高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修4-4 4.1.2 极坐标系》3

圆锥曲线的统一极坐标方程

教学目标

掌握三种圆锥曲线的统一极坐标方程，了解统一方程中常数的几何意义．

会根据已知条件求三种圆锥曲线的极坐标方程，能根据圆锥曲线的统一极坐标方程进行有关计算．

通过建立三种二次曲线的统一极坐标方程，对学生进行辩证统一的思想教育．

教学重点：

圆锥曲线统一的极坐标方程，会根据条件求出圆锥曲线的统一极坐标方程．

教学难点：运用圆锥曲线统一的极坐标方程解决有关计算问题．

教学疑点：双曲线左支所对应的θ范围，双曲线的渐近线的极坐标方程．

活动设计：

1．活动：思考、问答、讨论．

2．教具：尺规、挂图．

教学过程：

一、问题引入

大家已经学过，椭圆、双曲线、抛物线有两种几何定义，其中，第二定义把三种圆锥曲线统一起来了，请回忆后说出三种圆锥曲线的第二定义．

学生1答：

列定点F(焦点)的距离与列定直线l(准线)的距离比是一个常数e(离心

e∈(0，1)时椭圆，

e∈(1，f∞)时双曲线，

e=1时抛物线．

二、数学构建

建立统一方程

在极坐标系中，同样可以根据圆锥曲线的几何定义，求出曲线的极坐标方程．

过F作FK⊥l于K，以F为极点，KF延长线为极轴，建立极坐标系．

设M(ρ，θ)是曲线上任一点，连MF，作MA⊥l于A，MB⊥l于B(如图3-24)．

|FK|=常数，设为p．

∵ |MA|=|BK|=|KF|+|FB|，

∴ |MA|=p+ρcosθ．

这就是圆锥曲线统一的极坐标方程．

三、知识理解

对圆锥曲线的统一极坐标方程，请思考讨论并深入了解下述几个要点：

(1)必须以双曲线右焦点和椭圆的左焦点为极点，Ox轴方向向右，尚若Ox方向向左，其方程如何？

(讨论后)学生2答：

无需重新求方程，只须两个极坐标系Ox与Ox′之间的坐标关系作坐标转换(图3-25)．

(2)根据统一的极坐标方程，由几何条件求出e、p后即可写出曲线的极坐标方程，这要明确e、p的几何意义分别是离心率和焦准距(ep为

最新⼈教版⾼中数学选修4-4《极坐标系》教材梳理

庖丁巧解⽜

知识·巧学

⼀、极坐标系的概念1.在⽣活中,如台风预报、地震预报、测量、航空、航海等，经常⽤距离和⽅向来表⽰⼀点的位置.⽤距离和⽅向表⽰平⾯上⼀点的位置，就是极坐标.

极坐标系的建⽴：在平⾯内取⼀个定点O ，叫做极点.引⼀条射线Ox ，叫做极轴.再选定⼀个长度单位和⾓度正⽅向（通常取逆时针⽅向）.这样就建⽴了⼀个极坐标系.2.如图1-2-3，极坐标系内⼀点的极坐标的规定：对于平⾯上任意⼀点M ，⽤ρ表⽰线段OM 的长度，⽤θ表⽰从Ox 到OM 的⾓度，ρ叫做M 的极径，θ叫做点M 的极⾓，有序数对(ρ,θ)就叫做M 的极坐标.

图1-2-3

深化升华 极点、极轴、长度单位、⾓度单位和它的正⽅向，构成了极坐标系的四要素，缺⼀不可.1.特别规定：当M 在极点时，它的极坐标ρ=0，θ可以取任意值.

2.平⾯上⼀点的极坐标是不唯⼀的，有⽆数种表⽰⽅法.坐标不唯⼀是由极⾓引起的.不同的极坐标可以写出统⼀表达式.

⼆、极坐标和直⾓坐标的互化1.互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直⾓坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系中取相同的长度单位.2.互化公式??

≠=+===.0,t an ,,sin ,co s 222x x y y x y x θρθρθρ在进⾏两种坐标间的互化时,应注意以下⼏点:①两套公式是在三条规定下得到的;②由直⾓坐标求极坐标时,理论上不是唯⼀的,但这⾥约定只在主值范围内求值;③由直⾓坐标⽅程化为极坐标⽅程,最后要化简;④由极坐标⽅程化为直⾓坐标⽅程时要注意变形的等价性,通常总要⽤ρ去乘⽅程的两端,应该检查极点是否在曲线上,若在是等价变形,否则,不是等价变形.

问题·探究

问题1 平⾯内建⽴直⾓坐标系是⼈们公认的最容易接受并且被经常采⽤的⽅法，但为什么它并不是确定点的位置的唯⼀⽅法，为什么要使⽤极坐标?

探究:确定平⾯内⼀个点的位置时，有时是依靠⽔平距离与垂直距离这两个量，有时却是依靠距离与⽅位⾓（即“长度”与“⾓度”，这就是极坐标系的基本思想）这两个量.在⽣活中,如台风预报、地震预报、测量、航空、航海中等，甚⾄更贴近⽣活的如⼈听声⾳，不但有⾼低之分,还有⽅向之分.描述⼀个⼈所⾛的⽅向和路程，经常会这样说：从A 点出发向北偏东60°⽅向⾛了⼀段距离到B 点，再从B 点向南偏西15°⽅向⾏⾛……描述某飞机的位置：飞⾏⾼度1 200⽶，从飞机上看地平⾯控制点B 的俯⾓α=16°31′……这种位置的刻画能够给⼈⼀个很直观的形象.

1.2.2 极坐标与直角坐标的互化

一、教学目的：

1、掌握极坐标和直角坐标的互化关系式

2、会实现极坐标和直角坐标之间的互化

3、通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

二、重难点：

教学重点：会用极坐标和直角坐标的互化关系式进行坐标互化。

教学难点：互化关系式的掌握

三、教学过程：

（一）、复习引入：

1、知识回顾：极坐标的建立及其相关概念。（学生口答，教师作图）

2、三角函数的概念：如图，写出角θ的三角函数。

xyrxrytan,cos,sin

3、思考：

平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可以用极坐标表示，那么，这两种坐标之间有什么关系呢？

（二）、讲解新课：

直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P的指教坐标与极坐标分别为),(yx和),(，则由三角函数的定义和勾股定理可以得到如下两组公式：

{sincosyx {

xyyxtan222

说明1、上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式

2、通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取≥0，0≤≤2。

3、互化公式的三个前提条件

（1）. 极点与直角坐标系的原点重合; （2）. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;

（3）. 两种坐标系的单位长度相同.

特殊角的三角函数值

（三）、举例应用：

例1、 将点M的极坐标（5，32）化为直角坐标。

）。，的直角坐标（所以，点，解：2352523532sin532cos5Myx

例2：将点M的直角坐标坐标（3，-1）化为极坐标。

）。，的极坐标为（因此，点。在第三象限，所以因为点。，）（）（解：67267333131tan2131322MM

1 高一数学教学案(26)

必修1_02 指数函数（3）

班级 姓名

目标要求

1．熟练掌握指数函数的概念、图象、性质；

2．构建指数函数模型，解决实际问题，培养数学应用意识.

教学过程

一、复习引入：

1．指数的运算性质以及指数函数图象、性质：

2．设1)31(3131ab）（，试比较ababaa,,的大小关系

3．某种质量是1的放射性物质不断变化为其它物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%.则这种物质的剩留量y关于时间x的函数为 。

4．函数)10()(aaaxfx且对于任意的实数都有________________.

(1))()()(yfxfxyf (2))()()(yfxfxyf (3))()()(yfxfyxf (4))()()(yfxfyxf

二、典例欣赏：

例1 用清水漂洗衣服，已知每次能洗去污垢的34，设漂洗前衣服上的污垢量为1，写出衣服上存留的污垢量y与漂洗次数x之间的函数关系式.若要使存留的污垢不超过原有的1%，则至少要漂洗几次？

例2 某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x，本利和（本金加上利息）为y元.

（1）写出本利和y随存期x变化的函数变化式；

2 （2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，，试计算5期后的本利和.

例3 对于任意的Rxx21,，若函数xxf2)(，试比较2)()(21xfxf与)2(21xxf的大小关系．

例4 已知定义域为R的函数12()2xxbfxa是奇函数。（Ⅰ）求,ab的值；

（Ⅱ）若对任意的tR，不等式22(2)(2)0fttftk恒成立，求k的取值范围．