2025年高考数学一轮复习课件第六章数列-6.3等比数列

第3讲 等比数列及其前n项和

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1．等比数列的有关概念

(1)定义

假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an＋1an＝q(q≠0，n∈N*)．

(2)等比中项

假如a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇒G2＝ab．

2．等比数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1qn－1．

(2)前n项和公式：Sn＝na1，q＝1，a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q，q≠1.

3．等比数列的性质

已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(m，n，p，q，r，k∈N*)

(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a2r；

(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列；

(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．

1．辨明三个易误点

(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能为0，但q可为正数，也可为负数．

(2)由an＋1＝qan，q≠0，并不能马上断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.

(3)在运用等比数列的前n项和公式时，必需留意对q＝1与q≠1分类争辩，防止因忽视q＝1这一特殊情形而导致解题失误．

2．等比数列的三种判定方法

(1)定义法：an＋1an＝q(q是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．

(2)通项公式法：an＝cqn－1(c、q均是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．

(3)等比中项法：a2n＋1＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列． 3．求解等比数列的基本量常用的思想方法

(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和公式中联系着五个量：a1，q，n，an，Sn，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中依据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键．

小学+初中+高中

小学+初中+高中 第3讲 等比数列及其前n项和

一、选择题

1．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2，3S2＝a3－2，则公比q＝( )

A．3 B．4

C．5 D．6

解析：选B.由题意知，q≠1，则3a1（1－q3）1－q＝a1q3－23a1（1－q2）1－q＝a1q2－2，两式相减可得－3（q3－q2）1－q＝q3－q2，即－31－q＝1，所以q＝4.

2．(2018·成都第二次诊断检测)在等比数列{an}中，已知a3＝6，a3＋a5＋a7＝78，则a5＝( )

A．12 B．18

C．36 D．24

解析：选B.a3＋a5＋a7＝a3(1＋q2＋q4)＝6(1＋q2＋q4)＝78⇒1＋q2＋q4＝13⇒q2＝3，所以a5＝a3q2＝6×3＝18.故选B.

3．(2017·高考全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )

A．1盏 B．3盏

C．5盏 D．9盏

解析：选B.每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得a1（1－27）1－2＝381，解得a1＝3，选择B.

4．(2018·广州综合测试(一))已知等比数列{an}的各项都为正数，且a3，12a5，a4成等差数列，则a3＋a5a4＋a6的值是( )

A．5－12 B.5＋12

C．3－52 D.3＋52

解析：选A.设等比数列{an}的公比为q，由a3，12a5，a4成等差数列可得a5＝a3＋a4，即a3q2＝a3＋a3q，故q2－q－1＝0，解得q＝1＋52或q＝1－52(舍去)，由a3＋a5a4＋a6＝a3＋a3q2a4＋a4q2＝a3（1＋q2）a4（1＋q2）＝1q＝25＋1＝2（5－1）（5＋1）（5－1）＝5－12，故选A. 小学+初中+高中

2011届高考数学第二轮专题复习系列

3 来源 佰圆 /

2011届高考数学第二轮专题复习系列 3 来源 佰圆 /

高三数学第二轮专题复习系列(3)-- 数 列

一、本章知识结构：

二、高考要求

1． 理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项.[来源:学科网ZXXK]

2． 理解等差（比）数列的概念，掌握等差（比）数列的通项公式与前n项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题.

3． 了解数学归纳法原理，掌握数学归纳法这一证题方法，掌握“归纳—猜想—证明”这一思想方法.

三、热点分析

1.数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式、极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.

2.有关数列题的命题趋势 （1）数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点 （2）数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查逻辑推理能力，近两年在数列题中也加强了推理能力的考查。（3）加强了数列与极限的综合考查题

3.熟练掌握、灵活运用等差、等比数列的性质。等差、等比数列的有关性质在解决数列问题时应用非常广泛，且十分灵活，主动发现题目中隐含的相关性质，往往使运算简洁优美.如243546225aaaaaa，可以利用等比数列的性质进行转化：从而有223355225aaaa，即235()25aa.

- 1 - 阶段性测试题六(数 列)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)

1．(文)(2011·北京朝阳区期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2，则a2等于( )

A．4 B．2

C．1 D．－2

[答案] A

[解析] S1＝2a1－2＝a1，∴a1＝2，S2＝2a2－2＝a1＋a2，∴a2＝4.

(理)(2011·江西南昌市调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S33－S22＝1，则数列{an}的公差是( )

A.12 B．1

C．2 D．3

[答案] C

[解析] 设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋nn－12d，

∴{Snn}是首项为a1，公差为d2的等差数列，

∵S33－S22＝1，∴d2＝1，∴d＝2.

2．(2011·北京西城区期末)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )

A.a5a3 B.S5S3

C.an＋1an D.Sn＋1Sn

[答案] D

[解析] 等比数列{an}满足8a2＋a5＝0，即a2(8＋q3)＝0，∴q＝－2，∴a5a3＝q2＝4，an＋1an＝q＝－2，S5S3＝a11－q51－qa11－q31－q＝1－q51－q3＝113，都是确定的数值，但Sn＋1Sn＝1－qn＋11－qn的值随n的变化而变化，故选D. - 2 - 3．(文)(2011·巢湖质检)设数列{an}满足a1＝0，an＋an＋1＝2，则a2011的值为( )

A．2 B．1

C．0 D．－2

[答案] C

[解析] ∵a1＝0，an＋an＋1＝2，∴a2＝2，a3＝0，a4＝2，a5＝0，…，即a2k－1＝0，a2k＝2，∴a2011＝0.