量子力学作业xin

量子力学与纳米科技

1 量子力学的发展

量子力学的发展从研究黑体辐射开始，1899 年瑞利利用经典统计力学推出空腔辐射能量密度的频率分布正比于频率的公式：

23(8/)vBdvvcKTdv

表明在短波极限发散，这就是著名的“紫外灾难”，被称为物理学的“危机”。

1900 年普朗克采用维恩和瑞利‐金斯公式中合理部分，扬弃其不合理部分，用插值法导出一个符合实验数据的半经验公式：

2318BvhvKTvhvdvdvce

指出频率为v的谐振子的能量变化只取一些分立的数值，是能量最小单元hv的整数倍，hv称为能量子。量子这个词从此问世。

1905 年爱因斯坦提出光量子假说，指出光是微粒，并以此提出光电方程：

2/2mvhvW

1909 年又提出光量子的动量公式：

/phk

光的粒子性以后在研究康普顿效应时，以非常直观的图像得到进一步证实。光电效应方程也由密立根实验全面证明。

1913 年玻尔提出原子结构的量子化轨道，用“能级”和“量子跃迁”假说解释氢原子谱线的发射和吸收，建立量子化的氢原子模型取得极大的成功。

1923 年德布罗意提出物质波的概念，物质粒子皆具有波粒二象性，均可用类似爱因斯坦光量子的能量和动量公式表示，标志着新量子理论的开始。

1925 年海森堡、波恩等创立矩阵力学，标志量子理论跨进了一个崭新阶段。紧接着狄拉克在海森堡的矩阵力学基础上，应用玻尔对应原理的思想，提出了类似矩阵力学的更简洁的正则化量子方案，使量子力学大大地前进了一步。

1926 年薛定谔建立了波动力学，一种强调物质波动性的第二种形式的量子力学，以此成功地解决了氢原子光谱的各种问题，丰富了量子力学。

1927 年海森堡根据波粒二象性提出了“不确定性原理”，也称“测不准原理”诠释波粒二象性，成为哥本哈根学派量子理论的一根支柱。玻尔提出著名的“互补原理”来诠释波粒二象性，成为哥本哈根学派量子理论的基本观点的核心。

1928 年狄拉克提出符合狭义相对论的“相对性波动方程”。

1929 年海森堡、泡利提出把电磁作为动力学体系的电子和电磁场相互作用的相对论性量子力学，是量子场论的序曲。

1927~1955 年，在此期间，以爱因斯坦为首的实在论和因果论的维护者与以玻尔为首的哥本哈根学派，一直就量子力学的完备性和物理真实的实在性等问题进行论战。这个论战至今仍未完结。狄拉克曾经说过这样一段话：“我认为也许结果最终会证明爱因斯坦是正确的，因为不应该认为量子力学的现在形式是最后的形式。„„我认为很可能在将来某个时间，我们会得到一个改进了的量子力学，使其回到决定论，„„但是这种重新回到决定论，只有以放弃某些基本思想为代价才能办到，而这些基本思想我们现在认为是没有问题的。”

我认为狄拉克的看法接近于辩证唯物主义的哲学思想。虽然不能用哲学去代替科学的研究，科学研究要在自身的理论研讨和实验中去求发展，但有了正确的世界观就可以避免迷失方向，少走弯路。量子力学作为微观世界的强有力的科学手段必将在理论研究和应用中继续提高和发展。

2 量子力学的基本原理

2.1 用波函数来描述微观系统的状态，波函数满足统计诠释

由于波粒二象性是微观粒子的本性，描述微观粒子状态的数字工具就应该是波函数，一般可表示为(,)rt即态函数。两个波在空间传播时在每一点可以叠加，发生干涉、衍射。并且微观粒子并是经典波那样弥散在全空间，而是呈现为一份份集中的能量、动量和电荷，它的作用可以对微观粒子的各种力学量（坐标、动量、角动量、能量等）的观察结果作出预言。

根据统计理论，微观粒子出现在空间不同位置的概率分布，即波的强度应该用波函数模的平方2(,)*(,)(,)rtrtrt来描述。

波函数的叠加原理即是 1122(,)(,)(,)rtCrtCrt

2.2 关于力学量算符的假定

量子力学用算符来表示力学量，如 等。通过它对态函数

(,)rt的运算，可以得到该力学量在(,)rt所描述状态中的平均值。

如：

力学量的基本算符：

线性厄米算符：

其证明条件：

算符的本征方程：

式中为算符的本征值。

力学量所有可能的取值是该算符的本征值。在给定的态中，各取值的概率也唯一的确定。即在状态(,)rt 中测力学量F得值if的概率是(,)rt 用的本征函数系展开式中i 的系数的绝对值的平方：

(,)()()iiirtCtr 2iiPC

对连续谱为概率密度：

(,)()()ffrtCtrdf 2ffPC

2.3 关于薛定谔方程的假说

薛定谔方程（Schrdinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。

作为描述状态随时间变化的方程，应包含有对波函数的时间导数。根据叠加原理方程必须是线性，从而写成 ，其中是一个作用在坐标r上的线性算符。

根据哈密顿算符：

可建立薛定谔方程：222iUtm

定态薛定谔方程为：22()()()()2rUrrErm

应用该方程及初始条件，即可解微观粒子的运动问题。

2.4 多粒子系统的全同性原理

在量子力学中，相同的粒子完全失去自己的“个性”，无法加以区分。全同性粒子组成的体系中，两全同粒子相互交换后，不引起物理状态的改变。

以上就是量子力学原理的基本框架。

把以上基本原理与经典物理牛顿力学比较，有以下区别：

1) 经典物理牛顿力学中粒子与波是不相容的两种概念，物质不具备波粒二象性。

2) 宏观粒子遵从牛顿力学，在绝对空间和时间，按照牛顿定律运动。

位置、动量、角动量、能量都有确定值。

机械波也是粒子的运动，遵循牛顿定律。

电磁波遵从麦克斯韦的经典电动力学规律。

热现象有热力学及玻尔兹曼、吉布斯等人建立的统计物理学。

3) 对于微观粒子，由于波粒二象性非常显著，位置和动量具有不确定性，因而经典的力学和电磁学等都不适用。从而无法描述原子、分子等微观粒子的运动规律，无法掌握和利用。

经典物理牛顿力学与量子力学的这些区别使我们在初学量子力学时容易感到迷惑。加之在基本原理之上的极为抽象的论述，矩阵和概率的繁复数学运算，确实使我们感到困难。但看来关键还是在于更新观念，透彻理解波粒二象性等基本原理，才可以掌握和应用量子力学。

3 纳米科技

3.1 纳米科技研究现状

纳米技术是20世纪90年代出现的一门新兴技术。它是在0.10至100纳米(即十亿分之一米)尺度的空间内，研究电子、原子和分子运动规律和特性的崭新技术。

著名的诺贝尔奖获得者Feyneman在60年代就预言：如果对物体微小规模上的排列加以某种控制的话，物体就能得到大量的异乎寻常的特性。他所说的材料就是现在的纳米材料。纳米材料研究是目前材料科学研究的一个热点，纳米技术被公认为是21世纪最具有前途的科研领域。 纳米材料从根本上改变了材料的结构，为克服材料科学研究领域中长期未能解决的问题开辟了新途径。

3.2纳米技术的应用

3.2.1在陶瓷领域的应用

随着纳米技术的广泛应用，纳米陶瓷随之产生，希望以此来克服陶瓷材料的脆性，使陶瓷具有像金属一样的柔韧性和可加工性。许多专家认为，如能解决单相纳米陶瓷的烧结过程中抑制晶粒长大的技术问题，则它将具有高硬度、高韧性、低温超塑性、易加工等优点。

3.2.2 在微电子学上的应用

纳米电子学立足于最新的物理理论和最先进的工艺手段，按照全新的理念来构造电子系统，并开发物质潜在的储存和处理信息的能力，实现信息采集和处理能力的革命性突破，纳米电子学将成为下世纪信息时代的核心。

3.2.3 在生物工程上的应用

虽然分子计算机目前只是处于理想阶段，但科学家已经考虑应用几种生物分子制造计算机的组件，其中细菌视紫红质最具前景。该生物材料具有特异的热、光、化学物理特性和很好的稳定性，并且，其奇特的光学循环特性可用于储存信息，从而起到代替当今计算机信息处理和信息存储的作用，它将使单位体积物质的储存和信息处理能力提高上百万倍。

3.2.4 在光电领域的应用

纳米技术的发展，使微电子和光电子的结合更加紧密，在光电信息传输、存贮、处理、运算和显示等方面，使光电器件的性能大大提高。将纳米技术用于现有雷达信息处理上，可使其能力提高10倍至几百倍，甚至可以将超高分辨率纳米孔径雷达放到卫星上进行高精度的对地侦察。最近，麻省理工学院的研究人员把被激发的钡原子一个一个地送入激光器中，每个原子发射一个有用的光子，其效率之高，令人惊讶。

3.2.5在化工领域的应用

将纳米2TiO粉体按一定比例加入到化妆品中，则可以有效地遮蔽紫外线。将金属纳米粒子掺杂到化纤制品或纸张中，可以大大降低静电作用。利用纳米微粒构成的海绵体状的轻烧结体，可用于气体同位素、混合稀有气体及有机化合物等的分离和浓缩。纳米微粒还可用作导电涂料，用作印刷油墨，制作固体润滑剂等。

研究人员还发现，可以利用纳米碳管其独特的孔状结构，大的比表面（每克纳米碳管的表面积高达几百平方米）、较高的机械强度做成纳米反应器，该反应器能够使化学反应局限于一个很小的范围内进行。

3.2.6 在医学上的应用

科研人员已经成功利用纳米微粒进行了细胞分离，用金的纳米粒子进行定位病变治疗，以减少副作用等。另外，利用纳米颗粒作为载体的病毒诱导物已经取得了突破性进展，现在已用于临床动物实验，估计不久的将来即可服务于人类。 研究纳米技术在生命医学上的应用，可以在纳米尺度上了解生物大分子的精细结构及其与功能的关系，获取生命信息。科学家们设想利用纳米技术制造出分子机器人，在血液中循环，对身体各部位进行检测、诊断，并实施特殊治疗。

3.2.7 在分子组装方面的应用

如何合成具有特定尺寸，并且粒度均匀分布无团聚的纳米材料，一直是科研工作者努力解决的问题。目前，纳米技术深入到了对单原子的操纵，通过利用软化学与主客体模板化学，超分子化学相结合的技术，正在成为组装与剪裁，实现分子手术的主要手段。

纳米技术作为一种最具有市场应用潜力的新兴科学技术，其重要性毋庸质