高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.11导数在研究函数中的应用(二)课件文

第 1 页 共 3 页 第十四节 导数在研究函数中的应用 (二)

1.f(x)＝x3－3x2＋2在区间[]－1，1上的最大值是( )

A．－2 B．0 C．2 D．4

解析：f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，可得x＝0或2(舍去)，当－1≤x＜0时，f′(x)＞0，当0＜x≤1时，f′(x)＜0，所以当x＝0时，f(x)取得最大值为2.故选C.

答案：C

2．(2013·揭阳二模)已知函数f(x)＝1x－ln （x＋1），则y＝f(x)的图象大致为( )

解析：令g(x)＝x－ln (x＋1)，则g′(x)＝1－1x＋1＝xx＋1，

由g′(x)＞0，得x＞0，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，

由g′(x)＜0得－1＜x＜0，即函数g(x)在(－1,0)上单调递减，

所以当x＝0时，函数g(x)有最小值，g(x)min＝g(0)＝0，

于是对任意的x∈(－1,0)∪(0，＋∞)，有g(x)≥0，故排除B、D，

因函数g(x)在(－1,0)上单调递减，则函数f(x)在(－1，0)上递增，故排除C，故选A.

答案：A

3．(2013·淄博一检)已知a≤1－xx＋ln x对任意x∈12，2恒成立，则a的最大值为( )

A．0 B．1 C．2 D．3

解析：设f(x)＝1－xx＋ln x，则f′(x)＝－x＋x－1x2＋1x＝x－1x2.当x∈12，1时，f′(x)＜0，故函数f(x)在12，1上单调递减；当x∈(1,2]时，f′(x)＞0，故函数f(x)在(1,2]上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a≤0，即a的最大值为0.

答案：A

4．函数f(x)满足f(0)＝0，其导函数f′(x)的图象如下图所示，则f(x)在[－2,1]上的最小值为( ) 第 2 页 共 3 页

1 导数复习专题

一、知识要点与考点

（1）导数的概念及几何意义（切线斜率）；

（2）导数的求法：一是熟练常见函数的导数；二是熟练求导法则：和、差、积、商、复合函数求导。

（3）导数的应用：一是函数单调性；二是函数的极值与最值（值域）；三是比较大小与证明不等式；

四是函数的零点个数（或参数范围）或方程的解问题。

（4）八个基本求导公式

)(C＝ ；)(nx＝ ；(n∈Q) )(sinx＝ ， )(cosx＝ ； )(xe＝ ，

)(xa＝ ；)(lnx＝ ， )(logxa＝

（5）导数的四则运算 )(vu＝ ])([xCf＝ )(uv＝ ，)(vu＝ )0(v

（6）复合函数的导数

设)(xu在点x处可导，)(ufy在点)(xu处可导，则复合函数)]([xf在点x处可导， 且xuxuyy.

二、考点分析与方法介绍

考点一 导数的概念及几何意义

目标：理解导数的概念和导数的几何意义，会求简单的函数的导数和曲线在一点处的切线方程．

求曲线在一点处的切线方程思路：一会求导；二敢设切点；三要列尽方程；四解好方程组；五得解。

例1．已知曲线y＝ f(x)在x＝－2处的切线的倾斜角为34，则f(－2)＝ ，[(2)]f＝ ．

例2．设函数f(x)的导数为()fx，且f(x)＝x2＋2xf(1)，则f(2)＝ ．

例3．（1）曲线C：y＝ax3＋bx2＋cx＋d在(0，1)点处的切线为l1：y＝x＋1，在(3，4)点处的切线为

l2：y＝－2x＋10，求曲线C的方程．

（2）求曲线S：y＝2x－x3的过点A(1，1)的切线方程．

考点二 单调性中的应用

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2．11

导数在研究函数中的应用(一)

[重点保分 两级优选练] A级

一、选择题

1．(2017·某某模拟)函数f(x)＝axx2＋1(a>0)的单调递增区间是( )

A．(－∞，－1) B．(－1,1)

C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

答案 B

解析 函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝a1－x2x2＋12＝a1－x1＋xx2＋12.由于a>0，要使f′(x)>0，只需(1－x)·(1＋x)>0，解得x∈(－1,1)．故选B.

2．若函数f(x)＝(x2－2x)ex在(a，b)上单调递减，则b－a的最大值为( )

A．2 B.2 C．4 D．22

答案 D

解析 f′(x)＝(2x－2)ex＋(x2－2x)ex＝(x2－2)ex，令f′(x)<0，∴－2

即函数f(x)的单调递减区间为(－2，2)．

∴b－a的最大值为22.故选D.

3．函数f(x)＝(x－1)(x－2)2在[0,3]上的最小值为( )

A．－8 B．－4 C．0 D.427

答案 B

解析 f′(x)＝(x－2)2＋2(x－1)(x－2)＝(x－2)(3x－4)．令f′(x)＝0⇒x1＝43，x2＝2，结合单调性，只要比较f(0)与f(2)即可．f(0)＝－4，f(2)＝0.

故f(x)在[0,3]上的最小值为f(0)＝－4.故选B.

4．(2017·豫南九校联考)已知f′(x)是定义在R上的连续函数f(x)的导函数，满足f′(x)－2f(x)<0，且f(－1)＝0，则f(x)>0的解集为( )

A．(－∞，－1) B．(－1,1)

C．(－∞，0) D．(－1，＋∞)

答案 A

解析 设g(x)＝fxe2x，则g′(x)＝f′x－2fxe2x<0在R上恒成立，所以g(x)在R上递减，又因为g(－1)＝0，f(x)>0⇔g(x)>0，所以x<－1.故选A.

5．(2017·某某某某一中期末)f(x)＝x2－aln x在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值X围为( ) word

第11讲 导数在研究函数中的应用

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基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )．

A．(－∞，2) B．(0,3)

C．(1,4) D．(2，＋∞)

解析 f′(x)＝ex(x－2)，

令f′(x)＞0得x＞2.

∴f(x)的单调增区间是(2，＋∞)．

答案 D

2． (2013·浙江卷)已知函数y＝f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y＝f′(x)的图像如右图所示，则该函数的图像是( )．

解析 由y＝f′(x)的图像知，y＝f(x)的图像为增函数，且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1)上增长速度越来越慢．

答案 B

3．(2014·宝鸡模拟)函数y＝xex的最小值是( )．

A．－1 B．－e C．－1e D．不存在

解析 y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex，令y′＝0，则x＝－1，因为x＜－1时，y′＜0，x＞－1时，y′＞0，所以x＝－1时，ymin＝－1e.

答案 C

4．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则( )．

A．a＜－1 B．a＞－1

C．a＞－1e D．a＜－1e

解析 ∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.

∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，

则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，

∵x＞0时，－ex＜－1，∴a＝－ex＜－1.

答案 A

5．(2013·福建卷)设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( )．

A．任意x∈R，f(x)≤f(x0)

B．－x0是f(－x)的极小值点

C．－x0是－f(x)的极小值点

D．－x0是－f(－x)的极小值点

解析 A错，因为极大值未必是最大值；B错，因为函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图像关于y轴对称，－x0应是f(－x)的极大值点；C错，函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图像关于x轴对称，x0应为－f(x)的极小值点；D正确，函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图像关于原点对称，－x0应为y＝－f(－x)的极小值点．