３ 长方体和正方体通过观察长方体、正方体形状的实物ꎬ分别找出长方体、正方体的特征ꎻ再对比长方体和正 方体的特征ꎬ理解它们之间的关系ꎮ１.长方体和正方体的认识新课先知教材 Ｐ１８ 例１ 长方体的特征我先尝试着做做看: (１) 长方体有个面ꎬ每个面都是形( 特殊情况有两个相对的面是形) ꎬ的面完全相同ꎮ(２) 长方体有条棱ꎬ相对的４ 条棱长度ꎮ 长方体有个顶点ꎮ教材 Ｐ１９ 例２ 长方体长、宽、高的意义 做一个长方体框架ꎮ我先尝试着做做看: 长方体的１２ 条棱可以分为 组ꎮ 一般情况下相交于同一顶点的三条棱的长度ꎮ教材 Ｐ２０ 例３(１) 正方体的特征观察一个正方体ꎮ 思考:正方体的６ 个面相同吗? １２ 条棱相等吗? 我先尝试着做做看: 正方体有个面ꎬ且这几个面是完全相同的形ꎮ 正方体有条棱ꎬ且这几条棱长度ꎮ 正方体有个顶点ꎮ教材 Ｐ２０ 例３(２) 长方体和正方体的关系从面、棱、顶点三个方面分别比较它们的异同ꎮ我先尝试着做做看: 相同点:都有 个面、条棱、个顶点ꎮ不同点:①面:长方体 的面完全相同ꎬ正方体的 个面完全相同ꎻ ②棱:长方体的 条棱长度相等ꎬ正方体条棱长度都相等ꎮ总结:正方体是特殊的长方体ꎮ２０９(时间:１０~１５分钟)优秀良好合格１长方体的特征１.下图中ꎬ第( ) 幅图是长方体ꎮ４长方体和正方体的关系５.把四个棱长为３ｃｍ的小正方体拼成一个高为６ｃｍ的长方体ꎬ这个长方体的棱长总和是多少?２长方体长、宽、高的意义２.根据图形回答问题ꎮ这个图形是( ) ꎬ它的长是( ) 厘米ꎬ宽是( ) 厘米ꎬ高是( ) 厘米ꎮ图形的棱长的总和是( ) 厘米ꎮ３.(２０１８湖北武汉) 鲁巷广场要用钢管做一个长方体形状的遮阳伞支架(如下图)ꎮ这个遮阳伞的长是４.５ｍꎬ宽是３ｍꎬ高是２.４ｍꎮ做这个遮阳伞至少需要多少米的钢管? ６.在下面的８个面中找出６个面ꎬ使它们能围成右边的长方体ꎮ这６个面的编号分别是( ) ꎮ３正方体的特征４.选择题ꎮ(１) 最少用( ) 个同样大小的小正方体ꎬ才可以拼一个大一点的正方体ꎮＡ.２Ｂ.４Ｃ.６Ｄ.８(２) 一个正方体的棱长之和是ａ厘米ꎬ它的棱长是( ) 厘米ꎮＡ.６ａＢ.ａＣ.ａＤ.１２ａ７.一个正方体的６个面上分别写着Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆꎬ根据下面的三种摆放情况ꎬ判断每个字母对面的字母是什么ꎮＡ的对面是ꎬＢ的对面是ꎬＣ的对面是ꎮ２１０６１２３长方体和正方体将长方体或正方体的纸盒沿棱剪开ꎬ观察它们的展开图ꎬ理解长方体、正方体表面积的意义ꎬ明确长方体、正方体表面积的计算方法ꎮ２.长方体和正方体的表面积新课先知教材Ｐ２４例１长方体表面积的计算方法我找到了已知条件:一个长方体包装箱ꎬ长０.７ｍꎬ宽０.５ｍꎬ高０.４ｍꎻ要求的问题:做这个包装箱至少要用多少平方米的硬纸板? 我先尝试着做做看:(１) 上面面积＝０.７×０.５＝０.３５( ｍ２) ꎬ(２) 左面面积＝×＝( ｍ２) ꎬ(３) 前面面积＝×＝( ｍ２) ꎬ(４) 表面积＝(０.３５＋＋) ×２＝( ｍ２) ꎮ教材Ｐ２４例２正方体表面积的计算方法我找到了已知条件:一个正方体墨水盒ꎬ棱长为６.５ｃｍꎻ要求的问题:制作这个墨水盒至少需要多少平方厘米的硬纸板? 我先尝试着做做看:(１)一个面的面积＝×＝(ｃｍ２)(２) 表面积＝６×＝( ｃｍ２)预习检测１.长方体或正方体６个面的( ) ꎬ叫做它的( ) ꎮ２.(２０１８安徽宣城) 一个正方体的棱长之和是４８厘米ꎬ它的表面积是( ) 平方厘米ꎮ３.要制作一个长方体油箱ꎬ长４分米ꎬ宽３分米ꎬ高６分米ꎬ至少需要多少铁皮?每日一算０.３２×１００＝５.５×２＝我的疑惑:４.７３×１０＝０×２３.５＝０.２５×４＝７.２×０.５＝３.３×０.５＝６０×０.８＝２１１(时间:１０~１５分钟)优秀良好合格１长方体、正方体表面积的含义１.(２０１８湖北黄冈) 下面图形中ꎬ折叠后能围成正方体的是( ) ꎮＡ. Ｂ. Ｃ.６.(２０１８安徽六安) 把４个棱长５分米的正方体纸箱ꎬ如图堆在墙角ꎬ露在外面的面的面积是多少平方米?２长方体表面积的计算方法２.一个长方体的无盖水族箱ꎬ长是６ｍꎬ宽是６０ｃｍꎬ高是１.５ｍꎮ这个水族箱占地面积是( ) ｍ２ꎬ需要( ) 平方米的玻璃ꎮ３.(２０１８湖北武汉) 一个长方体前面面积是７２ｃｍ２ꎬ左面面积是４８ｃｍ２ꎬ高是８ｃｍꎮ它的表面积是( ) ｃｍ２ꎮ４.(２０１８河南信阳) 下图是一个长方体纸盒的展开图ꎬ如果不要盖子ꎬ做这个纸盒需要多少材料?３正方体表面积的计算方法５.做２０个棱长为３０厘米的小正方体纸箱ꎬ至少需要多少平方米的硬纸板?７.(２０１８广西玉林)３个棱长是２ｃｍ的小正方体拼成一个长方体ꎬ长方体的表面积比３个小正方体表面积的和少多少平方厘米?８.(２０１８湖北武汉) 希望小学有一间( 从里面量)长１０米、宽６米、高３.５米的长方体教室ꎮ现在要在教室四面墙壁贴１.２米高的瓷砖ꎬ扣除门、窗６平方米ꎬ这间教室贴瓷砖的面积是多少平方米?２１２３ 长方体和正方体通过乌鸦喝水的实例认识体积的意义ꎬ再用小正方体摆不同的长方体推导出长方体的体积公式ꎬ最后联系长方体与正方体的关系得出正方体的体积公式ꎮ３.长方体和正方体的体积第１ 课时 体积和体积单位(１)新课先知教材 Ｐ２７ 体积的意义装有少量水的玻璃杯和一堆小石子ꎮ 思考:乌鸦是怎样喝到水的? 为什么? 我先尝试着做做看: 乌鸦把 放进ꎬ水面上升ꎬ它就能喝到水了ꎬ因为小石子ꎮ 我们把物体所占空间的大小叫做物体的ꎮ教材 Ｐ２７ ~２８ 体积单位我先尝试着做做看: (１) 先选择一个计量体积的 ꎬ看这两个长方体各包含多少个 ꎮ(２) 常用的体积单位有 、和ꎮ(３) ① 棱长是() 的正方体ꎬ体积是 １ ｃｍ３ ꎬ一个手指尖的体积大约是() ｃｍ３ ꎮ②棱长是 ( ) 的正方体ꎬ 体积是 １ ｄｍ３ ꎬ 粉笔盒的体积大约是() ｄｍ３ ꎮ③棱长是( ) 的正方体ꎬ体积是( ) ｍ３ ꎮ２１３(时间:１０~１５分钟)优秀良好合格１体积的意义１.在体积较大的物体下面画“√”ꎮ(２) 哪个几何体的体积最大? 几何体Ａ和几何体Ｂ谁的体积大?( ) ( )物体所占( ) 的大小叫物体的体积ꎬ不同的物体所占空间的大小一般也不同ꎮ２体积单位２.在括号里填上合适的体积单位ꎮ５.老师用几个１ｃｍ３的正方体木块摆了一个几何体ꎬ如图是从不同方向看到的图形ꎬ这个几何体的体积是多少?约是３.２( ) 约是２５０( )约是１５( ) 约是３( )３.选择题ꎮ(１) 一颗蚕豆的体积大约是( ) ｃｍ３ꎮＡ.１Ｂ.１０Ｃ.１００(２) 将一个正方体铁块重新铸成一个长方体铁块( 不计损耗) ꎬ( ) 不变ꎮＡ.高度Ｂ.面积Ｃ.体积４.如图ꎬ用棱长１ｃｍ的小正方体拼成的几何体ꎮ６.下图由１５个棱长为１ｃｍ的小正方体组成ꎮ怎样做能把它变成一个长方体? 所组成的长方体的体积是多少?(１) 写出它们的体积各是多少ꎮ２１４３长方体和正方体长方体和正方体底面的面积叫做底面积ꎬ长方体和正方体统一的体积计算公式:长方体( 或正方体) 体积＝底面积×高ꎮ第２课时体积和体积单位(２)新课先知教材Ｐ２９长方体的体积公式用若干个体积是１ｃｍ３的小正方体摆成不同的长方体ꎬ填表ꎮ我发现:长方体的体积＝××ꎬ用字母表示可以写成:ꎮ教材Ｐ３０正方体的体积公式正方体是长、宽、高都的长方体ꎬ长方体的体积计算公式是Ｖ＝ꎮ我先尝试着做做看:用ａ表示正方体的ꎬ在Ｖ＝ａｂｈ中ꎬｂ＝ꎬｈ＝ꎬＶ＝ａａａ＝ꎮ教材Ｐ３０例１长方体、正方体体积公式的应用我先尝试着做做看:长方体体积:Ｖ＝ａｂｈ＝７×３×４＝( ｃｍ３)正方体体积:Ｖ＝ａ３＝６３＝( ｄｍ３)教材Ｐ３１长方体、正方体体积的统一公式如何用一个统一的公式来表示长方体和正方体的体积?我先尝试着做做看:长方体或正方体的面积叫做底面积ꎮ长方体体积＝长×宽×高正方体体积＝棱长×棱长×棱长↑↑所以ꎬ长方体和正方体的体积也可以这样计算:长方体( 或正方体) 体积＝×ꎮ如果用字母Ｓ表示底面积ꎬ上面的长( ｃｍ) 宽( ｃｍ) 高( ｃｍ) 个数体积( ｃｍ３)２１１３２１４２２２１５(时间:１０~１５分钟)优秀良好合格２长方体和正方体体积的统一１长方体、正方体的体积公式的应用公式１.填一填ꎮ(１) 一个正方体的表面积是５４ｄｍ２ꎬ它的体积是( ) ꎮ(２)一个正方体的棱长扩大到原来的３倍ꎬ那么它的体积就扩大到原来的( )倍ꎮ２.选择ꎮ(１) 一个长方体的体积是１００立方厘米ꎬ已知它的长是１０厘米ꎬ宽是２厘米ꎬ高是( ) ꎮＡ.８厘米Ｂ.５厘米Ｃ.５平方厘米(２)( ２０１８安徽桐城) 将一个长９ｃｍ、宽６ｃｍ、高２ｃｍ的长方体截成一个体积最大的正方体ꎬ这个正方体的体积是( )ｃｍ３ꎮＡ.８Ｂ.２４Ｃ.１.８(３)一个长方体的长、宽、高分别是ａｃｍꎬｂｃｍꎬｈｃｍꎬ如果高增加５ｃｍꎬ它的体积比原来增加( ) ｃｍ３ꎮＡ.５ａｂＢ.５ａｂｈＣ.ａｂ( ｈ＋５) ３.求下面长方体和正方体的体积ꎮ(１) ４.填出下表中长方体或正方体的相关数据ꎮ底面积高体积２４ｃｍ２１２０ｃｍ３３５ｄｍ２１２ｄｍ５ｍ１２５ｍ３２８ｍ２２５２ｍ３５.一个长方体铁块的底面积是２０平方厘米ꎬ高是４０厘米ꎮ把它锻造成一个截面边长是１０厘米的正方形的长方体ꎮ这个长方体的高是多少?６.一个长方体相邻的三个面的面积分别是３０ｄｍ２ꎬ２４ｄｍ２ꎬ２０ｄｍ２ꎬ它的体积是多少?(２)２１６３长方体和正方体将棱长为１ｄｍ的正方体可以切成１０００块１ｃｍ３的小正方体ꎬ得出立方分米与立方厘米之间的数量关系ꎬ运用同样的方法可得立方米与立方分米之间的关系ꎬ从而实现体积单位间的互化ꎮ第３课时体积单位间的进率教材Ｐ３４例２体积单位间的进率如图所示正方体的体积是多少立方厘米?我先尝试着做做看:如果把它的棱长看作是１０ｃｍꎬ可以把它切成块１ｃｍ３的小正方体ꎻ它的底面积是１ｄｍ２ꎬ也就是ｃｍ２ꎬ高是ｃｍꎬ体积是ｃｍ３ꎬ即１ｄｍ３＝ｃｍ３ꎮ教材Ｐ３５例３、例４体积单位间的互化新(１) ３.８ｍ３是多少立方分米?先(２)知２４００ｃｍ３是多少立方分米?我先尝试着做做看:(１) 因为１ｍ３＝ｄｍ３ꎬ所以３.８ｍ３＝ｄｍ３ꎮ因为ｃｍ３＝１ｄｍ３ꎬ所以２４００ｃｍ３＝ｄｍ３ꎮ(２) 牛奶包装箱的体积Ｖ＝ａｂｈ＝５０×３０×４０＝６００００( ｃｍ３) ꎬ６００００ｃｍ３＝ｄｍ３＝ｍ３ꎮ预１.填空ꎮ习３米＝() 厘米２平方米＝() 平方分米检９.５立方米＝( ) 立方分米４２００立方厘米＝() 立方分米测２.相邻的长度单位之间的进率是( ) ꎻ相邻的面积单位之间的进率是( ) ꎻ相邻的体积单位之间的进率是( ) ꎮ每５２－４.９＝３８＋７.２＝＋＝－＝一３.６８＋３.４２＝６.６－４.９＝算０.７３＋０.２７＝０.４２＋０.２３＝我的疑惑:课２１７(时间:１０~１５分钟)优秀良好合格１体积单位间的进率１.(１)１立方米＝( ) 立方分米１立方分米＝() 立方厘米１立方米＝() 立方厘米１立方分米＝() 立方米(２)棱长为１ｄｍ的正方体ꎬ可以看成是由( ) 个棱长为１ｃｍ的小正方体组成的ꎮ２体积单位间的互化２.你能一次填对吗? 开动脑筋试一试吧!２.６６ｍ３＝() ｄｍ３２０ｄｍ３＝() ｍ３３.５ｄｍ３＝() ｃｍ３３６７５ｃｍ３＝() ｄｍ３８１５０ｄｍ３＝() ｍ３１.４８ｄｍ３＝() ｃｍ３３.一块长２ｍꎬ宽１５ｄｍꎬ厚４ｃｍ的钢板重９３６ｋｇꎬ平均每立方分米的钢板重多少千克?５ｃｍ、４０ｃｍꎮ做这些凳子至少要用混凝土多少方?５.一个长方体的横截面是边长为３厘米的正方形ꎬ它的长是５分米ꎬ这个长方体的体积是多少?６.春风小学修建一个长８０ｍ、宽６０ｍ的长方形足球场ꎬ先要铺５ｃｍ厚的煤渣ꎬ然后铺１２ｃｍ厚的三合土ꎮ需要煤渣、三合土各多少立方米?４.某公园在各景点共放了２００个用于休息的凳子ꎮ凳面的长、宽、高分别是１８０ｃｍ、４５ｃｍ、５ｃｍꎬ凳腿的长、宽、高分别是８ｃｍ、２１８３ 长方体和正方体联系生活实际感知容积的意义与容积单位的大小ꎬ在运用公式解决实际问题的过程中体会容积与体积的区别与联系ꎮ第４ 课时 容积和容积单位新课先知教材 Ｐ３８ 容积的意义、单位、单位间的进率及与体积单位的换算 思考:什么是容积? 容积的单位有哪些? 他们之间有什么样的关系? 与体积单位间有什么关系? 我先尝试着做做看:(１)箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积ꎬ通常叫做它们的 ꎻ(２) 容积单位 有、ꎻ(３)１ Ｌ ＝ｍＬꎬ１ Ｌ＝ ｄｍ３ ꎬ１ ｍＬ＝ ｃｍ３ ꎮ教材 Ｐ３８ 例５ 体积单位与容积单位之间换算的应用长方体油箱从里面量长５ ｄｍꎬ宽４ ｄｍꎬ高２ ｄｍꎻ要求的问题:这个油箱可以装汽油多少升? 我先尝试着做做看:求油箱可以装汽油多少升ꎬ就是求它的ꎬ用体积的计算公式计算ꎬ再把体积单位化为容积单位:５×４×２ ＝ ４０( ｄｍ３ ) ꎬ４０ ｄｍ３ ＝Ｌꎮ教材 Ｐ３９ 例６ 不规则物体的体积求法橡皮泥的形状可以改变ꎬ把它捏成 形状ꎬ再量ꎬ求出ꎬ从而求出橡皮泥的体积ꎮ梨的形状不能改变ꎬ可以用排水法求体积ꎮ 用烧杯装一定量的水ꎬ记下ꎬ将梨放进烧杯( 水面要超过梨) ꎬ记下 ꎬ两次体积读数的就是梨的体积ꎮ 预习检测填一填ꎮ(１)(２０１８广东中山) 一个水池能蓄水 ４８０ ｍ３ ꎬ就是说这个水池的() 是４８０ ｍ３ ꎮ (２)１ 升＝ ( ) 毫升＝ ( ) 立方厘米每日一算 ２０×１５ ＝ ２.５＋１.５ ＝ ５８×１００ ＝ ８.８－１.６ ＝ ２５×４０ ＝７.５＋２.５ ＝ １８００÷１００ ＝１２８÷１０ ＝我的疑惑:２１９(时间:１０~１５分钟)优秀良好合格１容积的意义、单位、单位间的进率及与体积单位的换算１.填一填ꎮ(１)( )叫做容器的容积ꎮ(２) 一根钢管长５( ) ꎮ一间书房的面积是１２( ) ꎮ一盒牛奶的容积是２５０( ) ꎮ一瓶眼药水的容积是１２( ) ꎮ(３)１升＝() 毫升５０００毫升＝( ) 升２.７５升＝( ) 毫升２７００毫升＝( ) 升(４)４升＝() 立方分米６００毫升＝() 立方厘米５.４立方分米＝() 毫升２.选一选ꎮ(１)一个玻璃瓶能装３５０ｍＬ饮料ꎬ这个瓶子的( ) 是３５０ｍＬꎻ瓶子占地３２ｃｍ２ꎬ是指瓶子的( ) ꎮＡ. 表面积Ｂ. 容积Ｃ.体积Ｄ.底面积(２)(２０１８安徽六安) 花生油桶标签印有“净含量１.８升”ꎬ１.８升指的是( ) ꎮＡ.油桶容积Ｂ.油桶体积Ｃ.桶内所装花生油的体积２体积单位与容积单位之间换算２００００升水ꎬ水的高度是多少?３不规则物体的体积求法４.(２０１８湖北鄂州) 一个正方体玻璃窗口棱长２分米ꎬ向容器中倒入５升水ꎬ再把一块石头浸没水中ꎬ这时量得容器内水深１５厘米ꎬ求石头的体积ꎮ５.(２０１８浙江宁波) 一块长３５厘米、宽３０厘米的铁皮ꎬ从四个角各切掉一个边长为５厘米的正方形ꎬ然后做成一个无盖的盒子ꎮ它的容积有多少? ( 如下图)的应用３.挖一个长８米、宽４米、深３米的长方体水池ꎬ它的占地面积是多少平方米? 这个水池的容积是多少升? 若在水池中注入２２０＝第３单元复习卡一、填空ꎮ１.３立方分米＝( ) 立方厘米４００５毫升＝() 升４００立方分米( ) 立方米２０００立方厘米＝() 升２.(２０１８北京) 在括号里填上合适的容积或体积单位ꎮ一听可口可乐的净含量是３５５( )ꎮ一间教室的体积约１４４( ) ꎮ３.长方体有( ) 个面、( ) 个顶点、( )条棱ꎮ４.一个正方体棱长总和是９６厘米ꎬ它的体积是( ) 立方厘米ꎮ５.一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的２倍ꎬ它的体积就扩大到原来的( ) 倍ꎮ６.(２０１８安徽六安) 把一个长８分米ꎬ宽６分米ꎬ高５０厘米的长方体木块ꎬ削成一个最大的正方体ꎬ这个正方体的棱长是( )ꎬ体积是( ) ꎬ表面积是( ) ꎮ７.(２０１８安徽宣城)一根长４.５米的方钢ꎬ把它横截成３段后ꎬ表面积增加了８０平方厘米ꎬ原来方钢的体积是( ) 立方厘米ꎮ二、判断ꎮ( 对的画“√”ꎬ错的画“✕”)１.一台冰箱的体积大于它的容积ꎮ ( ) ２.长方体的１２条棱中ꎬ长、宽、高各有４条ꎮ( )３.体积相等的两个长方体ꎬ它们的表面积也相等ꎮ( ) ４.一个长方体相交于一个顶点的三条棱长总和是１５厘米ꎬ这个长方体棱长总三、选一选ꎮ１.把棱长１ｄｍ的两个正方体拼成一个长方体后ꎬ表面积( ) ꎮＡ.不变Ｂ.增加２ｄｍ２Ｃ.减少３ｄｍ２Ｄ.减少２ｄｍ２２.(２０１８广西北海) 下面三个图形中ꎬ不是正方体表面展开图的是( ) ꎮＡ. Ｂ.Ｃ.３.一个长是８分米、宽和高都是５分米的长方体ꎬ求它的表面积ꎮ下列列式错误的是( ) ꎮＡ.５×５×２＋８×５×４Ｂ.５×５＋８×５×２＋８×５×２Ｃ.(８×５＋８×５＋５×５) ×２４.(２０１８福建福清) 用２４ｃｍ的铁丝做成一个长３ｃｍꎬ宽２ｃｍ的长方体框架ꎬ这个长方体框架的高是( ) 厘米ꎮＡ.１Ｂ.２Ｃ.３Ｄ.７５.(２０１８北京顺义) 将按下面的方式摆在桌面上ꎮ８个按这种方式摆放ꎬ有( ) 个面露在外面ꎮＡ.２０Ｂ.２３Ｃ.２６Ｄ.２９６.(２０１８湖北武汉) 一个长方体和一个正方体的棱长总和相等ꎮ已知长方体的长、宽、高分别是６ｄｍꎬ５ｄｍꎬ４ｄｍꎬ那么①正方体体积和②长方体体积大小关系是( )ꎮＡ.①>②Ｂ.①<②和是６０厘米ꎮ( )Ｃ.①＝②２２１优秀四、求下面图形的体积和表面积ꎮ１.良好合格２.五、解决问题ꎮ１.一个正方体木块ꎬ它的棱长是５分米ꎬ已知每立方分米木块重０.４千克ꎬ这个木块重多少千克?４.一个正方体玻璃容器ꎬ底面是一个边长为４分米的正方形ꎬ放入一块石头后ꎬ水面上升了０.８分米ꎬ这块石头的体积是多少?２.一个长方体的汽油桶ꎬ底面积是３０平方分米ꎬ高是６分米ꎮ如果１升汽油重０７１千克ꎬ这个油桶可以装多少千克汽油?３.( ２０１８安徽六安) 把３０升水倒入长４分米ꎬ宽２.５分米ꎬ高７分米的长方体容器中ꎬ水面距离容器口多少分米?５.书店卖出了两本大小相同的书ꎬ长都为２０厘米ꎬ宽为１２厘米ꎬ厚为３厘米ꎬ将这两本书包装在一起ꎬ怎样包装最省钱? 请画出示意图ꎬ并算出包装纸的面积ꎮ( 接头处不计)２２２。
人教版小学五年级数学下册同步复习与测试讲义第三章长方体和正方体【知识点归纳总结】1. 长方体的特征1．长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同．2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱．3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高．4．长方体相邻的两条棱互相垂直．【经典例题】1．长方体中至少有（）条棱的长度相等．A．2B．4C．6D．8【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面多少长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），一般情况长方体的12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等．据此解答．【解答】解：长方体的12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等．答：长方体中至少有4条棱的长度相等．故选：B．【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征及应用．2. 正方体的特征①8个顶点．②12条棱，每条棱长度相等．③相邻的两条棱互相垂直．【经典例题】2．在一个正方体中，最多能找到（）组互相垂直的线段．A．12B．18C．24【分析】根据互相垂直的定义：在同一平面内，当两条直线相交成90度时，这两条直线互相垂直；据此进行解答．【解答】解：据分析解答如下：垂直：AB⊥AD AB⊥BC AB⊥AE AB⊥BF；BC⊥CD BC⊥BF BC⊥CG；CD⊥AD CD⊥DH CD⊥CG；AD⊥DH AD⊥AEBF⊥FG BF⊥FEAE⊥FE AE⊥EH；CG⊥FG CG⊥GH；DH⊥GH DH⊥HE；FG⊥GH GH⊥EHHE⊥EF EF⊥FG．故选：C．【点评】本题考查的是垂线的定义，熟知正方体的性质是解答此题的关键．3. 长方体和正方体的表面积长方体表面积：六个面积之和．公式：S=2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）正方体表面积：六个正方形面积之和．公式：S=6a2．（a表示棱长）【经典例题】3．如下图，用三个完全相同的正方体拼成一个长方体后，表面积减少了100dm2，原来每个正方体的表面积是150dm2，长方体的表面积是350dm2．【分析】三个正方体一拼成一个长方体减少了4个面，减少的面积就是100dm2，可以求出一个面的面积，即100dm2除以4等于25dm2，再根据正方体的表面积公式S＝6a2进行计算，再用一个正方体的表面积乘以3减去100dm2可求长方体的表面积．【解答】解：100÷4＝25（dm2）25×6＝150（dm2）150×3﹣100＝450﹣100＝350（dm2）答：原来每个正方体的表面积是150dm2，长方体的表面积350dm2．故答案为：150，350．【点评】本题是一道关于立体图形的拼接问题，考查了学生长方体的表面积公式及正方体的表面积公式的灵活运用．4. 长方体、正方体表面积与体积计算的应用（1）长方体：底面是矩形的直平行六面体，叫做长方体．长方体的性质：六个面都是长方形，（有时有两个面是正方形）；相对的面面积相等；12条棱相对的4条棱长相等；8个顶点；相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫长、宽、高；两个面相交的边叫做棱；三条棱相交的点叫做顶点．长方体的表面积：等于它的六个面的面积之和．如果长方体的长、宽、高、表面积分别用a、b、h、S表示，那么：S表=2（ab+ah+bh）长方体的体积：等于长乘以宽再乘以高．如果把长方体的长、宽、高、体积分别用a、b、h、V表示，那么：V=abh（2）正方体：长宽高都相等的长方体，叫做正方体．正方体的性质：六个面都是正方形；六个面的面积相等；有12条棱，棱长都相等；有8个顶点；正方体可以看做特殊的长方体．正方体的表面积：六个面积之和．如果正方体的棱长、表面积分别用a、S表示，那么：S表=6a2正方体的体积：棱长乘以棱长再乘以棱长．如果把正方体的棱长、体积分别用a、V表示，那么：V=a3【经典例题】4．礼堂里有一根用作支撑的长方体柱子，底面是一个边长为0.4米的正方形，柱子高4.5米．油漆这根柱子，求总共油漆面积的算式是0.4×4.5×4．√．（判断对错）【分析】要油漆这根柱子，两个底面接触地面和楼层，只求出每根柱子的4个侧面即可，侧面的长就是高4.5米，宽是底面的边长0.4米，代入长方形面积公式“长×宽”，然后乘4个面，即可得解．【解答】解：0.4×4.5×4＝1.8×4＝7.2（平方米）．答：油漆面积是7.2平方米．故答案为：√．【点评】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题．5. 长方体和正方体的体积长方体体积公式：V=abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）正方体体积公式：V=a3．（a表示棱长）【经典例题】5．计算下面图形的体积和表面积．【分析】（1）长方体的长、宽、高均已知，根据长方体的体积计算公式“V＝abh”即可求出这个长方体的体积；根据长方体的表面积计算公式“S＝2（ah+bh+ab）”即可求出这个长方体的表面积．（2）这个正方体的棱长已知，根据正方体的体积计算公式“V＝a3”即可求出这个正方体的体积；根据正方体的表面积计算公式“S＝6a2”即可求出这个正方体的表面积．【解答】解：（1）15×8×7＝120×7＝840（15×7+8×7+15×8）×2＝（105+56+120）×2＝281×2＝562答：这个长方体的体积是840，表面积是562．（2）3×3×3＝9×3＝2732×6＝9×6＝54答：这个正方体的体积是27，表面积是54．【点评】解答此题的关键是记住并会运用长方体、正方体的体积、表面积计算公式．【同步测试】单元同步测试题一．选择题（共10小题）1．一个正方体的棱长总和是24cm，每条棱长（）A．1cm B．2cm C．3cm2．如图是用边长1cm的小正方体拼成的长方体．下列图形（）是这个长方体中的一个面．A．B．C．3．用一根72厘米的铁丝正好可以焊成一个长8厘米、宽（）厘米、高4厘米的长方体框架．A．4B．5C．64．正方体有___个面，相对应的两个面______．（）A．6个，大小不同，形状一样B．6，大小相同形状一样C．6，大小不同形状不同5．一种长方体盒装牛奶，从包装盒的外面量，长6厘米，宽3厘米，高12厘米．它标注的净含量可能是（）毫升．A．200B．220C．2506．一个长方体的集装箱，从里面测量长12m、宽4m、高3m，如果要装一批棱长2m的正方体货箱，最多能装（）个．A．12B．18C．367．一团橡皮泥，妙想第一次把它捏成长方体，第二次把它捏成正方体．捏成的两个物体体积（）A．长方体大B．正方体大C．一样大D．无法确定8．一张长方形纸板长80厘米，宽10厘米，把它对折、再对折．打开后，围成一个高10厘米的长方体纸箱的侧面．如果要为这个长方体纸箱配一个底面，这个底面的面积是（）A．200平方厘米B．400平方厘米C．800平方厘米9．有两个表面积都是60平方厘米的正方体，把它们拼成一个长方体．这个长方体的表面积是（）平方厘米．A．90B．100C．110D．12010．把一根长2m的长方体木材平均截成3段，表面积增加了100dm2，原来木材体积是（）dm3．A．50B．100C．500D．1000二．填空题（共8小题）11．小军在一个无盖的长方体玻璃容器内摆了一些棱长1分米的小正方体（如图）．做这个玻璃容器至少要用玻璃平方分米，它的容积是立方分米．（玻璃的厚度忽略不计）12．长方体和正方体都有个面，条棱．长方体最多有个面是正方形．13．粉笔盒的形状是，红领巾的形状是．14．在如图的长方体中，和a平行的棱有条，和a垂直的棱有条．15．手工课上，小辉把三块小正方体方木粘在一起，如图：表面积比原来减少16平方厘米，原来1个小正方体的表面积是平方厘米．16．把一根长48厘米的铁丝焊成一个宽2厘米，高1厘米的长方体框架，这个框架的长是厘米．17．一个长方体的上面是面积为25平方厘米的正方形，前面是面积为30平方厘米的长方形，这个长方体的表面积是平方厘米．18．有一个长12厘米，宽8厘米，高4厘米的长方体，把高增加3厘米，则体积增加立方厘米，表面积增加平方厘米．三．判断题（共5小题）19．长方体长和宽可以相等，长、宽、高也可以相等．（判断对错）20．长方体和正方体的表面积就是求它6个面的面积之和，也就是它所占空间的大小．（判断对错）21．加工一个油箱要用多少铁皮，是求这个油箱的体积．（判断对错）22．正方体是长、宽、高都相等的长方体．（判断对错）23．两个长方体体积相等，底面积不一定相等．（判断对错）四．操作题（共1小题）24．一个无盖纸盒的长、宽、高分别是4厘米、3厘米和2厘米．图中画出的是纸盒展开图的后面和右面，请在方格纸上画出另外3个面．这个纸盒的容积是立方厘米．五．应用题（共6小题）25．五（二）班要做一个长1.5米、宽0.6米、高0.8米的长方体书架，现要在书架各边都安上装饰木条，做这个书架要多少米的装饰木条？26．两个棱长和均为18厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？27．在长40厘米、宽30厘米的长方形铁皮的四个角上，分别剪去一个边长5厘米的正方形后，正好折成一个无盖的铁盒．如果每毫升汽油重0.75克，那么这个铁盒最多能装多少克汽油？28．用铁丝悍接一个正方体框架，一共用了180分米长的铁丝，这个正方体的棱长是多少分米？29．一个房间长8米，宽6米，高4米．除去门窗22平方米，房间的墙壁和房顶都贴上墙纸，这个房间至少需要多大面积的墙纸？30．明明家有一个长方体金鱼缸，长6分米，宽5分米，高4.5分米．他不小心把鱼缸的右侧面的玻璃打碎了，需要重配一块．（1）重新配上的这块玻璃的面积是多少平方分米？（2）玻璃配好后，他往鱼缸内倒入54升水，水深多少分米？参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】正方体的棱长总和＝棱长×12，用24除以12即可．【解答】解：24÷12＝2（厘米），答：它的每条棱长是2厘米．故选：B．【点评】此题考查的目的是掌握正方体以及棱长总和公式．2．【分析】如图是用边长1cm的小正方体拼成的长方体，它的长是4cm，宽是3cm，高是2cm；据此解答．【解答】解：因为拼成的长方体的长是4cm，宽是3cm，高是2cm；所以只有选项C是这个长方体中的一个面．故选：C．【点评】此题考查了长方体面的认识，确定出长宽高是关键．3．【分析】用一根72厘米长的铁丝正好可以焊成长方体，这个长方体的棱长总和就是72厘米，长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，用棱长总和除以4减去长和高，即可求出宽．据此解答．【解答】解：72÷4﹣（8+4）＝18﹣12＝6（厘米）答：宽6厘米．故选：C．【点评】此题主要考查长方体的棱长总和公式的灵活运用．4．【分析】正方体有6个面，6个面都是完全相同的正方形；据此解答．【解答】解：正方体有6个面，相对应的两个面大小相同形状一样．故选：B．【点评】此题考查了对正方体特征的掌握．5．【分析】根据同一个容器的体积一定大于它的容积，首先根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出这个牛奶盒的体积，进而确定它的容积．【解答】解：6×3×12＝18×12＝216（立方厘米）216立方厘米＝216毫升所以它标注的净含量一定小于216毫升．答：它标注的净含量可能是200毫升．故选：A．【点评】此题主要考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式．6．【分析】用长方体集装箱的每条棱的长除以正方体的棱长，然后用去尾法取整数，再相乘就是最多能装的个数．据此解答．【解答】解：12÷2＝6，4÷2＝2，3÷2≈1，6×2×1＝12（个）．答：最多能装12个．故选：A．【点评】本题的关键是让学生走出用长方体的体积除以正方体的体积就是能装个数的误区．7．【分析】根据体积的意义，物体所占空间的大小叫做物体的体积．由此可知：一团橡皮泥，第一次捏成长方体，第二次捏成正方体．这两次捏成的物体的体积相比较一样大．【解答】解：一团橡皮泥，第一次捏成长方体，第二次捏成正方体．只是形状变了，但体积不变，所以这两次捏成的物体的体积相比较一样大．故选：C．【点评】此题考查的目的是理解掌握体积的意义．8．【分析】根据题意可知，把这张长80厘米，宽10厘米的纸板对折、再对折．打开后，围成一个高10厘米的长方体纸箱的侧面，也就是这个长方体纸箱的底面边长是2厘米，根据正方形的面积公式：S＝a2，把数据代入公式解答．【解答】解：80÷4＝20（厘米）20×20＝400（平方厘米）答：这个底面的面积是400平方厘米．故选：B．【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征、长方体表面积的意义，以及正方形面积公式的灵活运用．9．【分析】两个表面积都是60平方厘米的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积就比原来两个正方体减少了2个面，那么长方体的表面积等于正方体10个面的面积，所以先求出正方体一个面的面积，然后即可求出长方体的表面积．【解答】解：60÷6＝10（平方厘米）10×10＝100（平方厘米）答：这个长方体的表面积是100平方厘米．故选：B．【点评】此题解答关键是理解两个正方体拼成长方体后，表面积会减少2个面，由此即可解决问题．10．【分析】根据题意可知：把这根长方体木材平均截成3段，表面积增加的是4个截面的面积，由此可以求出长方体的底面积，再根据长方体的体积公式：V＝sh，把数据代入公式解答．【解答】解：2米＝20分米，100÷4×20＝25×20＝500（立方分米），答：原来木材的体积是500立方分米．故选：C．【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式，注意长度单位相邻单位之间的进率及换算．二．填空题（共8小题）11．【分析】通过观察图形可知，这个玻璃容器的长是4分米，宽是3分米，高是5分米，根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，由于玻璃容器无盖，所以只求它的5个面的总面积，根据长方体体积（容积）公式：V＝abh，把数据代入公式解答．【解答】解：4×3+4×5×2+3×5×2＝12+40+30＝82（平方分米）4×3×5＝60（立方分米）答：做这个玻璃容器至少要用玻璃82平方分米，它的容积是60立方分米．故答案为：82、60．【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、体积（容积）公式在实际生活中的应用，关键是熟记公式．12．【分析】根据长方体和正方体的共同特征，长方体和正方体都有6个面、12条棱、8个顶点，长方体的6个面都是长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形），当长方体有两个相对的面是正方形时，其余四个面的面积相等，形状完全相同．【解答】解：根据分析可得：长方体和正方体都有6个面，12条棱．长方体最多有2个面是正方形．故答案为：6，12，2．【点评】此题主要考查了长方体的特征，要正确理解和掌握长方体的特征，平时注意基础知识的积累．13．【分析】长方体的特征：长方体有6个面，相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同，所以粉笔盒的形状是长方体；三角形的含义：由三条边首尾相连围城的图形，所以红领巾的形状是三角形；据此解答即可．【解答】解：粉笔盒的形状是长方体，红领巾的形状是三角形．故答案为：长方体，三角形．【点评】明确长方体和三角形的特征，是解答此题的关键．14．【分析】根据长方体的特征，长方体有12条棱分为三组，每组4条棱的长度相等且互相平行，据此解答．【解答】解：如图：和a平行的棱有3条，和a垂直的棱有4条．故答案为：3、4．【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征及应用．15．【分析】通过观察图形可知，把三个小正方体拼成一个长方体，表面积比原来减少了16平方厘米，表面积减少是小正方体4个面的面积，由此可以求出小正方体一个的面的面积，根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答．【解答】解：16÷4＝4（平方厘米）4×6＝24（平方厘米）答：原来1个小正方体的表面积是24平方厘米．故答案为：24．【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体、正方体表面积的意义，以及正方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．16．【分析】长方体所有的棱长之和就等于铁丝的长，再根据长方体的棱长和＝（长+宽+高）×4，用棱长和除以4，求出长宽高的和，再减去宽和高，即可求出长方体的长，列式解答即可．【解答】解：48÷4﹣2﹣1＝12﹣2﹣1＝9（厘米）答：这个框架的长是9厘米．故答案为：9．【点评】此题考查了长方体棱长和公式的灵活运用，知道长方体所有的棱长之和就等于铁丝的长是解题的关键．17．【分析】一个上面是正方形的长方体，它的上面面积是25平方厘米，可求出这个正方形的边长是5厘米，用30除以5，可求出这个长方体的高，再根据长方体表面积公式S＝2（ab+ah+bh）计算即可．【解答】解：因这个长方体的上面是正方形，且面积是25平方厘米，可知这个正方形的边长是5厘米．30÷5＝6（厘米）5×5×2+5×6×4＝50+120＝170（平方厘米）答：这个长方体的表面积是170平方厘米．故答案为：170．【点评】本题的关键是求出这个长方体底面的边长和它的高．然后再根据表面积公式进行计算．18．【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，高增加3米，体积增加部分是以原来的长、宽为长、宽高是3厘米的长方体的体积，即（12×8×3）立方厘米，表面积增加部分是长12厘米、宽8厘米，高3厘米的长方体的4个侧面的面积，即（12×3×2+8×3×2）平方厘米．【解答】解：12×8×3＝288（立方厘米）12×3×2+8×3×2＝72+48＝120（平方厘米）答：体积增加288立方厘米，表面积增加120平方厘米．故答案为：288、120．【点评】此题主要考查长方体的体积公式、表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．三．判断题（共5小题）19．【分析】长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其它四个面都是长方形，并且这四个面完全相同．据此解答．【解答】解：由长方体的特征可知，长方体发的长、宽、高三个量中可以有两个量相等，不能三个量都相等；所以原题说法错误．故答案为：×．【点评】解答此题的关键：根据正方体和长方体的特征进行解答即可．20．【分析】根据长方体的表面积、体积的意义，长方体的6个面总面积叫做长方体的表面积；物体所占空间的大小叫做物体的体积．据此解答即可．【解答】解：长方体的6个面的面积之和叫做长方体的表面积；物体所占空间的大小叫做物体的体积．题干的说法是错误的．故答案为：×．【点评】此题考查的目的是理解掌握立体图形的表面积、体积的意义及应用．21．【分析】根据油箱的特点，加工一个长方体油箱要用多少铁皮，是求这个长方体的表面积，由此判断．【解答】解：加工一个油箱要用多少铁皮，是求这个油箱的表面积，而不是体积；原题说法错误．故答案为：×．【点评】根据物体表面积、体积、容积的含义可知：加工一个长方体油箱要用多少铁皮，是求这个长方体的表面积；油箱所占空间的大小是指油箱的体积，油箱内能容纳油的体积是指油箱的容积．22．【分析】根据长方体和正方体的共同特征：它们都有6个面，12条棱，8个顶点．正方体可以看作长、宽、高都相等的长方体．【解答】解：长方体和正方体都有6个面，12条棱，8个顶点．因此正方体可以看作长、宽、高都相等的长方体．故答案为：√．【点评】此题主要考查长方体和正方体的特征，以及长方体和正方体之间的关系，长方体包括正方体，正方体是特殊的长方体．23．【分析】根据长方体的体积公式：V＝sh，长方体的体积是由底面积和高两个条件决定的，由此可知：虽然两个长方体的体积相等，但是这两个长方体的底面积不一定相等．据此判断．【解答】解：长方体的体积是由底面积和高两个条件决定的，虽然两个长方体的体积相等，但是这两个长方体的底面积不一定相等．所以，两个长方体体积相等，底面积不一定相等．这种说法是正确的．故答案为：√．【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的体积公式及应用．四．操作题（共1小题）24．【分析】根据长方体的特征，长方体相对面的面积相等，据此画出其他三个面．根据长方体的容积（体积）公式：V＝abh，把数据代入公式解答．【解答】解：作图如下：4×3×2＝24（立方厘米）答：这个纸盒的容积是24立方厘米．故答案为：24．【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征，以及长方体的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式．五．应用题（共6小题）25．【分析】根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等．由题意可知，求做这个书架要多少米的装饰木条，也就是求这个长方体的棱长总和．长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，由此列式解答．【解答】解：（1.5+0.6+0.8）×4＝2.9×4＝11.6（米）答：做这个书架要11.6米的装饰木条．【点评】此题属于长方体的棱长总和的实际应用，根据长方体的棱长总和的计算方法解决问题．26．【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12，已知正方体的棱长总和是18厘米，由此可以求出正方体的棱长，根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式求出两个正方体的表面积和，拼成的长方体的表面积比两个正方体的表面积和减少了正方体的两个面的面积，据此解答即可．【解答】解：18÷12＝1.5（厘米）1.5×1.5×6×2﹣1.5×1.5×2＝2.25×6×2﹣2.25×2＝13.5×2﹣4.5＝27﹣4.5＝22.5（平方厘米）答：这个长方体的表面积是22.5平方厘米．【点评】此题主要考查正方体的棱长总和公式、表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．27．【分析】求铁皮盒的容积，需知道长方体的长、宽、高，长方形铁皮的长与宽各减去2个正方形边长即长方体的长与宽，高是5厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入公式列式解答求得铁皮盒的容积，再乘0.75就是铁盒最多能装多少克汽油．【解答】解：（40﹣5×2）×（30﹣5×2）×5＝30×20×5＝3000（立方厘米）＝3000（毫升）3000×0.75＝2250（克）答：这个铁盒最多能装2250克汽油．【点评】此题主要考查长方体的体积公式及其计算，关键要理解铁皮盒的长与宽．28．【分析】根据正方体的特征，正方体的12条棱的长度都相等，由此可知：用焊这个正方体需要铁丝的长度除以12即可求出正方体的棱长，据此列式解答．【解答】解：180÷12＝15（分米）答：这个正方体的棱长是15分米．【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体的特征，以及正方体棱长总和公式的灵活运用．29．【分析】长方体有6个面，在房间的墙壁和房顶都贴上墙纸，贴墙纸的面是上面，前后面和左右面，就是求这5个面的面积和是多少，然后再减去门窗的面积就是这个房间至少需要多大面积的墙纸．长方体的长、宽、高已知，用长×宽＝上面的面积，用长×高×2＝前、后面的面积，用宽×高×2＝左、右面的面积，然后相加再减去门窗的面积即可解答．【解答】解：8×6+8×4×2+6×4×2﹣22＝48+64+48﹣22＝138（平方米）答：这个房间至少需要138平方米大面积的墙纸．【点评】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题．30．【分析】（1）根据题意可知，打碎右侧玻璃的长是5分米，宽是4.5分米，可用长方形的面积公式：S ＝长×宽进行解答即可；（2）根据长方体体积公式：长方形体积＝长×宽×高，因此可用鱼缸内的水的体积除以分别除以长方体的长、宽即可得到水深．【解答】解：（1）5×4.5＝22.5（平方分米）答：重新配上的这块玻璃的面积是22.5平方分米；（2）54升＝54立方分米54÷6÷5＝1.8（分米）答：水深1.8分米．【点评】此题主要考查的是长方形面积公式和长方体体积公式的灵活应用，解答时分清右侧面长方形的长、宽，然后再利用长方形的面积公式解答．。
