数学人教版八年级下册函数的定义

第十九章一次函数19.1 函数1．常量和变量在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为__________．（1）变量和常量是相对而言的，变化过程不同，它们可能发生改变，判断的前提条件是“在同一个变化过程中”，当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变，例如，在s=vt中，当s一定时，v，t为变量，s为常量；当t一定时，s，v为变量，而t为常量．（2）“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，不能认为式中出现的字母就是变量，如在一个匀速运动中的速度v就是一个常量．（3）变量、常量与字母的指数没有关系，如S=πr2中，变量是“S”和“r”，常量是“π”．（4）判断一个量是不是变量，关键是看其数值是否发生变化．2．函数的定义一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有__________确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．对函数定义的理解，主要抓住以下三点：（1）有两个变量．（2）函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化．（3）函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同取值，y的值可以相同．在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量即为该自变量的函数．3．自变量取值范围的确定使函数有意义的自变量的取值的全体叫做__________的取值范围．当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使实际问题有意义．4．函数解析式及函数值函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的__________．（1）函数解析式是等式．（2）函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数．（3）用数学式子表示函数的方法叫做解析式法．函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a，y=b时，b 叫做自变量x的值为a时的函数值．5．函数的图象及其画法一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．K知识参考答案：1．常量2．唯一3．自变量4．解析式K—重点常量与变量的判断，函数自变量取值范围的确定，函数解析式及函数值的确定，函数的图象及其画法K—难点函数的定义的理解K—易错求自变量的取值范围时，考虑不周出错一、常量和变量常量和变量不是绝对的，必须根据具体的变化过程进行判断．【例1】在圆的面积公式S=πr2中，是常量的是A．S B．πC．r D．S和r 【答案】B【解析】在圆的面积公式S=πr2中，π是常量，S、r是变量，故选B．二、函数的定义判断一个关系是不是函数关系的方法：第一要看是不是一个变化过程；第二要看在这个变化过程中是不是有两个变量；第三要看其中一个变量每取一个确定的值，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应． 【例2】下列变量之间的关系中，具有函数关系的有①三角形的面积与底边；②多边形的内角和与边数；③圆的面积与半径；④y =21x -中的y 与x ． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】对于①，设三角形的面积为S ，底边为a ，高为h ，则有S =12ah ，由于h 为变量，故不满足函数关系； 对于②，设多边形的内角和为y ，边数为n （n ≥3且n 为整数则有y =（n -2）⨯180°，满足函数关系；对于③，设圆的面积为S ，半径为r ，则有S =πr 2，满足函数关系；对于④，21y x =-满足函数关系，故具有函数关系的有三个，故选C ．三、自变量取值范围的确定函数关系式中有分式、二次根式、零指数幂等情况综合时，自变量的取值范围一定要满足每一种情况，不要出现遗漏．【例3】函数y =3x -+12x -中自变量x 的取值范围是 A ．3x ≤B ．3x <且2x ≠C ．3x ≤且2x ≠D ．2x ≠【答案】C【解析】由题意，得3020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得x ≤3且x ≠2，故选C ．四、函数解析式及函数值（1）要正确理解函数与函数值：函数是一个关系式，是一种对应关系，是对变量而言的；函数值是对具体数值而言的．（2）一个函数的函数值一般是随着自变量的变化而变化的．（3）求函数值的方法：将自变量的取值代入函数解析式进行运算即可．【例4】在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=3t2+2t+1，则当t=4时，该物体所经过的路程为A．28米B．48米C．57米D．88米【答案】C【解析】把t=4代入s=3t2+2t+1，得s=3×42+2×4+1=57（米）．故选C．五、函数的图象（1）函数图象上的任意点（x，y）中的x，y满足函数解析式．（2）满足函数解析式的任意一对（x，y）的值，所对应的点一定在函数的图象上．（3）利用函数国象可以求方程的解、不等式的解集、方程组的解，还可以预测变量的变化趋势．【例5】小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，加快了骑车速度，下面是小明离家后他到学校剩下的路程s关于时间t的图象，那么符合小明行驶情况的图象大致是A．B．C．D．【答案】D【解析】因为开始以正常速度匀速行驶---停下修车---加快速度匀驶，可得s先缓慢减小，再不变，在加速减小．故选D．【例6】如图，图象（折线OEFPMN）描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系，下列说法中错误的是A．第3分时汽车的速度是40千米/时B．第12分时汽车的速度是0千米/时C．从第3分到第6分，汽车行驶了120千米D．从第9分到第12分，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时【答案】C【解析】横轴表示时间，纵轴表示速度．当第3分的时候，对应的速度是40千米/时，A 对； 第12分的时候，对应的速度是0千米/时，B 对；从第3分到第6分，汽车的速度保持不变，是40千米/时，行驶的路程为40×120=2千米，C 错； 从第9分到第12分，汽车对应的速度分别是60千米/时，0千米/时，所以汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时，D 对．综上可得：错误的是C ．故选C ．1．在三角形面积公式S =12ah ，a =2中，下列说法正确的是 A ．S ，a 是变量，12，h 是常量 B ．S ，h 是变量，12是常量 C ．S ，h 是变量，12，a 是常量D ．S ，h ，a 是变量，12是常量2．某市居民用电价格是0.58元/度，居民应付电费为y 元，用电量为x 度，其中 A ．0.58，x 是常量，y 是变量 B ．0.58是常量，x ，y 是变量 C ．0.58，y 是常量，x 是变量D ．x ，y 是常量，0.58是变量3．关于变量x ，y 有如下关系：①x -y =5；②y 2=2x ；③：y =|x |；④y =3x．其中y 是x 的函数的是 A ．①②③B ．①②③④C ．①③D ．①③④4．下列关系式：①x 2-3x =4；②S =3.5t ；③y =32x -；④y =5x -3；⑤C =2πR ；⑥S =v 0t +12at 2；⑦2y +y 2=0，其中不是函数关系的是 A ．①⑦B ．①②③④C ．④⑥D ．①②⑦5．函数2y x =+的自变量的取值范围是A ．x ≥-2B ．x <-2C ．x >-2D ．x ≤-26．一根弹簧长8 cm ，它所挂物体的质量不能超过5 kg ，并且所挂的物体每增加1 kg ，弹簧就伸长0.5 cm ，则挂上物体后弹簧的长度y （cm ）与所挂物体的质量x （kg ）（0≤x ≤5）之间的关系式为A．y=0.5（x+8）B．y=0.5x-8 C．y=0.5（x-8）D．y=0.5x+87．小明同学准备从家打车去南坪，出门后发现到了拥堵使得车辆停滞不前，等了几分钟后他决定步行前往地铁站乘地铁直达南坪站（忽略中途等站和停靠站的时间），在此过程中，他离南坪站的距离y（km）与时间x（h）的函数关系的大致图象是A．B．C．D．8．如图是某市某一天的温度随时间变化的图象，下列说法错误的是A．15点时温度最高B．3点时温度最低C．最高温度与最低温度的差是12 °CD．21点时的温度是30 °C9．小亮帮母亲预算家庭4月份电费开支情况，下表是小亮家4月初连续8天每天早上电表显示的读数：日期/日 1 2 3 4 5 6 7 8电表读数/度21 24 28 33 39 42 46 49 表格中反映的变量是__________，自变量是__________，因变量是__________．10．函数y=23xx-+的自变量x的取值范围是__________．11．已知点M（3，5）在函数y=ax2-2x+2的图象上，则a等于__________．12．“十一”期间，小明和父母一起开车到距家200 km的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45 L，当行驶150 km时，发现油箱余油量为30 L（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．（1）求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程x（km）与剩余油量Q（L）的关系式；（2）当x=280 km时，求剩余油量Q的值．13．在等腰△ABC中，底角x为（单位：度），顶角y（单位：度）．（1）写出y与x的函数解析式；（2）求自变量x的取值范围．14．已知两个变量x，y之间的变化情况如图所示，根据图象回答下列问题：（1）写出y的变化范围；（2）求当x=0，-3时，y的对应值；（3）求当y=0，3时，对应的x的值；（4）当x为何值时，y的值最大？（5）当x在什么范围内时，y的值在不断增加？15．已知函数y=212xx-+，当x=a时的函数值为1，则a的值为A．3 B．-1 C．-3 D．116．如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，动点P从B点出发，沿B→C→A运动，设S△PDB=y，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图②所示，则AC的长为A．14 B．7 C．4 D．217．长方形的周长为20，一边长为x，另一边长为y，写出y随x变化的函数表达式__________．18．如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC-CD-DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y.如果y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是__________．19．已知如图，一天上午6点钟，言老师从学校出发，乘车上市里开会，8点准时到会场，中午12点钟回到学校，他这一段时间内的行程s（km）（即离开学校的距离）与时间（时）的关系可用图中的折线表示，根据图中提供的有关信息，解答下列问题：（1）开会地点离学校多远？（2）请你用一段简短的话，对言老师从上午6点到中午12点的活动情况进行描述．20．（2018·湖南岳阳）函数y3x=-中自变量x的取值范围是A．x>3 B．x≠3C．x≥3D．x≥021．（2018·湖南永州）函数y13x=-中自变量x的取值范围是A．x≥3B．x<3 C．x≠3D．x=322．（2018·内蒙古赤峰）有一天，兔子和乌龟赛跑．比赛开始后，兔子飞快地奔跑，乌龟缓慢的爬行．不一会儿，乌龟就被远远的甩在了后面．兔子想：“这比赛也太轻松了，不如先睡一会儿．”而乌龟一刻不停地继续爬行．当兔子醒来跑到终点时，发现乌龟已经到达了终点．正确反映这则寓言故事的大致图象是（）A．B．C．D．23．（2018·广东韶关）如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿在A B C D→→→路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为A．B．C．D．24．（2018·宁夏）如图，一个长方体铁块放置在圆柱形水槽容器内，向容器内按一定的速度均匀注水，60秒后将容器内注满，容器内水面的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的函数关系图象大致是A．B．C．D．25．（2018·黑龙江齐齐哈尔）如图是自动测温仪记录的图象，它反映了齐齐哈尔市的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化，下列从图象中得到的信息正确的是A．0点时气温达到最低B．最低气温是零下4 °CC．0点到14点之间气温持续上升D．最高气温是8 °C26．（2018·浙江丽水）某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y（元)与上网时间x（h）的函数关系如图所示，则下列判断错误的是A．每月上网时间不足25 h时，选择A方式最省钱B．每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多C．每月上网时间为35 h时，选择B方式最省钱D．每月上网时间超过70 h时，选择C方式最省钱27．（2018·辽宁辽阳）晓琳和爸爸到太子河公园运动，两人同时从家出发，沿相同路线前行，途中爸爸有事返回，晓琳继续前行5分钟后也原路返回，两人恰好同时到家，晓琳和爸爸在整个运动过程中离家的路程y1（米），y2（米）与运动时间x（分）之间的函数关系如图所示，下列结论：①两人同行过程中的速度为200米/分；②m的值是15，n的值是3000；③晓琳开始返回时与爸爸相距1800米；④运动18分钟或30分钟时，两人相距900米，其中正确结论的个数是A．1个B．2个C．3个D．4个28．（2018·江苏镇江）甲、乙两地相距80 km，一辆汽车上午9：00从甲地出发驶往乙地，匀速行驶了一半的路程后将速度提高了20 km/h，并继续匀速行驶至乙地，汽车行驶的路程y（km）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，该车到达乙地的时间是当天上午A．10：35 B．10：40 C．10：45 D．10：5029．（2018·四川攀枝花）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作Rt△ABC，使∠BAC=90°，∠ACB=30°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是A．B． C．D．30．（2018·湖北咸宁）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了32分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米，其中正确的结论有A．1个B．2个C．3个D．4个31．（2018·湖南长沙）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系．根据图象，下列说法正确的是A．小明吃早餐用了25 min B．小明读报用了30 minC．食堂到图书馆的距离为0.8 km D．小明从图书馆回家的速度为0.8 km/min32．（2018·四川巴中）函数y=112xx-+-中自变量x的取值范围是__________．33．（2018·湖北恩施州）函数y=213xx+-的自变量x的取值范围是__________．34．（2018·山东枣庄）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P 运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是__________．35．（2018·吉林）小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用30 min．小东骑自行车以300 m/min的速度直接回家，两人离家的路程y（m）与各自离开出发地的时间x（min）之间的函数图象如图所示（1）家与图书馆之间的路程为多少米，小玲步行的速度为多少；（2）求小东离家的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）求两人相遇的时间．36．（2018·黑龙江牡丹江）在一条笔直的公路上依次有A，C，B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车去B地，途经C地休息1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行从B地前往A地．甲、乙两人距A地的路程y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）请写出甲的骑行速度为__________米/分，点M的坐标为__________；（2）求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）请直接写出两人出发后，在甲返回A地之前，经过多长时间两人距C地的路程相等．37．（2018·辽宁本溪）“五·一”期间，九年一班同学从学校出发，去距学校6千米的本溪水洞游玩，同学们分为步行和骑自行车两组，在去水洞的全过程中，骑自行车的同学比步行的同学少用40分钟，已知骑自行车的速度是步行速度的3倍．（1）求步行同学每分钟．．．走多少千米？（2）如图是两组同学前往水洞时的路程y（千米）与时间x（分钟）的函数图象．完成下列填空：①表示骑车同学的函数图象是线段__________；②已知A点坐标（30，0），则B点的坐标为（__________）．38．（2018·山东日照）“低碳生活，绿色出行”的理念已深入人心，现在越来越多的人选择骑自行车上下班或外出旅游．周末，小红相约到郊外游玩，她从家出发0.5小时后到达甲地，玩一段时间后按原速前往乙地，刚到达乙地，接到妈妈电话，快速返回家中．小红从家出发到返回家中，行进路程y（km）随时间x （h ）变化的函数图象大致如图所示．（1）小红从甲地到乙地骑车的速度为__________km /h ；（2）当1.5≤x ≤2.5时，求出路程y （km ）关于时间x （h ）的函数解析式，并求乙地离小红家多少千米？39．（2018·黑龙江绥化）端午节期间，甲、乙两人沿同一路线行驶，各自开车同时去离家560千米的景区游玩，甲先以每小时60千米的速度匀速行驶1小时，再以每小时m 千米的速度匀速行驶，途中体息了一段时间后，仍按照每小时m 千米的速度匀速行驶，两人同时到达目的地，图中折线、线段分别表示甲、乙两人所走的路程(km)y 甲，(km)y 乙与时间(h)x 之间的函数关系的图象.请根据图象提供的信息，解决下列问题：（1）图中E 点的坐标是__________，题中m __________km/h ，甲在途中休息__________h ； （2）求线段CD 的解析式，并写出自变量x 的取值范围； （3）两人第二次相遇后，又经过多长时间两人相距20 km ？1．【答案】C【解析】在三角形面积公式S=12ah，a=2中，S，h是变量，12，a是常量，故选C．2．【答案】B【解析】某市居民用电价格是0.58元/度，0.58是常量；居民应付电费为y元，用电量为x度，其中x，y是变量，故选B．3．【答案】D【解析】y是x函数的是①x-y=5；③y=|x|；④y=3x．当x=1时，在y2=2x中y=±2，则不是函数，故选D．4．【答案】A【解析】函数是指两个变量之间的关系，而①⑦只有一个变量，故①⑦不是函数；②③④⑤都有两个变量，并且给等号右边的变量一个确定的值，等号左边的变量都只有唯一的值与之对应，所以②③④⑤都是函数；⑥是以后将要学习的一个物理公式，对于一个确定的运动过程而言，v0和a都是不变的，只有S和t两个变量，并且满足一一对应，故⑥也是函数，故选A．5．【答案】A【解析】二次根式有意义的条件是根号下被开方数非负，所以x+2≥0，即x≥-2，故选A．6．【答案】D【解析】∵挂上1 kg的物体后，弹簧伸长0.5 cm，∴挂上质量为x kg的物体后，弹簧伸长0.5x cm，∴弹簧的长度y=0.5x+8，故选D．7．【答案】D【解析】小明同学出校门后发现道路拥堵使得车辆停滞不前，等了几分钟，他离南坪站的距离没有变化，然后她步行前往地铁站他离南坪站的距离y（km）随时间x（h）的增大而减小，最后她乘地铁直达南坪站他离南坪站的距离y（km）随时间x（h）的增大而减小，并且增加的速度更快了，符合以上的图象是D．故选D．8．【答案】C【解析】横轴表示时间，纵轴表示温度．A、温度最高应找到函数图象的最高点所对应的x值与y值：为15时，38 °C．故本选项正确；B、温度最低应找到函数图象的最低点所对应的x值与y值：为3时，22 °C，故本选项正确；C、这天最高温度与最低温度的差应让前面的两个y值相减，即38-22=16 °C，故本选项错误；D、从图象看出，这天21时的温度是30 °C，故本选项正确．故选C．9．【答案】日期和电表读数，日期，电表读数【解析】表格中反映的变量是：日期和电表读数，自变量为日期，因变量为电表读数．故答案为：日期和电表读数，日期，电表读数．10．【答案】x≥2【解析】根据题意可得：2030xx-≥⎧⎨+≠⎩，解得x≥2，故答案为：x≥2．11．【答案】1【解析】∵函数y=ax2-2x+2过M（3，5），∴5=9a-2×3+2，解得a=1，故答案为：1．12．【解析】（1）该车平均每千米的耗油量为（45-30）÷150=0.1（L/km），行驶路程x（km）与剩余油量Q（L）的关系式为Q=45-0.1x．（2）当x=280时，Q=45-0.1×280=17．故当x=280 km时，剩余油量Q的值为17 L．13．【解析】（1）由题意得：x+x+y=180，∴y=180-2x．（2）由y>0得：x<90，又x>0，故0<x<90．14．【解析】（1）根据函数图象可得：y的变化范围为-2～4．（2）当x=0时，y=3；当x=-3时，y=1．（3）当y=0时，x1=-2.5，x2=-1.5，x3=3.5．当y=3时，x1=0，x2=2．（4）当x=1时，图象有最高点，此时y最大．（5）当x在-2～1时，函数图象上升，y的值在不断增加．15．【答案】A【解析】∵函数y=212xx-+中，当x=a时的函数值为1，∴2112aa-=+，∴2a−1=a+2，∴a=3，故选A．16．【答案】C【解析】如图所示，过点D作DE⊥BC于点E，则S△DPB=12BP·DE，即12y=DE·x，由题图②中的信息可知，当点P运动到点C时，y最大=7，此时x=BC=7，即12DE×7=7，解得DE=2，∵在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边的中点，∴CD=DB，又∵DE⊥BC于点E，∴CE=BE，又∵点D是AB边的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AC=2DE=4，故选C．17．【答案】y=10-x（0<x<10）【解析】设长方形的另一条边长为y，则y=2022x-，即y=10-x，∵y>0，∴10-x>0，x<10，∵x>0，∴0<x<10．∴y关于x的函数解析式是y=10-x，x的取值范围是0<x<10．故答案为：y=10-x（0<x<10）．18．【答案】10【解析】由题可知点P的运动过程分三种情况：P在BC上；P在CD上；P在AD上，该三种情况对应图象上的三段线段，由此可知P在第一段的运动路程为4，第二段的运动路程为9-4=5，即AD=BC=4，CD=AB=5，∴1=2ABCS BC AB⨯⨯△=1452⨯⨯=10，故答案为：10．19．【解析】（1）开会地点离学校有60千米．（2）答案不唯一，如：言老师上午6点钟从学校出发，开车走普通公路，出发1小时后，车坏了，半小时后修好了以原速度继续前进，8点钟准时赶到了会场，开会持续了3小时结束，会后改走高速公路，12点钟到学校．20．【答案】C【解析】由题意得：x-3≥0，解得x≥3，故选C．21．【答案】C【解析】根据题意得：x-3≠0，解得：x≠3，故选C．22．【答案】D【解析】乌龟运动的图象是一条直线，兔子运动的图象路程先增大，而后不变，再增大，并且乌龟所用时间最短．故选D．23．【答案】B【解析】设菱形的高为h，有三种情况：①当P在AB边上时，如图1，y=12AP·h，∵AP随x的增大而增大，h不变，∴y随x的增大而增大，故选项C不正确；②当P在边BC上时，如图2，y=12AD·h，AD和h都不变，∴在这个过程中，y不变，故选项A不正确；③当P在边CD上时，如图3，y=12PD·h，∵PD随x的增大而减小，h不变，∴y随x的增大而减小，∵P点从点A出发沿A→B→C→D路径匀速运动到点D，∴P在三条线段上运动的时间相同，故选项D不正确，故选B．24．【答案】D【解析】已知一个长方体铁块放置在圆柱形水槽容器内，向容器内按一定的速度均匀注水，60秒后将容器内注满，因为长方体是均匀的，所以初期的图象应是直线，当水越过长方体后，注水需填充的体积变大，因此此时的图象也是直线，但斜率小于初期，综上所述选D．25．【答案】D【解析】A．根据图象4时气温最低，故A错误；B．最低气温为零下3 °C，故B错误；C．0点到14点之间气温先下降后上升，故C错误；D描述正确，故选D．26．【答案】D【解析】观察函数图象，可知：每月上网时间不足25 h时，选择A方式最省钱，结论A正确；观察函数图象，可知：当每月上网费用大于等于50元时，B方式可上网的时间比A方式多，结论B正确；设当x≥25时，y A=kx+b，将（25，30）、（55，120）代入y A=kx+b，得253055120k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得345kb=⎧⎨=-⎩，∴y A=3x-45（x≥25），当x=35时，y A=3x-45=60>50，∴每月上网时间为35 h时，选择B方式最省钱，结论C正确；设当x≥50时，y B=mx+n，将（50，50）、（55，65）代入y B=mx+n，得50505565m nm n+=⎧⎨+=⎩，解得3100mn=⎧⎨=-⎩，∴y B=3x-100（x≥50），当x=70时，y B=3x-100=110<120，∴结论D错误．故选D．27．【答案】C【解析】①4000÷20=200米/分，∴两人同行过程中的速度为200米/分，①正确；②m=20-5=15，n=200×15=3000，②正确；③晓琳开始返回时，爸爸和晓琳各走5分钟，爸爸返回的速度为100，所以他们的距离为：300×5=1500（米），③不正确；④设爸爸返回的解析式为y2=kx+b，把（15，3000）（45，0）代入得153000 450k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得1004500kb=-⎧⎨=⎩，∴y2=-100x+4500，∴当0≤x≤20时，y1=200x，y1-y2=900，∴200x-（-100x+4500）=900，∴x=18，当20≤x≤45时，y1=ax+b，将（20，4000）（45，0）代入得204000450a ba b+=⎧⎨+=⎩，∴1607200kb=-⎧⎨=⎩，y1=-160x+7200，y1-y2=900，（-160x+7200）-（-100x+4500）=900，x=30，∴④正确，故选C．28．【答案】B【解析】由图象知走前一半路程用的时间为1小时，所以走前一半路程时的速度为40 km/h，因为匀速行驶了一半的路程后将速度提高了20 km/h，所以以后的速度为20+40=60 km/h，时间为4060×60=40分钟，故该车到达乙地的时间是当天上午10：40，故选B．29．【答案】C【解析】如图，过点C作CD⊥y轴于点D，∵∠BAC=90°，∴∠DAC+∠OAB=90°，∵∠DCA+∠DAC=90°，∴∠DCA=∠OAB，又∵∠CDA=∠AOB=90°，∴△CDA∽△AOB，∴OB OA ABDA DC AC===tan30°，则313xy=-，故y=3x+1（x>0），则选项C符合题意．故选C．30．【答案】A【解析】由图可得，甲步行的速度为：240÷4=60米/分，故①正确，乙走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）=30（分钟），故②错误，乙追上甲用的时间为：16-4=12（分钟），故③错误，乙到达终点时，甲离终点距离是：2400-（4+30）×60=360米，故④错误，故选A．31．【答案】B【解析】小明吃早餐用了（25-8）=17 min，A错误；小明读报用了（58-28）=30 min，B正确；食堂到图书馆的距离为（0.8-0.6）=0.2 km，C错误；小明从图书馆回家的速度为0.8÷10=0.08 km/min，D错误，故选B．32．【答案】x ≥1且x ≠2【解析】由题意得1020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得：x ≥1且x ≠2，故答案为：x ≥1且x ≠2． 33．【答案】x ≥-12且x ≠3 【解析】根据题意得2x +1≥0，x -3≠0，解得x ≥-12且x ≠3．故答案为：x ≥-12且x ≠3． 34．【答案】12【解析】根据题意观察图象可得BC =5，点P 在AC 上运动时，BP ⊥AC 时，BP 有最小值，观察图象可得，BP 的最小值为4，即BP ⊥AC 时BP =4，又勾股定理求得CP =3，因点P 从点C 运动到点A ，根据函数的对称性可得CP =AP =3，所以ABC ∆的面积是1(3+3)42⨯⨯=12，故答案为：12． 35．【解析】（1）结合题意和图象可知，线段CD 为小玲路程与时间函数图象，折线O -A -B 为为小东路程与时间图象，则家与图书馆之间路程为4000 m ，小玲步行速度为2000÷10=200 m /s ． （2）∵小东从离家4000 m 处以300 m /min 的速度返回家，则x min 时，∴他离家的路程y =4000-300x ，自变量x 的范围为0≤x ≤403． （3）由图象可知，两人相遇是在小玲改变速度之前，∴4000-300x =200x ，解得x =8，∴两人相遇时间为第8分钟．36．【解析】（1）由题意得：甲的骑行速度为：10202114-=240（米/分）， 240×（11-1）÷2=1200（米）， 则点M 的坐标为（6，1200），故答案为：240，（6，1200）．（2）设MN 的解析式为：y =kx +b （k ≠0），∵y =kx +b （k ≠0）的图象过点M （6，1200）、N （11，0），∴61200 110k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得2402640kb=-⎧⎨=⎩，∴直线MN的解析式为：y=-240x+2640．即甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式：y=-240x+2640．（3）设甲返回A地之前，经过x分两人距C地的路程相等，乙的速度：1200÷20=60（米/分），如图1所示：∵AB=1200，AC=1020，∴BC=1200-1020=180，分5种情况：①当0<x≤3时，1020-240x=180-60x，x=143>3，此种情况不符合题意；②当3<x<214-1时，即3<x<174，甲、乙都在A、C之间，∴1020-240x=60x-180，x=4，③当214<x≤6时，甲在B、C之间，乙在A、C之间，∴240x-1020=60x-180，x=143<214，此种情况不符合题意；④当x=6时，甲到B地，距离C地180米，乙距C地的距离：6×60-180=180（米），即x=6时两人距C地的路程相等，⑤当x>6时，甲在返回途中，。

八年级数学《一次函数》知识点总结八年级数学下册《一次函数》知识点总结一.常量、变量：在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量。

二、函数的概念：函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与，并且对于x的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，是x的函数．三、函数中自变量取值范围的求法：（1）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。

（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。

（3）用寄次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。

用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数。

（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。

（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。

四、函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．五、用描点法画函数的图象的一般步骤1、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。

）注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。

2、描点：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。

3、连线：（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。

六、函数有三种表示形式：（1）列表法（2）图像法（3）解析式法七、正比例函数与一次函数的概念：一般地，形如=x(为常数，且≠0)的函数叫做正比例函数.其中叫做比例系数。

一般地，形如=x+b(,b为常数，且≠0)的函数叫做一次函数.当b=0时,=x+b即为=x,所以正比例函数，是一次函数的特例.八、正比例函数的图象与性质：（1)图象:正比例函数=x(是常数，≠0))的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线=x。

第17讲函数的认识1、在一个变化过程中，数值保持不变的量叫常量，数值发生改变的量叫变量。

2、实际上，常量就是具体的数，变量就是表示数的字母。

（注意“π”是常量）函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

1、例如：y=±x，当x=1时，y有两个对应值，所以y=±x不是函数关系。

2、对于不同的自变量x的取值，y的值可以相同，例如，函数：y=|x|，当x=±1时，y的对应值都是11、当一个或几个变量取一定的值时，另一个变量有唯一确定值与之相对应，我们称这种关系为确定性的函数关系。

2、两个变量x，y,用一个等式表示出来，如果x取一个值，y都有唯一的值和他对应。

就是y与x的函数关系式。

1、自变量与函数在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果x每取一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么，把x叫自变量，y叫x的函数。

2、函数值如果x=a时，y=b，那么把“y=b叫做x=a时的函数值”。

3、自变量取值范围的确定方法（1）、自变量的取值范围必须使解析式有意义。

当解析式为整式时，自变量的取值范围是全体实数；当解析式为分数形式时，自变量的取值范围是使分母不为0的所有实数；当解析式中含有二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数大于等于0的所有实数。

（2）、自变量的取值范围必须使实际问题有意义。

4、确定函数取值范围的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义考点1、常量与变量例1、一个长方形的面积是10cm2，其长是acm，宽是bcm，下列判断错误的是（）A、10是常量B、10是变量C、b是变量D、a是变量例2、假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么在下列各量中，变量的个数是（）①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量．A、1个B、2个C、3个D、4个例3、“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜．”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，______随______变化而变化，其中自变量是______，因变量是______．例4、在公式s=v0t+2t2（v0为已知数）中，常量是，变量是．例5、下列是某报纸公布的世界人口数据情况：（1）表中分别有几个变量？（2）你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？（3）如果用x表示时间，y表示世界人口总数，那么随着x的变化，y的变化趋势是什么？（4）世界人口每增加10亿，所需的时间是怎样变化的？例6、在烧开水时，水温达到l00℃就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据：（1）上表反映了哪两个量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）水的温度是如何随着时间的变化而变化的？（3）时间推移2分钟，水的温度如何变化？（4）时间为8分钟，水的温度为多少？你能得出时间为9分钟时，水的温度吗？（5）根据表格，你认为时间为16分钟和18分钟时水的温度分别为多少？（6）为了节约能源，你认为应在什么时间停止烧水？1、在圆周长计算公式C=2πr中，对半径不同的圆，变量有（）A、C，rB、C，π，rC、C，πD、C，2π，r2、以固定的速度v0（米/秒）向上抛一个小球，小球的高度h（米）与小球的运动的时间t（秒）之间的关系式是h=v0t－4.9t2，在这个关系式中，常量、变量分别为（）A、4.9是常量，t、h是变量B、v0是常量，t、h是变量C、v0、－4.9是常量，t、h是变量D、4.9是常量，v0、t、h是变量3、如果用总长为60m的篱笆围成一个长方形场地，设长方形的面积为S （m2），周长为p（m），一边长为a（m），那么S，p，a中是变量的是（）A、S和pB、S和aC、p和aD、S，p，a4、某公司销售部门发现，该公司的销售收入随销售量的变化而变化，其中是自变量，是因变量。

八年级数学函数的相关概念知识点总结一、函数的概念：1、函数的定义：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 x 和 y，并且对于变量 X 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数 (function)，其中 x 是自变量。

例如某天的气温随时间变化的曲线如下图所示：从这条曲线可以看出温度是随时间变化的，也就是可以知道不同时间对应的温度和同一温度对应的未使用时间。

2、函数的表示法：可以用三种方法来表示函数: ① 图象法、② 列表法、③ 关系式法。

3、函数值：对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a , 函数有唯一确定的对应值,这个对应值称为当自变量等于 a 时的函数值。

二、理解函数概念时应注意的几点：① 在某一变化过程中有两个变量x与y；② 这两个变量互相联系,当变量x取一个确定的值时,变量y 的值就随之确定；③ 对于变量 x 的每一个值,变量 y 都有唯一的一个值与它对应。

如在关系式y^2 = x(x>0)中,当 x=9 时,y 对应的值为 3 或-3,不唯一 ,则 y不是 x的函数。

三、函数的应用：1、判别是否为函数关系；2、确定自变量的取值范围；3、确定实际背景下的函数关系式；4、由自变量的值求函数值；5.探究具体问题中的数量关系和变化规律。

四、典例讲解：例题1、下列各图像中，y 是 x 的函数的图像是（ D ）例题2、在函数变量为x , y，常量为 5 ，-3 ，自变量为x ，当 x = -1 时，函数值为 2 。

例题3、一名老师带领 x 名学生到动物园参观。

已知成人票每张 30 元，学生票每张 10 元。

若设门票的总费用为 y 元，则 y 与 x 的函数关系式为（A ）例题4、下面的表格列出了一个实验的统计数据，给出的是皮球从高处落下时弹跳高度 b 与下降高度 d 的关系。

下列能表示这种关系的式子是（ C）例题5、已知两个变量 x , y 满足 2x^2 - 3y + 5 = 0 , 试问：① y 是 x 的函数吗？② x 是 y 的函数吗？若是，写出 y 与 x 的关系式；若不是，请说明理由。

人教版初二数学函数的概念与性质函数是数学中的基础概念之一，它在数学和现实生活中起着重要作用。

本文将对人教版初二数学中函数的概念与性质进行论述。

一、函数的定义函数是一个映射关系，它将一个自变量的值映射到一个与之对应的因变量的值。

用符号表示，函数通常记作f(x)，其中x为自变量，f(x)为因变量。

二、函数的性质1. 定义域和值域函数的定义域是自变量的取值范围，而值域是因变量的取值范围。

在函数的图像中，定义域对应自变量的取值范围，值域对应因变量的取值范围。

2. 一一对应如果函数的每一个自变量对应唯一的因变量，并且每一个因变量也有唯一的自变量对应，那么这个函数就是一一对应的。

3. 奇偶性对于定义在整个实数集上的函数，如果满足f(-x) = - f(x)，则这个函数为奇函数；如果满足f(-x) = f(x)，则这个函数为偶函数。

4. 单调性如果函数在定义域上任意两个不同的自变量对应的因变量的大小关系与自变量的大小关系一致，那么这个函数就是单调的。

5. 周期性如果存在一个正数T，使得对于定义在整个实数集上的函数f(x)有f(x+T) = f(x)，那么这个函数就是周期函数，T称为函数的周期。

三、实例分析以一道具体的题目为例，来分析函数的概念与性质。

假设有函数f(x) = 2x + 1，求其定义域、值域、奇偶性、单调性和周期性。

1. 定义域与值域由于函数f(x) = 2x + 1是一次函数，它的自变量可以取任意实数，因此定义域为整个实数集R。

对于值域，由于斜率为2是正数，所以函数的值域也是整个实数集R。

2. 奇偶性将f(-x)代入函数f(x) = 2x + 1中，得到f(-x) = 2(-x) + 1 = -2x + 1。

将f(x)和f(-x)进行比较，可以看到f(-x) = -f(x)，因此该函数为奇函数。

3. 单调性对于函数f(x) = 2x + 1来说，当x1 < x2时，f(x1) < f(x2)，所以函数是递增的，即单调递增函数。

一次函数第 1 节正比例函数【知识梳理】1、正比例函数的定义一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。

备注：（1）正比例函数y=kx必须满足两个条件：①比例系数k≠0，②自变量x的次数是1（2）在判断一个函数是否是正比例函数时，只要看其是否满足y=kx（k≠0）的形式即可；若求函数的解析式，只要求出比例系数k的值，解析式就可以确定了。

（3）求正比例函数的解析式采用待定系数法，即设所求解析式为y=kx,将图象上的点的坐标代入解析式，求出k即可。

2、正比例函数的图象与性质=（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点与点（1，k）的直线，我们称正比例函数y kx=。

其图象和性质如下表：它为直线y kx3、确定正比例函数的关系式=（k是常数，k≠0），就是确定比例系数k（k≠0）的值，一确定正比例函数的关系式y kx般步骤如下：（1）先根据条件设出函数解析式y kx =；（2）确定一对自变量和函数的对应值（或图象上一个点的坐标）； （3）把对应值代入函数解析式，列出方程，解方程求出k 的值； （4）确定函数解析式。

【诊断自测】1、下列函数中是正比例函数的有（ ） ①y kx =；②13y x =-；③1y x=；④2y x =-；⑤1y x =-+ A.①③ B.② C.①③⑤ D.①②④2、如果正比例函数y kx =的图象经过点（1，-2），那么k 的值等于________。

3、画正比例函数2y x =的图象。

4、如图所示的函数图象中，正比例函数的图象是（ ）。

A ． B. C. D.5、111(,)P x y ，222(,)P x y 是正比例函数y x =-图象上的两点，则下列判断正确的是（ ）。

A. 12y y > B. 12y y < C.当12x x <时，12y y > D.当12x x <时，12y y < 6、正比例函数y kx =的图象经过点A （1,3）， （1）求这个函数的解析式；（2）请判断点B （2,6）是否在这个正比例函数的图象上，并说明理由。