∴∠E＝∠DFE，∠CDG＝∠CGD，
∵GDC＝∠E+∠DFE，∠ACB＝∠CDG+∠CGD，
∴GDC＝2∠E，∠ACB＝2∠CDG，
∴∠ACB＝4∠E，
∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，
∴∠ACB＝40°，
∴∠E＝40°÷4＝10°．
故答案为10．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质以及三角形外角的定义，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质和三角形的外角的定义确定各角之间的关系.
6．如图，在平面直角坐标系中，点 A,B 的坐标分别是（1,5）、（5,1）， 若点 C 在 x 轴
上，且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的 C 点共有_____________个
【答案】5
【解析】
【分析】
分别以A、B为圆心，AB为半径画圆，及作AB的垂直平分线，数出在x轴上的点C的数量即可
【详解】
解：由图可知：点 C 在 x 轴上，且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的 C 点共有5个
故答案为:5
【点睛】
本题考查了等腰三角形的存在性问题，掌握“两圆一线”找等腰三角形是解题的关键
7．已知等边△ABC中，点D为射线BA上一点，作DE=DC，交直线BC于点E,∠ABC的平分线BF交CD于点F，过点A作AH⊥CD于H，当EDC=30，CF=43，则DH=______．
【答案】23
【解析】
连接AF.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°.
∵DE=DC，∠EDC=30°，
∴∠DEC=∠DCE=75°，
∴∠ACF=75°-60°=15°.
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF.
在△ABF和△CBF中，ABBCABFCBFBFBF＝＝＝，
∴△ABF≌△CBF，
∴AF=CF，
∴∠FAC=∠ACF=15°，
∴∠AFH=15°+15°=30°.
∵AH⊥CD，
∴AH=12AF=12CF=23.
∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，
∴∠BDE=75°-60°=15°，
∴∠ADH=15°+30°=45°，
∴∠DAH=∠ADH=45°，
∴DH=AH=23.
故答案为23.
点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键，注意辅助线的作法.
8．如图，D为ABC内一点，CD平分ACB，BDCD，AABD，若8AC，5BC，则BD的长为_______.
【答案】1.5
【解析】
【分析】
延长BD交AC边于点E，根据BD⊥CD,CD平分∠ACB，得到三角形全等，由此求出AE 的
长，再根据AABD，求出BE 的长即可求得BD.
【详解】
延长BD交AC于点E，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC=∠EDC=900，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ECD
又∵CD=CD
∴△BCD≌△ECD
∴BD=ED,CE=BC=5，
∴AE=AC-CE=8-5=3，
∵AABD,
∴BE=AE=3，
∴BD=1.5
【点睛】
此题考察等腰三角形的性质，延长BD构建全等三角形是证明此题的关键.
9．如图，在四边形ABCD中，∠A=60°， ∠ADC=∠ABC=90°，在AB、AD上分别找一点F、E，连接CE、EF、CF，当△CEF的周长最小时，则∠ECF的度数为______．
【答案】60°
【解析】
【分析】
此题需分三步：第一步是作出△CEF的周长最小时E、F的位置（用对称即可）；第二步是证明此时的△CEF的周长最小（利用两点之间线段最短）；第三步是利用对称性求此时∠ECF的值.
【详解】
分别作出C关于AD、AB的对称点分别为C1、C2，连接C1C2，分别交AD，AB于点E、F再连接CE、CF此时△CEF的周长最小，理由如下：
