【数学】比例和反比例 (奥数)
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【数学】比例和反比例 (奥数)
一、比例和反比例
1．如果10千克菜籽可以榨6.5千克菜油，那么有这种菜籽360千克，可以榨多少千克油?（用比例解）
【答案】 解：设可以榨x千克油。
10：6.5=360：x
10x=6.5×360
x=2340÷10
x=234
答：可以榨油234千克。
【解析】【分析】菜籽的重量和榨油的质量的比值是不变的，二者成正比例，设出未知数，根据正比例关系列出比例，解比例求出可以榨油的重量即可。
2．沙场有一堆沙子，每天运50车，需要24天运完。如果在15天内完成，每天要运多少车? (用比例解答)
【答案】 解：设每天要运x车。
15x=50×24
x=80
答：每天要运80车。
【解析】【分析】设出每天要运x车，根据总量不变列出比例关系，求出未知数，解答即可。
3．一列火车行驶720km需要3小时。照这样计算，从甲地到乙地的铁路长约1200千米，这列火车需要行驶几小时? (用比例解答)
【答案】 解：设需要行驶x小时。
=
x=5
答：需要行驶5小时。
【解析】【分析】设这列火车需要行x小时，根据火车速度不变列出正比例关系，求出未知数，解答即可。
4．某工程队要用长8m的新水管替换长5m的旧水管，原来已铺的旧水管有124根，现在有75根新水管，够用吗?（用比例知识解答）
【答案】 解：设新水管需要x根。
8x=124×5
x=77.5
77.5>75
答：75根新水管不够用。 【解析】【分析】可以设新水管需要x根，题目中存在的等量关系是旧水管的根数×旧水管的长度=新水管的长度×新水管的根数，即可解得新水管需要的根数，然后于75作比较，如果比75大，说明不够，如果比75小，说明够了。
5．在下面的方格纸上画一画。(每一个小方格的边长代表1cm)
画一个长方形，周长是32cm，长与宽的比是5∶3。
【答案】解：32÷2=16(cm)，16÷(5+3)=2(cm)，
长方形的长：5×2=10(cm)，宽：3×2=6(cm)
【解析】【分析】用长方形的周长除以2求出长与宽的和，然后把长与宽的和按5:3的比分配后分别求出长和宽，然后画出指定长和宽的长方形。
6．妈妈有一辆自行车，A和B是自行车的两个齿轮（如图），骑车时用脚驱动A带动B，从而使自行车前进。
（1）这辆自行车，齿轮A有50个齿，齿轮B有20个齿。当齿轮A转动1圈时，齿轮B转动多少圈？
（2）这辆自行车的车轮直径约是60cm，妈妈每天上班的路程大约是3000m。妈妈骑车上班大约要置多少圈（即齿轮A转动的圈数）?（计算时π取3，最后结果保留整数）
【答案】 （1）解：50×1÷20=2.5（圈）
答：齿轮B转动2.5圈。
（2）解：60cm=0.6m
3000÷（0.6×3×2.5）≈667（圈）
答：妈妈骑车上班大约要置667圈。
【解析】【分析】（1）根据题意可知，用齿轮A的齿数×转动的圈数÷齿轮B的齿数=齿轮B转动的圈数，据此列式解答；
（2）根据题意可知，先求出自行车齿轮B每圈走过的路程，用周长公式：C=πd，然后根据齿轮A转1圈，齿轮B转2.5圈，可以求出齿轮A每圈走过的路程，用齿轮B每圈走过的路程×齿轮B转动的圈数=齿轮A每圈走过的路程，最后用上班的总路程÷齿轮A每圈走过的路程=齿轮A转动的圈数，据此列式解答，结果保留整数.
7．测量小组测得一座电视发射塔的影长是100米，同时同地测得一直立在地上的2米长的竹竿的影长是1.6米，电视发射塔高多少米?
【答案】解：设电视发射塔高x米。
x：100=2：1.6
解得x=125
答：电视发射塔高125米。
【解析】【分析】电视发射塔影长与塔高的比等于竹竿影长与竹竿长的比，据此可列比例式解答。
8．a÷b=35，那么a与b成________比例关系，如果 = ，那么a与b成________比例关系．
【答案】 正；反
【解析】【解答】解：a÷b=35，a与b的商一定，a与b成正比例关系；
， 则ab=35，所以a与b从反比例关系。 故答案为：正；反。
【分析】两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化。如果相关联的两个量相对应的数的比值（商）一定，二者成正比例关系；如果相关联的两个量相对应的数的乘积一定，二者就成反比例关系。
9．表中x和y两个量成反比例关系，请把表填写完整．
x 2
2.5 ________
y 5 ________ 4 0.1
【答案】 100；50
【解析】【解答】解：2×5=10；10÷0.1=100；10÷=50。
故答案为：100；50。
【分析】因为两个量乘反比例，因此先计算出相对应的两个数的乘积，然后用乘积除以已知的量即可求出对应的未知的量。
10．圆的周长和它的面积成正比例。（ ）
【答案】 错误
【解析】【解答】圆的周长=2πr，圆的面积=πr2 ， 因为圆的面积÷圆的周长= ， 没有定值，所以圆的周长和面积不成正比例，原题说法错误.
故答案为：错误.
【分析】 判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例，据此判断.
11．如果5a=4b(a，b均不为0)，那么a：b=________，a与b成________比例关系。
【答案】 4：5；正
【解析】【解答】 如果5a=4b(a，b均不为0)，那么a：b=4：5，a与b成正比例关系.
故答案为：4：5；正.
【分析】根据比例的基本性质：在比例里，两内项之积等于两外项之积，据此将相乘的两个数同时作外项或内项即可；
判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例，据此解答.
12．圆柱的体积一定，底面积和高成________比例；速度一定，路程和时间成________比例。
【答案】 反
；正
【解析】【解答】 圆柱的体积一定，底面积和高成反比例；速度一定，路程和时间成正比例。
故答案为：反；正。
【分析】 成正比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。
成反比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。
13．如果X和Y成正比例，那么“？”填________，如果X和Y成反比例，那么“？”填________．
X 4 ？
Y 80 100
【答案】 5；3.2
【解析】【解答】解：如果X和Y成正比例，那么“？”填100÷（80÷4）=5，如果X和Y成反比例，那么“？”填80×4÷100=3.2。
故答案为：5；3.2。
【分析】正比例的式子符合y=kx（其中k是定值）；反比例的式子符合y=（其中k是定值）。据此作答即可。
14．一块直角三角板，两条直角边的长度分别是4cm和3cm，分别绕两条直角边旋转一周，都可得到一个圆锥体。这两个圆锥的体积比是（ ）。
A. 4：3 B. 1：1 C. 16：9 D. 9：16
【答案】 A
【解析】【解答】解：（π×4²×3×）：（π×3²×4×）=16π：12π=4：3。
故答案为：A。
【分析】第一个圆锥的底面半径是4cm，高是3cm；第二个圆锥的底面半径是3cm，高是4cm；分别计算出两个圆锥的体积并写出体积的最简比即可。
15．一个圆柱与一个长15分米、宽6分米、高2分米的长方体的体积相等，已知这个圆柱的底面积是30平方分米，它的高是（ ）分米．
A. 6 B. 8 C. 16 D. 24
【答案】 A
【解析】【解答】15×6×2
=90×2
=180（立方分米）
180÷30=6（分米） 故答案为：A.
【分析】根据条件“ 一个圆柱与一个长15分米、宽6分米、高2分米的长方体的体积相等 ”，用公式：长方体的体积=长×宽×高，先求出长方体的体积，也是圆柱的体积，然后用圆柱的体积÷圆柱的底面积=圆柱的高，据此列式解答.
