苏教版高中数学选修4-4 4.1.2极坐标系_学案设计1(无答案)

圆锥曲线的统一极坐标方程

教学目标

掌握三种圆锥曲线的统一极坐标方程，了解统一方程中常数的几何意义．

会根据已知条件求三种圆锥曲线的极坐标方程，能根据圆锥曲线的统一极坐标方程进行有关计算．

通过建立三种二次曲线的统一极坐标方程，对学生进行辩证统一的思想教育．

教学重点：

圆锥曲线统一的极坐标方程，会根据条件求出圆锥曲线的统一极坐标方程．

教学难点：运用圆锥曲线统一的极坐标方程解决有关计算问题．

教学疑点：双曲线左支所对应的θ范围，双曲线的渐近线的极坐标方程．

活动设计：

1．活动：思考、问答、讨论．

2．教具：尺规、挂图．

教学过程：

一、问题引入

大家已经学过，椭圆、双曲线、抛物线有两种几何定义，其中，第二定义把三种圆锥曲线统一起来了，请回忆后说出三种圆锥曲线的第二定义．

学生1答：

列定点F(焦点)的距离与列定直线l(准线)的距离比是一个常数e(离心

e∈(0，1)时椭圆，

e∈(1，f∞)时双曲线，

e=1时抛物线．

二、数学构建

建立统一方程

在极坐标系中，同样可以根据圆锥曲线的几何定义，求出曲线的极坐标方程．

过F作FK⊥l于K，以F为极点，KF延长线为极轴，建立极坐标系．

设M(ρ，θ)是曲线上任一点，连MF，作MA⊥l于A，MB⊥l于B(如图3-24)．

|FK|=常数，设为p．

∵ |MA|=|BK|=|KF|+|FB|，

∴ |MA|=p+ρcosθ．

这就是圆锥曲线统一的极坐标方程．

三、知识理解

对圆锥曲线的统一极坐标方程，请思考讨论并深入了解下述几个要点：

(1)必须以双曲线右焦点和椭圆的左焦点为极点，Ox轴方向向右，尚若Ox方向向左，其方程如何？

(讨论后)学生2答：

无需重新求方程，只须两个极坐标系Ox与Ox′之间的坐标关系作坐标转换(图3-25)．

(2)根据统一的极坐标方程，由几何条件求出e、p后即可写出曲线的极坐标方程，这要明确e、p的几何意义分别是离心率和焦准距(ep为

最新⼈教版⾼中数学选修4-4《极坐标系》教材梳理

庖丁巧解⽜

知识·巧学

⼀、极坐标系的概念1.在⽣活中,如台风预报、地震预报、测量、航空、航海等，经常⽤距离和⽅向来表⽰⼀点的位置.⽤距离和⽅向表⽰平⾯上⼀点的位置，就是极坐标.

极坐标系的建⽴：在平⾯内取⼀个定点O ，叫做极点.引⼀条射线Ox ，叫做极轴.再选定⼀个长度单位和⾓度正⽅向（通常取逆时针⽅向）.这样就建⽴了⼀个极坐标系.2.如图1-2-3，极坐标系内⼀点的极坐标的规定：对于平⾯上任意⼀点M ，⽤ρ表⽰线段OM 的长度，⽤θ表⽰从Ox 到OM 的⾓度，ρ叫做M 的极径，θ叫做点M 的极⾓，有序数对(ρ,θ)就叫做M 的极坐标.

图1-2-3

深化升华 极点、极轴、长度单位、⾓度单位和它的正⽅向，构成了极坐标系的四要素，缺⼀不可.1.特别规定：当M 在极点时，它的极坐标ρ=0，θ可以取任意值.

2.平⾯上⼀点的极坐标是不唯⼀的，有⽆数种表⽰⽅法.坐标不唯⼀是由极⾓引起的.不同的极坐标可以写出统⼀表达式.

⼆、极坐标和直⾓坐标的互化1.互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直⾓坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系中取相同的长度单位.2.互化公式??

≠=+===.0,t an ,,sin ,co s 222x x y y x y x θρθρθρ在进⾏两种坐标间的互化时,应注意以下⼏点:①两套公式是在三条规定下得到的;②由直⾓坐标求极坐标时,理论上不是唯⼀的,但这⾥约定只在主值范围内求值;③由直⾓坐标⽅程化为极坐标⽅程,最后要化简;④由极坐标⽅程化为直⾓坐标⽅程时要注意变形的等价性,通常总要⽤ρ去乘⽅程的两端,应该检查极点是否在曲线上,若在是等价变形,否则,不是等价变形.

问题·探究

问题1 平⾯内建⽴直⾓坐标系是⼈们公认的最容易接受并且被经常采⽤的⽅法，但为什么它并不是确定点的位置的唯⼀⽅法，为什么要使⽤极坐标?

探究:确定平⾯内⼀个点的位置时，有时是依靠⽔平距离与垂直距离这两个量，有时却是依靠距离与⽅位⾓（即“长度”与“⾓度”，这就是极坐标系的基本思想）这两个量.在⽣活中,如台风预报、地震预报、测量、航空、航海中等，甚⾄更贴近⽣活的如⼈听声⾳，不但有⾼低之分,还有⽅向之分.描述⼀个⼈所⾛的⽅向和路程，经常会这样说：从A 点出发向北偏东60°⽅向⾛了⼀段距离到B 点，再从B 点向南偏西15°⽅向⾏⾛……描述某飞机的位置：飞⾏⾼度1 200⽶，从飞机上看地平⾯控制点B 的俯⾓α=16°31′……这种位置的刻画能够给⼈⼀个很直观的形象.

1 §1.2.（1、2）极坐标及其与直角坐标的关系

学习目标

1.通过具体实例引入确定点的位置的新形式，即极坐标。

2.能够建立极坐标系并描出系中点的位置，在极坐标系中观察一些对称点的坐标关系。

3.探究极坐标与直角坐标间的关系。

学习过程

【任务一】问题分析

问题1：一艘军舰在海面上巡逻，发现附近水域里有一片水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？

问题2：思考解决上述问题的关键因素是什么？

【任务二】新知理解

1.极坐标系：在平面上取一个定点O，由O点出发的一条

，一个

及计算

的正方向（通常

），合称为一个

。

2.在下图极坐标系中，O点称为 ，Ox称为 。

3.图中点M的位置可以由线段OM的长度和从Ox到OM的角度来刻画，这两个数组成的有序数对 称为点M的极坐标。其中称为 ，称为

。

【任务三】典型例题分析

例1：在同一个极坐标系中，画出以下点：

)62(，A )66(，B )321(，C )4(，D )05(，E )4(，F

注意：1.一般限定0。特别地：,00，

2.与直角坐标不同，给定点的极坐标),(，唯一确定平面上点，但是平面上点的极坐标并不唯一，比如例1中的 ,如何限定则除极点外一一对应？

例2：建立极坐标系描出点)22()63(，，，BA，分别求点A关于极轴，直线OB，极点的对称点的极坐标。

2

小结：点),(关于极轴的对称点是 ，关于某直线的对称点是 ，关于极点的对称点是 。

思考：极坐标系中，恒为1的点的集合构成什么样的曲线？恒为4的点呢？

【任务四】探究极坐标与直角坐标的关系

如图，在平面上取定一个极坐标系，一极轴作为直角坐标系的x轴的正半轴，以2的射线作为y轴，以极点作为坐标原点，长度单位不变，建立直角坐标系。

一、选择题

1．（理）在极坐标系中,圆2cos的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）

A．0()R 和cos2 B．()2R和cos2

C．()2R和cos1 D．0()R和cos1

2．已知曲线C的极坐标方程为222123cos4sin，以极点为原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C经过伸缩变换1233xxyy后，得到的曲线是（ ）

A．直线 B．椭圆 C．圆 D．双曲线

3．已知圆C与直线l的极坐标方程分别为6cos，sin24，求点C到直线l的距离是（ ）

A．1 B．2 C．2 D．22

4．在极坐标系中，点,与,的位置关系为（ ）

A．关于极轴所在直线对称 B．关于极点对称

C．重合 D．关于直线2R对称

5．在极坐标系中，由三条直线0，3，cossin1围成的图形的面积为（ ）

A．14 B．334 C．234 D．13

6．在极坐标系中，曲线1C的极坐标方程为2sin，曲线2C的极坐标方程为23cos，若曲线1C与2C交于A、B两点，则AB等于（ ）

A．1 B．3 C．2 D．23

7．221xy经过伸缩变换23xxyy后所得图形的焦距（ ）

A．25 B．213 C．4 D．6

8．将2216xy的横坐标压缩为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍，则曲线的方程变为（ ）

A．22134xy

B．22213xy

C．222112xy D．222134xy

9．已知曲线C与曲线53cos?5sin?关于极轴对称，则曲线C的方程为( )

A．10cosπ-6 B．10cosπ-6