2020年中考数学专题训练(8) (3)

1 中考拉分题特训(1)

1.(2019·温州)如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在边BE上取点M使BM＝BC，作MN∥BG交CD于点L，交FG于点N，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了(a＋b)(a－b)＝a2－b2，现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连结EP，记△EPH的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2.若点A，L，G在同一直线上，则S1S2的值为( )

A.22 B.23 C.24 D.26

2.(绍兴越城区一模)如图1是一座立交桥的示意图(道路宽度忽略不计)，A为入口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB＝CG＝EF；弯道为以点O为圆心的一段弧，且所对的圆心角均为90°.甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以10 m/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y(m)与时间x(s)的对应关系如图2所示.结合题目信息，下列说法错误的是( )

2 A.甲车在立交桥上共行驶8 s B.从F口出比从G口出多行驶40 m

C.甲车从F口出，乙车从G口出 D.立交桥总长为150

m

3.(2019·宁波)如图，过原点的直线与反比例函数y＝kx(k＞0)的图象交于A，B两点，点A在第一象限.点C在x轴正半轴上，连结AC交反比例函数图象于点D.AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连结DE.若AC＝3DC，△ADE的面积为8，则k的值为 .

4.(温州一模)图甲是小明设计的花边图案作品，该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成(不重叠，无缝隙).该矩形图案既是轴对称图形，又是中心对称图形.图乙中AEAF＝23，上、下两个半圆的面积之和为4π cm2，中间阴影菱形的一组对边与EF平行，且菱形的面积比4个角上的阴影三角形的面积之和大12 cm2，则AB的长度为 cm.

5.(2019年北京市海淀区清华大学附中调研试卷)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，

3

(1)图1中共有 对相似三角形，写出来分别为

(不需证明)；

(2)已知AB＝10，AC＝8，请你求出CD的长；

(3)在(2)的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系(如图2)，若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒，是否存在点P，使以点B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

4 6.如图1，直线l：y＝－34x＋b与x轴交于点A(4,0)，与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点(0＜AC＜165).以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F.

(1)求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；

(2)如图2，连结CE，当CE＝EF时，

①求证：△OCE∽△OEA；

②求点E的坐标；

(3)当点C在线段OA上运动时，求OE·EF的最大值.

5 中考拉分题特训(1)

1.( C )

【难度】0.5 【特训考点】四边形综合题.平方差公式；线段垂直平分线的性质；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质.

解析：如图，连接AG，PF.由题意：

S矩形AMLD＝S阴＝a2－b2，PH＝a2－b2，

∵点A，L，G在同一直线上，AM∥GN，

∴△AML∽△GNL，∴AMGN＝MLNL，∴a＋ba－b＝a－bb，

整理得a＝3b，∴S1S2＝12(a－b)·a2－b2a2－b2＝22b28b2＝24.

2. 6 .

【难度】0.5 【特训考点】反比例函数与一次函数的交点问题；方程思想.

6

解析：连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF，

∵过原点的直线与反比例函数y＝kx(k＞0)的图象交于A，B两点，∴A与B关于原点对称，

∴O是AB的中点，∵BE⊥AE，∴OE＝OA，

∴∠OAE＝∠AEO，∵AE为∠BAC的平分线，

∴∠DAE＝∠AEO，∴AD∥OE，∴S△ACE＝S△AOC，

∵AC＝3DC，△ADE的面积为8，

∴S△ACE＝S△AOC＝12，设点A(m，km)，∵AC＝3DC，DH∥AF，∴3DH＝AF，∴D(3m，k3m)，

∵CH∥GD，AG∥DH，∴△DHC∽△AGD，

∴S△HDC＝14S△ADG，∵S△AOC＝S△AOF＋S梯形AFHD＋S△HDC＝12k＋12×(DH＋AF)×FH＋S△HDC＝12k＋12×4k3m×2m＋12×14×2k3m×2m＝12k＋4k3＋k6＝12，∴2k＝12，∴k＝6.

3.【难度】0.2 【特训考点】勾股定理；相似三角形

7 的性质；相似三角形的判定；动点问题；数形结合思想.

解：(1)图1中共有3对相似三角形，分别为：

△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD；

(2)如图1，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝AB2－AC2＝6.

∵△ABC的面积＝12AB·CD＝12AC·BC，

∴CD＝AC·BCAB＝6×810＝4.8；

(3)存在点P，使以点B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：在△BOC中，∵∠COB＝90°，BC＝6，OC＝4.8，∴OB＝BC2－OC2＝3.6.

分两种情况：

① 当∠BQP＝90°时，如图2①，此时△PQB∽△AC，

∴BPAB＝BQBC，∴6－t10＝t6，解得t＝2.25，

即BQ＝CP＝2.25，∴BP＝BC－CP＝6－2.25＝3.75.在△BPQ中，由勾股定理，得PQ＝BP2－BQ2＝3.752－2.252＝3，∴点P的坐标为(1.35,3)；

②当∠BPQ＝90°时，如图2②，此时△QPB∽△ACB，∴BPBC＝BQAB，∴6－t6＝t10，解得t＝3.75，

即BQ＝CP＝3.75，BP＝BC－CP＝6－3.75＝2.25.

过点P作PE⊥x轴于点E.∵△QPB∽△ACB，

8 ∴PECO＝BQAB，即PE4.8＝3.7510，∴PE＝1.8.在△BPE中，

BE＝BP2－PE2＝2.252－1.82＝1.35，

∴OE＝OB－BE＝3.6－1.35＝2.25，

∴点P的坐标为(2.25,1.8).综上可得，点P的坐标为(1.35,3)或(2.25,1.8).

4.( C )

【难度】0.5 【特训考点】根据函数图象分析、解决实际问题；函数思想；数形结合思想.

解析：由图象可知，两车通过弧时每段所用时间均为2 s，通过直行道AB，CG，EF时，每段用时为3 s.因此，甲车所用时间为3＋2＋3＝8 s，故A正确；根据两车运行路线，从F口驶出比从G口多走弧长

9 之和，用时为4 s，则走40 m，故B正确；根据两车运行时间，可知甲先驶出，应从G口驶出，故C错误；根据题意立交桥总长为(3×2＋3×3)×10＝150 m，故D正确.

5. 452

【难度】0.6 【特训考点】轴对称和中心对称；菱形的性质；矩形的性质.

解析：作菱形对角线交于点O，MO，QO分别是对角线的一半，设左侧三角形与对角线的一个交点N，

∵AEAF＝23，∴设AE＝2k，AF＝3k，∵上下两个半圆面积和为4π，∴半径r＝2，∵中间阴影菱形的一组对边与EF平行，∴MOOQ＝32，设MO＝3m，OQ＝2m，在△NPQ中，NPNQ＝32，∴AB＝6m＋4，NQ＝2k＋2－2m，∴NP＝3k＋3－3m，∴AB＝6k＋6－6m＋6k，

∴m－k＝16，菱形的面积比4个角上的阴影三角形的面积之和大12 cm2，∴12k2＋12＝12m2，

10 ∴(m＋k)(m－k)＝1，∴m＋k＝6，∴m＝3712，∴AB＝452.

6.【难度】0.1 【特训考点】函数与圆的综合题；相似三角形的判定与性质；最值问题；动点问题；方程与函数思想；数形结合思想.

解：(1)∵直线l：y＝－34x＋b与x轴交于点A(4,0)，∴－34×4＋b＝0，∴b＝3，∴直线l的函数表达式y＝－34x＋3，∴B(0,3)，∴OA＝4，OB＝3，在Rt△AOB中，tan∠BAO＝OBOA＝34；

(2)①如图2，连接DF，∵CE＝EF，

∴∠CDE＝∠FDE，∴∠CDF＝2∠CDE，

∵∠OAE＝2∠CDE，∴∠OAE＝∠ODF，

∵四边形CEFD是⊙O的圆内接四边形，

∴∠OEC＝∠ODF，∴∠OEC＝∠OAE，

∵∠COE＝∠EOA，∴△COE∽△EOA，

②过点E⊥OA于M，由①知，tan∠OAB＝34，设EM＝3m，则AM＝4m，∴OM＝4－4m，AE＝5m，

∴E(4－4m,3m)，AC＝5m，∴OC＝4－5m，由①知，△COE∽△EOA，∴OCOE＝OEOA，

∴OE2＝OA·OC＝4(4－5m)＝16－20m，

11 ∵E(4－4m,3m)，∴(4－4m)2＋9m2＝25m2－32m＋16，∴25m2－32m＋16＝16－20m，∴m＝0(舍)或m＝1225，∴4－4m＝4825，3m＝3625，∴(4825，3625)；

(3)如图，设⊙O的半径为r，过点O作OG⊥AB于G，∵A(4,0)，B(0,3)，∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝5，∴12×AB×OG＝12OA×OB，∴OG＝125，

∴AG＝OGtan∠AOB＝125×43＝165，∴EG＝AG－AE＝165－r，连接FH，∵EH是⊙O直径，∴EH＝2r，

∠EFH＝90°＝∠EGO，∵∠OEG＝∠HEF，

∴△OEG∽△HEF，∴OEHE＝EGEF，

∴OE·EF＝HE·EG＝2r(165－r)＝－2(r－85)2＋12825，

∴r＝85时，OE·EF最大值为12825.