黑体辐射wien公式

量子力学结课论文：

对普朗克黑体辐射公式的推证及总结

摘要：黑体辐射现象是指当黑体（空腔）与内部辐射处于平衡时，腔壁单位面积所发射出的辐射能量与它所吸收的辐射能量相等。实验得出的平衡时辐射能量密度按波长分布的曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度有关，而与空腔的形状和组成物质无关。基于能量量子化的假设，普朗克提出了与实验结果相符的黑体辐射能量公式：

普朗克的理论很好地解释了黑体辐射现象，并且突破了经典物理学在微观领域内的束缚，打开了人类认识光的微粒性的途径［1］。本文主要介绍了普朗克公式的推导过程及其能量假设并将普朗克对黑体辐射的解释做了总结。

关键词：黑体辐射 能量量子化 普朗克公式 麦克斯韦-玻尔兹曼分布

1. 普朗克的量子化假设：

黑体以hν为能量单位不连续地发射和吸收频率为ν的光子的能量.且能量单位hν称为能量子，h为普朗克常量（h=6.）

2. 普朗克公式的推导过程：

2.1 任意频率ν下的辐射能量：

假设有一处于平衡状态的黑体，其内有数量为N的原子可吸收或发出频率为ν的光子，其中Ng 为这些原子中处在基态的原子数，Ne为处在激发态（此处指可由基态原子受频率为ν的光子激发达到的能态）的原子数，n为频率为ν的光子平均数。则由统计力学中的麦克斯韦-玻尔兹曼公式[2]知：

NeN Ng N由此可得

= = 平衡状态下，体系内原子在两能级间相互转化的速率相等，且其速率正比于转化的概率和该状态下的原子数目。结合爱因斯坦系数关系［3］可得：

Ng n=Ne (n+1) 结合，可解得：

则该状态下光子总能量为：

2.2 0= nhv =

频率段中可被体系接收的频率数目

设所求黑体为规整的立方体，其长，宽，高分别为体积为不妨先讨论一维情况：

体系线宽为L，则L必为光子半波长的整数倍，设其波数为K，有

1 实际原子的热辐射公式及爱因斯坦吸收系数确定

彭国良

福建省武夷山市环保局 ( 354300 )

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摘要：本文通过假定绝对黑体同一般物质一样由分子组成，称为黑体分子。黑体分子满足在截面内所有频率的光子都被吸收，在截面外全部不吸收，也称为绝对黑体分子的吸收截面。对所有频率的光子都相同，所有真实的物质原子的吸收截面都不大于黑体分子的吸收截面，黑体分子的吸收截面也是黑体分子的辐射截面，所有实际原子的辐射截面都相同，都与黑体分子的吸收截面相等。在此基础上，根据基尔霍夫公式和普朗克公式可以推导出一个实际原子在各种温度下辐射热能谱的公式；根据原子中电子跃迁的几率与原子吸收相应光子的速率存在对应关系，可确定爱因斯坦吸收系数A，吸收系数B的函数关系。本文还推导了在两个不同温度原子之间辐射与吸收光子的相应关系。

关键词：黑体辐射；活化光子吸收截面；辐射截面；爱因斯坦吸收系数。

1引言

所有物体都能发射热辐射，而热辐射与光辐射一样，都是一定频率范围内的电磁波。1859年【1】，基尔霍夫（G.R.Kirchhoff）证明，黑体与热辐射达到平衡时，辐射能量密度),(Tfu随频率变化曲线的形状与位置只与黑体的绝对温度有关，而与空腔的形状及组成的物质无关。1893年，维恩（W.Wien）发现黑体辐射的位移律实验测得黑体辐射本领在不同温度下，随波长的变化规律。根据维恩位移公式，可以确定黑体的辐射本领极大值所对应的频率fm与黑体绝对温度成正比。1900年10月19日，基尔霍夫的学生普朗克，在德国物理学会会议上提出了一个黑体辐射能量密度的分布公式。但普朗克黑体辐射公式只能应用于黑体辐射情况，而不能对实际原子的热辐射情况进行预测，实际上，现代就没有各种物质原子的热能谱辐射公式。

精心整理

word. 普朗克黑体辐射公式的推导

所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。

黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。

辐射热平衡状态:处于某一温度T下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。

实验发现：

热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度T有关而与黑体的形状和材料无关。

实验得到：

1.Wien公式 从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式：

Wien公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。

2. Rayleigh-Jeans公式

Rayleigh-Jeans公式在低频区和实验相符，但是在高频区公式与实验不符，并且0vvdEE，既单位体积的能量发散，而实验测得的黑体辐射的能量密度是4TE，该式叫做Stefan-Bolzmann公式，叫做Stefan-Bolzmann常数。

3. Planck黑体辐射定律

1900年１２月１４日Planck提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。作为辐射原子的模型，Planck假定：

（1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v振荡；

（2）黑体只能以E=hv为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。

得到：

dkThChd1)/exp(1833该式称为Planck辐射定律

h为普朗克常数，h=sj.10626.634

4，普朗克的推导过程：

把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为).(),(wtrKikkeCtr，为常系数振方向，表示两个互相垂直的偏kC2,1

每一个简振模在力学上等价于一个自由度，记频率在d,内的自由度数为dg， 精心整理

黑体辐射随波长的变化规律

研究要求和目标：

1、 根据普朗克公式，计算斯特潘常数及维恩常数。

2、 以温度为参量，通过计算给出单色辐射本领随波长的变化规律。

研究准备

背景知识：

在19世纪开始的时候，天文学家赫谢耳(F.W.Herschel，1739—1822)发现了红外辐射的热效应。他在实验中用灵敏温度计测试太阳光谱各部分的热效应，结果发现在红外光谱以外的区域温度升得最高，他认为在可见的红光之外还有不可见的辐射，这就是通常所指的热辐射。以后物理学家们对于热物体发射的辐射感到有兴趣，为了研究谱线的可见光部分，使用了照像的方法，对于红外区域即热辐射部分用热电偶测量。

在实验发现的基础上，理论研究也活跃起来了，总结实验发现的经验规律也就相继地提出来了。1859年德国物理学家基尔霍夫(G.R.Kirchhoff，1824—1887)得到如下结论：“在相同的温度下同一波长的辐射本领与吸收系数之比对于所有物体都是相同的，是一个取决于波长和温度的函数。”如果这一函数用φ(λ，T)表示，物体的辐射本领，即从物体表面单位面积上所发射的波长在λ附近的单位波长间隔的辐射功率用e(λ，T)表示，物体的吸收系数，即物体在波长λ和λ+dλ范围内吸收的能量与入射能量的比率用a(λ，T)表示，则当物体处在辐射平衡时有

𝑒(λ,T)𝑎(λ,T)=φ(λ,T)

当物体的吸收系数a=1时，φ(λ、T)就是该物体的辐射本领。

绝对黑体：若以物体对什么光都吸收而无反射，我们就称这种物体为“绝对黑体”，简称“黑体”。在1860年，基尔霍夫把a=1的理想物体定义为“绝对黑体”，这种黑体在任何情况下能够吸收射在它上面的一切热辐射，所以对绝对黑体的研究成为寻找基尔霍夫函数φ(λ，T)的关键。事实上，当然不存在“绝对黑体”，不过有些物体可以近似地作为“黑体”来处理，例如一束光一旦从狭缝射入空腔后就很难再通过狭缝反射出来，这个空腔的开口就可以被看做是黑体。