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黑体辐射公式

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黑体辐射公式(普朗克公式):

推导普朗克黑体辐射公式

设黑体腔内是稳定的驻波场,是具有不同频率、不同传播方向的驻波系统.在腔壁上电场形成波节,磁场形成波腹.每一驻波代表一种振动模式.

以长方形腔为例.腔内某一驻波的波矢为:

产生驻波的条件为:

其中

因此，谐振腔中可以存在的波矢为:

因此有

一组 对应一种模式.不同的频率应有不同的模式,相同的频率,因k方向不同,也会有不同的模式.

一组 对应一个波矢,对应波矢三维空间中的一个点.

波矢三维空间中的一任意点,其坐标为

注意:驻波波矢有限制.

不同的 形成三维空间点阵, 8个格点形成一个长方体元,

每个格点又属于8个长方体元

因此,每一格点对应一个长方体元, 有n个格点，

对应n个长方体元, 就有n个振动模式.

频率从 0～ 范围内, 有多少个振动模式? 由

可知，允许存在的波矢数等于在波矢空间内半径为2/c的球体内可以存在的体元数。因m1、m2、m3为正整数，故对应1/8球体内的体元数：

30221(,).1hkThrTce2222,xyzkkkk2cos,xk2cos,yk2cos,zk123,,0,1,2,mmm112cos,Lm222cos,Lm332cos.Lm11,xkmL22,ykmL33.zkmL222,/kcc22222312123()()()mmmkLLL222312123()()().22mmmcckLLL1,2,3mmm1,2,3mmm123123(,,)mmmLLL1,2,3mmm222222()xyzkkkkc43331424(),833Vcc球体元的体积:

其中，V =L1L2L3为谐振腔的体积

体元数:

考虑到两个偏振态:

将上式两边除以V并对 微分,得单位体积频率在～ d 范围内的本征模数.

普朗克认为,黑体腔器壁是不同频率的线性谐振子,由能量子假说,这些谐振子取分立的值,

按照玻耳兹曼定理,具有能量 的振动几率有如下关系

所以,平均能量为

壁上振子分布应与驻波分布相同,

因此单位体积内频率范围在  ~ d 内的能量密度为

黑体单色辐出度为

二

证明关系式

热辐射以光速c向各个方向辐射，

因此，在任意一方向上的立体角d内，

频率为的辐出度为

在小孔外２立体角空间内总辐射能量为

3123.VLLLV元334,3VVVc球元338.3NVc238,dndc0,h0,m0000,,2,3230001:::kTkTkTeee0000000.11mkTmkTmhkTkTmmeheee3381().1hkThdce30221(,)(,).41hkTchrTTce220001(,)(,)cossin(,)44crTcTddT0(,)(,).4crTT0(,)(,)cos,4cdrTTd

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普朗克黑体辐射公式

普朗克黑体辐射公式

普朗克黑体辐射公式

普朗克黑体辐射公式是描述黑体辐射的定律，由德国物理学家马克斯·普朗克于1900年提出。公式如下：

B(λ, T)= (2hc²/λ^5) * (1/(e^(hc/λkT) - 1))

其中，

- B(λ, T) 是单位面积、单位波长范围内黑体辐射的辐射能量（单位为能量/面积/波长范围）；

- λ 是波长；

- T 是黑体的绝对温度；

- h 是普朗克常数（6.62607015×10⁻³⁴ J · s）；

- c 是光速（3×10^8 m/s）；

- k 是玻尔兹曼常数（1.380649×10⁻²³ J/K）。

普朗克黑体辐射公式可以用来计算黑体辐射的强度分布，即对不同波长的光的辐射强度。这个公式在解释黑体辐射和量子力学的发展中起到了重要作用。

普朗克黑体辐射公式用波长证明

普朗克黑体辐射公式用波长证明

普朗克黑体辐射公式用波长证明

普朗克黑体辐射公式是描述黑体辐射的一个重要公式，它可以用来计算黑体辐射的能量分布与频率或波长的关系。在本文中，我们将以波长为变量，证明普朗克黑体辐射公式的有效性。

让我们回顾一下普朗克黑体辐射公式的表达式：

B(λ, T) = (2hc²/λ^5) * (1/(e^(hc/λkT) - 1))

其中，B(λ, T)表示波长为λ时，温度为T的黑体辐射的辐射能量密度。h为普朗克常数，c为光速，k为玻尔兹曼常数。

为了证明普朗克黑体辐射公式的有效性，我们需要通过实验数据与该公式进行对比。为此，我们选取了几组实验数据，并进行了计算和比较。

我们选取了波长为500nm的情况。假设温度为300K，代入普朗克黑体辐射公式中，得到：

B(500nm, 300K) = (2 * 6.62607015 * 10^(-34) * 3 * 10^8² /

(500 * 10^(-9))⁵) * (1 / (e^((6.62607015 * 10^(-34) * 3 * 10^8)

/ (500 * 10^(-9)) * 1.380649 * 10^(-23) * 300) - 1))

经过计算，得到B(500nm, 300K)约为 1.484 * 10^(-18)

W/m²·nm。这个数值表示在波长为500nm处，温度为300K的黑体辐射的辐射能量密度。

接下来，我们选取了波长为1000nm的情况。同样假设温度为300K，代入公式中，得到：

B(1000nm, 300K) = (2 * 6.62607015 * 10^(-34) * 3 * 10^8² /

(1000 * 10^(-9))⁵) * (1 / (e^((6.62607015 * 10^(-34) * 3 * 10^8)

/ (1000 * 10^(-9)) * 1.380649 * 10^(-23) * 300) - 1))

黑体辐射

黑体辐射

式中：W0 为黑体总辐射通量密度，单位（W²cm-2）；σ为斯忒藩-玻耳

兹曼常量，（σ=（5.6697±0.0029）³10-2W²cm-2²k-4）

式（2-7）为斯忒藩-玻耳兹曼定律，即黑体总辐射通量密度随温度的增 加而迅速增大，它与温度的四次方成正比。因此，温度只要有微小变化，就 会引起辐射通量密度很大的变化，在用红外装置测定温度时，就是根据此定 律作为理论依据的。

从图 2-10 中可以看到黑体辐射均有个极大值，它所对应的波长λmax，

若对（2-6）式的 Wλ（λ，T）求波长的偏微分，并求极值，即可得到λmax。

?W? (?，T) ? 0

??

经整理可得：λmax²T=b

（2 - 8）

式中：λmax 为辐射通量密度的峰值波长；b 为常数，b=2897.8±0.4（μ

m²k）。

（2-9）式称为维恩位移定律，它说明随着温度的升高，辐射最大值对应 的峰值波长向短波方向移动，

表 2-4 给出不同温度时λmax 的数值。

表 2-4 不同温度时黑体辐射的峰值波长

T(K) 273 300 310 1000 2000

3000 4000 5000 6000 7000

λ max

μm 10.61 9.66 9.34 2.90 1.45 0.97

0.72 0.58 0.48 0.41

上述讨论的是黑体辐射，自然界一般物体不是黑体，但在某一确定温度

T 时，物体最强辐射所对应的波长λmax，也可以用维恩位移公式计算出近似

值。如：人体表面平均温度为 37°（即 310K），其发射到空间的电磁辐射的峰值波长为外波段。 9.34即人体辐射的峰值波长位于热红

二、地物的发射光谱特性

任何地物当温度高于绝对温度OK 时，组成物质的原子、分子等微粒，在 不停地做热运动，都有向周围空间辐射红外线和微波的能力。通常地物发射

黑体辐出度与温度的公式

黑体辐出度与温度的公式

黑体辐出度与温度的公式

黑体辐出度与温度的公式：

1. 什么是黑体辐出度？

黑体辐出度（英文名称为Blackbody Radiation）是一种物理表征，指的是一个完全吸收所有照射在其表面的电磁辐射的理想体（无视其原子结构）学习物体所散射出的电磁辐射强度，也就是说它可以将其表面所受电磁辐射转化为所散发的电磁辐射。

2. 黑体辐出度与温度之间的关系

黑体辐出度与温度之间存在着紧密的联系，当一个物体的温度增加时，它的黑体辐出度也会随之增加，直到温度达到它发出的辐射机器的强度饱和程度，此时辐射达到最大值。同时，温度与辐射之间还存在一种唯一的定律：Plank定律，即黑体辐射发射出的功率可以用温度描述。而Plank定律通常可以使用温度T表达，其数学表达式为：

P =\\frac{2\\pi hc^2}{\\lambda^5}\\left(\\exp \\left (\\frac{hc}{\\lambda

kT}\\right )-1\\right)

其中P为功率，h 为 PLANCK 常数，c为光速，λ 为波长，k 为BOLTZMANN 常数，T 为温度。

3. 优势

黑体辐出度和温度关系的研究对物理学的研究具有重要意义，首先它将电磁辐射和温度这两个重要物理量结合在一起，其次可以更加清楚地了解物质发射的能量大小和温度大小之间的内在联系，从而可以更好地控制物质的发射能量。第三，它还可以更加精确地描述多普勒效应，尤其是表面散射，这对于光学技术有重要意义。

4. 应用

黑体辐出度和温度关系不仅在物理学中有重要意义，而且在医学、电子学、光学、天文学、生物学、半导体等领域中也有着广泛的应用，其中最为重要的就是电竞赛与扫描电子显微镜（SEM）。其中，电竞赛技术是利用黑体辐射原理来进行显微检查，用黑体辐射来检测被查物的组成成分；扫描电子显微镜则可以利用黑体辐射来了解检测物体表面的细节结构与形状，这可以大大提高研究者快速和精确地检测物体的性能。