量子力学第一章作业

量子力学习题及解答

第一章 量子理论基础

1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m与温度T成反比，即

m T=b（常量）；

并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式

dvechvdkThvvv11833， （1）

以及 cv， （2）

ddvvv， （3）

有

,118)()(5kThcvvehccdcdddv

这里的的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，取得极大值，因此，就得要求 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m。但要注意的是，还需要验证对λ的二阶导数在m处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m就是要求的，具体如下：

01151186'kThckThcekThcehc  0115kThcekThc

 kThcekThc)1(5

如果令x=kThc ，则上述方程为

xex)1(5

这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有

xkhcTm

把x以及三个物理常量代入到上式便知

KmTm3109.2

这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

第一章 量子力学基础例题与习题

一、练习题

1．立方势箱中的粒子，具有 的状态量子数， 是

A． 211 B． 231 C． 222 D． 213。

解：(C)。

2．处于状态 的一维势箱中的粒子，出现在 处的概率是多少？

A． B． C． D．

E． 题目提法不妥，以上四个答案都不对。

解：(E)。

3．计算能量为100eV光子、自由电子、质量为300g小球的波长。

( )

解： 光子波长

自由电子

300g小球 。

4．根据测不准关系说明束缚在0到a范围内活动的一维势箱中粒子的零点能效应。

解：。 5．链状共轭分子 在波长方向460nm处出现第一个强吸收峰，试按一维势箱模型估计该分子的长度。

解：

6．设体系处于状态 中，角动量 和 有无定值。其值是多少？若无，求其平均值。

解：角动量 角动量平均值

7．函数 是不是一维势箱中粒子的一种可能的状态？如果是，其能量有没有确定值？如有，其值是多少？如果没有确定值，其平均值是多少？

解：可能存在状态，能量没有确定值，

8．求下列体系基态的多重性。(2s+1) (1)二维方势箱中的9个电子。(2) 二维势箱中的10个电子。(3)三维方势箱中的11个电子。

解：(1)2，(2)3，(3)4。

9．在0－a间运动的一维势箱中粒子，证明它在 区域内出现的几率 。当 ，几率P怎样变？

解：

10．在长度l的一维势箱中运动的粒子，处于量子数n的状态。求 (1)在箱的左端1/4区域内找到粒子的几率？(2)n为何值，上述的几率最大？(3) ，此几率的极限是多少？(4)(3)中说明什么？ 解：

11．一含K个碳原子的直链共轭烯烃，相邻两碳原子的距离为a，其中大π键上的电子可视为位于两端碳原子间的一维箱中运动。取l＝(K－1)a，若处于基组态中一个π电子跃迁到高能级，求伴随这一跃迁所吸收到光子的最长波长是多少？

第一章 绪论

1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：CmbbT

m03

109.2 ,

×´==-

l。

证明：由普朗克黑体辐射公式：由普朗克黑体辐射公式：

nnpnr

nnd

ech

d

kTh

118

33

-=，

及

lnc=、l

lndc

d

2-=得

118

5

-=

kThc

ehc

ll

lp

r，

令

kThc

x

l=，再由0

=

lr

l

dd

，得l.所满足的超越方程为所满足的超越方程为

15

-=

xx

exe

用图解法求得97.4

=x，即得97.4

=

kThc

ml，将数据代入求得Cm109.2 ,03

×´==-

bbT

ml

1.2．在0K附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie波长. 

解：010

A7.09m1009.7

2=´»==-

mEh

ph

l

# 1.3. 氦原子的动能为kTE

23

=，求KT1

=时氦原子的de Broglie波长。波长。

解：010

A63.12m1063.12

32=´»===-

mkTh

mEh

ph

l

其中kg1066.1003.427-

´´=m，123

KJ1038.1--

×´=k

# 

1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求：利用玻尔—索末菲量子化条件，求：

（1）一维谐振子的能量。）一维谐振子的能量。

（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。

已知外磁场T10

=B，玻尔磁子123

TJ10923.0--

×´=

Bm，求动能的量子化间隔E

D，并与

K4

=T及K100

=T的热运动能量相比较。的热运动能量相比较。

解：（1）方法1：谐振子的能量222

21

2qp

Emw

m+=

可以化为()1

222

22

22

=

÷÷

øö

çç

èæ+

mwm

Eq

Ep

的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为

22

,2

mwmE

bEa

==，相空间面积为，相空间面积为

󰀀,2,1,0,2

=====ònnhEE

abpdq

nwp

p

所以，能量󰀀,2,1,0,

==nnhEn

方法2：一维谐振子的运动方程为02

=+¢¢qqw，其解为，其解为

量⼦⼒学总结习题考卷及答案

第⼀章

⒈玻尔的量⼦化条件，索末菲的量⼦化条件。

⒉⿊体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对⿊体，简称⿊体。

⒎普朗克量⼦假说：

表述1：对于⼀定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。

表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量⼦的⽅式进⾏，每个量⼦的能量为：ε=h ν。

表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。

⒏光电效应：光照射到⾦属上，有电⼦从⾦属上逸出的现象。这种电⼦称之为光电⼦。

⒐光电效应有两个突出的特点：

①存在临界频率ν0：只有当光的频率⼤于⼀定值v0 时，才有光电⼦发射出来。若光频率⼩于该值时，则不论光强度多⼤，照射时间多长，都没有光电⼦产⽣。

②光电⼦的能量只与光的频率有关，与光的强度⽆关。光的强度只决定光电⼦数⽬的多少。⒑爱因斯坦光量⼦假说：

光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现，⽽且以这种形式在空间以光速C 传播，这种粒⼦叫做光量⼦，或光⼦。爱因斯坦⽅程

⒒光电效应机理：

当光射到⾦属表⾯上时，能量为E= hν的光⼦⽴刻被电⼦所吸收，电⼦把这能量的⼀部分⽤来克服⾦属表⾯对它的吸引，另⼀部分就是电⼦离开⾦属表⾯后的动能。

⒓解释光电效应的两个典型特点：

①存在临界频率v0：由上式明显看出，当hν- W0≤0时，即ν≤ν0 = W0 / h时，电⼦不能脱出⾦属表⾯，从⽽没有光电⼦产⽣。

②光电⼦动能只决定于光⼦的频率：上式表明光电⼦的能量只与光的频率ν有关，⽽与光的强度⽆关。

⒔康普顿效应：⾼频率的X射线被轻元素如⽩蜡、⽯墨中的电⼦散射后出现的效应。

⒕康普顿效应的实验规律：

①散射光中，除了原来X光的波长λ外，增加了⼀个新的波长为λ'的X光，且λ' >λ；

②波长增量Δλ=λ-λ随散射⾓增⼤⽽增⼤。

⒖量⼦现象凡是普朗克常数h在其中起重要作⽤的现象

⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒⼆象性