比例和反比例 (奥数)

比例和反比例 (奥数)

一、比例和反比例

1．如图是某地区6～～12岁儿童平均体重情况：

看图回答问题：

（1）从统计图中可以看出，随年龄的增长，平均体重有什么变化？

（2）从统计图中可以看出，女生在哪个年龄段平均体重增加最快？

（3）平均体重的增加与年龄增长成正比例吗？

（4）从图中，你还能得到哪些信息？

【答案】 （1）解：随着年龄的增加折线的数值在增大，所以平均体重是在增加。

（2）解：女生体重的折线在11﹣12岁时最陡，说明这一时期变化的最快，所以11﹣12岁时女生的平均体重变化的最快。

（3）解：男生6岁时的平均体重是19.3千克，体重与年龄的比值是：19.3：6≈3.2；

当男生7岁时平均体重是21千克，体重与年龄的比值是：21：7=3；

比值不相同，所以体重的增加与年龄的增长不成正比例。

（4）解：由图可知：11岁之前，男生和女生体重的增长速度相当，但11﹣﹣12岁女生体重增长的速度要快于男生

【解析】【分析】（1）观察复式折线统计图可知，两条折线都是上升趋势，说明：随着年龄的增加，折线的数值在增大，所以平均体重是在增加；

（2）观察女生的折线可知，女生体重的折线在11~12岁时最陡，说明这一时期变化的最快，所以11~12岁时女生的平均体重变化的最快；

（3）根据题意可知，可以求出体重与年龄的比值，然后对比比值，比值不相等，则不成正比例；

（4）观察统计图可知，11岁之前，男生和女生体重的增长速度相当，但11~12岁女生体重增长的速度要快于男生，据此解答.

2．服装厂加工一批服装，计划每天加工120套，50天可以完成。实际每天加工了150套，多少天可以加工完？（用比例解）

【答案】 解：设x天可以加工完。

150x=120×50

x=6000÷150

x=40

答：40天可以加工完。

【解析】【分析】这批服装的总数不变，每天加工的套数与加工的天数成反比例，设出未知数，根据总套数不变列出比例，解比例求出实际加工的天数即可。

3．一辆汽车在公路上行驶，行驶的时间和路程如下图。

（1）这辆车10小时行驶多少千米?

（2）行驶600千米要多少时?

【答案】 （1）解：10×80=800（千米）

答：这辆车10小时行驶800千米。

（2）解：600÷80=7.5（小时）

答：行驶600千米要7.5时。

【解析】【分析】（1）由时间路程图可知，1小时行驶的路程是80千米，即汽车的速度是80千米/小时，再由“路程=速度×时间”进行计算；

（2）由（1）可知汽车的速度，再由“时间=路程÷速度”进行计算。

4．“浪漫一身”服装厂制作一批新款女式短裙，每条用布料1.2米，制作100条、200条、300条这样的短裙各需用布料多少米？将相应的米数填在表中。

（1）

短裙数量（条） ... 100 200 300 400 500 ...

所需布料（米） ... ________ ________ ________ ________ ________ ...

（2）服装厂制作450条这种短裙，一共需要布料多少米？

（3）用660米布料可以制作多少条这种短裙？

【答案】 （1）120；240；360；480；600

（2）解：1.2×450=540（米）

答：一共需要布料540米。

（3）解：660÷1.2=550（条）

答：可以制作550条这种短裙。

【解析】【分析】（1）根据题意，用每条短裙用布的米数×短裙数量=一共需要用布的总米数，据此列式计算，然后填表即可；

（2）要求制作450条这种短裙，一共需要布料多少米，用每条短裙用布的米数×短裙数量450=一共需要用布的总米数，据此列式解答；

（3）要求660米布料可以制作多少条这种短裙，用布料的总米数÷每条短裙用布的米数=制作的短裙数量，据此列式解答.

5．一幅地图上，用3cm的线段表示实际距离900km。一条长480km的高速公路，在这幅地图上是多少厘米？（用比例解）

【答案】解：设该条公路在这幅地图上是x厘米.

900km=90000000cm，480km=48000000cm，

90000000x=3×48000000

x=1.6

答：该条公路在这幅地图上是1.6厘米.

【解析】【分析】设这条公路在这幅图上是x厘米，根据图上距离与实际距离的比不变列出比例，解比例求出图上距离即可.

6．化肥厂生产一批化肥，每天生产35吨，40天完成任务。如果要28天完成任务，那么每天应生产多少吨?(用比例知识解答)

【答案】解：设每天应生产x吨.

28x=35×40

x=1400÷28

x=50

答：每天应生产50吨.

【解析】【分析】这批化肥的总质量不变，每天生产的质量和天数成反比例，设出未知数，根据总质量不变列出比例解答即可.

7．同学们订阅《少年报》，订阅份数与应付钱数成________比例。

【答案】 正

【解析】【解答】解：应付钱数÷订阅份数=每份《少年报》的钱数（一定），订阅份数与应付钱数成正比例。

故答案为：正。

【分析】根据数量关系判断出订阅份数与应付钱数的比值一定还是乘积一定，如果比值一定就成正比例，如果乘积一定就成反比例。

8．如果y=15x，x和y成________比例；如果y= ，x和y成________比例。

【答案】 正

；反

【解析】【解答】 如果y=15x，那么，（一定），故x和y成正比例；

如果y= ，那么，xy=15（一定），故x和y成反比例。 故答案为：正；反。

【分析】如果（一定），即两个数的比值一定，则这两个数成正比例；如果xy=k（一定），即两个数的积一定，则这两个数成反比例。把本题中的两个式子变形为x与y的比或积的形式，再来判断。

9．如果y=5x，那么x和y成________比例；如果xy=5，那么x和y成________比例。

【答案】 正；反

【解析】【解答】解：如果 ， 即 ， 所以x和y成正比例；如果 ， 那么x和y成反比例。

故答案为：正；反。

【分析】正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着相同变化，如果两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做正比例的量，它们的关系叫做正比例的关系。

反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着相反变化，如果两种量相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做反比例的量，它们的关系叫做反比例的关系。

10．生活中一个量会随着另一个量的变化而变化，这两个量叫做________。

【答案】 变量

【解析】【解答】 生活中一个量会随着另一个量的变化而变化，这两个量叫做变量.

故答案为：变量.

【分析】在我们的生活中存在着大量互相依赖的变量，其中一个量变化，另一个量也会随着发生变化，我们就称这两个量是两个相关联的量，据此解答.

11．路程一定，________和________是两个变量。

【答案】 速度；时间

【解析】【解答】 路程一定，速度和时间是两个变量.

故答案为：速度；时间.

【分析】因为路程=速度×时间，所以当路程一定，速度和时间是两个变量，速度随时间的变化而变化，时间越短，速度越快，据此解答.

12．一个圆锥的底面直径为6cm，高是直径的 ，圆锥的体积为（ ）cm2。

A. 141.3 B. 47.1 C. 31.4

【答案】 B

【解析】【解答】解：3.14×（6÷2）²×（6×）× =3.14×9×5×

=3.14×15

=47.1（cm³）

故答案为：B。

【分析】圆锥的体积=底面积×高× ， 先根据分数乘法的意义求出圆锥的高，再根据公式计算体积即可。

13．一块直角三角板，两条直角边的长度分别是4cm和3cm，分别绕两条直角边旋转一周，都可得到一个圆锥体。这两个圆锥的体积比是（ ）。

A. 4：3 B. 1：1 C. 16：9 D. 9：16

【答案】 A

【解析】【解答】解：（π×4²×3×）：（π×3²×4×）=16π：12π=4：3。

故答案为：A。

【分析】第一个圆锥的底面半径是4cm，高是3cm；第二个圆锥的底面半径是3cm，高是4cm；分别计算出两个圆锥的体积并写出体积的最简比即可。

14．如图所示的圆柱体，从上面看是一个( ）．

A. 长方形 B. 梯形 C. 三角形 D. 圆

【答案】 A

【解析】【解答】 ， 如图所示的圆柱体，从上面看是一个长方形.

故答案为：A.

【分析】此题主要考查了从不同的方位观察几何体的知识，如图所示的圆柱体，从上面看是一个长方形，据此解答.

15．在下面的图形中，以直线为轴旋转，可以得到圆锥的是（ ）。

A. B. C. D.

【答案】 C 【解析】【解答】 在下面的图形中，以直线为轴旋转，可以得到圆锥的是.

故答案为：C.

【分析】一个直角三角形以一条直角边为轴，旋转一周，得到的图形是圆锥，据此解答.