高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第11讲 导数在研究函数中的应用(第1课时)利用导数研

word 第11讲 导数在研究函数中的应用 第1课时 利用导数研究函数的单调性

函数的单调性与导数的关系

1．概念辨析

(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.( )

(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．( )

(3)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．( )

答案 (1)× (2)√ (3)√

2．小题热身

(1)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是( ) word

A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数

B．在区间(1,3)上f(x)是减函数

C．在区间(4,5)上f(x)是增函数

D．当x＝2时，f(x)取到极小值

答案 C

解析 观察y＝f′(x)的图象可知，f(x)在区间(－2,1)上先减后增，在区间(1,3)上先增后减，在区间(4,5)上是增函数，当x＝2时，f(x)取到极大值，故只有C正确．

(2)f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为( )

A．(0,4) B．(0,2)

C．(4，＋∞) D．(－∞，0)

答案 A

解析 f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)<0得0

(3)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )

A．(－∞，2) B．(0,3)

C．(1,4) D．(2，＋∞)

答案 D

解析 函数f(x)＝(x－3)ex的导数为f′(x)＝[(x－3)ex]′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)ex>0，解得x>2.

(4)已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是________．

答案 3

解析 由题意得，f′(x)＝3x2－a≥0对x∈[1，＋∞)恒成立，即a≤3x2对x∈[1，＋∞)恒成立，所以a≤3. word

经检验a＝3也满足题意，所以a的最大值是3.

题型 一 不含参数的函数的单调性

1．已知函数f(x)＝xln x，则f(x)( )

A．在(0，＋∞)上单调递增

B．在(0，＋∞)上单调递减

C．在0，1e上单调递增

D．在0，1e上单调递减

答案 D

解析 f′(x)＝x′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1.

由f′(x)＝0得x＝1e，

当x∈0，1e时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

当x∈1e，＋∞时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

故只有D正确．

2．函数f(x)＝3xx2＋1的单调递增区间是( )

A．(－∞，－1) B．(－1,1)

C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)或(1，＋∞)

答案 B

解析 函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝31－x2x2＋12＝31－x1＋xx2＋12.要使f′(x)>0，只需(1－x)(1＋x)>0，解得x∈(－1,1)．

3．(2019·某某金溪一中等校联考)已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝fxex的单调递减区间为( ) word

A．(0,4) B．(－∞，1)，43，4

C.0，43D．(0,1)，(4，＋∞)

答案 D 解析 由题图可知，先减后增的那条曲线为f′(x)的图象，先增后减最后增的曲线为f(x)的图象．

因为g(x)＝fxex，所以g′(x)＝f′xex－fxexex2＝f′x－fxex，由图象可知，当x∈(0,1)和(4，＋∞)时，f′(x)

条件探究 若举例说明1中的函数变为f(x)＝ln xx，试求f(x)的单调区间．

解 函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ln xx2，令f′(x)＝0，得x＝e.

所以当x∈(0，e)时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数，

当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数．

所以函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．

确定不含参数的函数单调区间的步骤

(1)确定函数f(x)的定义域．

(2)求f′(x)．

(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间．

(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.

word

1.(2017·某某高考)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )

答案 D

解析 由导函数的图象可知函数在(－∞，0)上是先减后增，在(0，＋∞)上是先增后减再增．故选D.

f(x)＝x2－5x＋2ln x，则函数f(x)的单调递增区间是( )

A.0，12和(1，＋∞) B．(0,1)和(2，＋∞)

C.0，12和(2，＋∞) D．(1,2)

答案 C

解析 函数f(x)＝x2－5x＋2ln x的定义域是(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－5＋2x＝2x2－5x＋2x＝x－22x－1x>0，解得02，故函数f(x)的单调递增区间是0，12和(2，＋∞).

3.(2019·某某调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f(x)的单调递增区间是________．

答案 －π，－π2和0，π2

解析 因为f(x)＝xsinx＋cosx，所以f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx.

令f′(x)>0，得xcosx>0.又因为－π

题型 二 含参数的函数的单调性

word

(2018·全国卷Ⅰ改编)已知函数f(x)＝1x－x＋aln x．讨论f(x)的单调性．

解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝－1x2－1＋ax＝－x2－ax＋1x2.

①若a≤2，则f′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时f′(x)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．

②若a>2，令f′(x)＝0，得

x＝a－a2－42或x＝a＋a2－42.

当x∈0，a－a2－42∪a＋a2－42，＋∞时，f′(x)<0；

当x∈a－a2－42，a＋a2－42时，f′(x)>0.

所以f(x)在0，a－a2－42，a＋a2－42，＋∞上单调递减，在a－a2－42，a＋a2－42上单调递增．

条件探究1 若举例说明中的函数变为f(x)＝ax2－a－ln x，应如何解答？

解 由题意得f′(x)＝2ax－1x＝2ax2－1x(x>0)．

当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减．

当a>0时，由f′(x)＝0有x＝12a，

当x∈0，12a时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当x∈12a，＋∞时，f′(x)>0，f(x)单调递增．

条件探究2 若举例说明中的函数变为f(x)＝x－2x＋1－aln x(a>0)，应如何解答？

解 由题意知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，导函数f′(x)＝1＋2x2－ax＝x2－ax＋2x2.设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.①当Δ≤0，即00都有f′(xf(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ>0，即a>22时，方程g(x)＝0有两个不同的实根x1＝a－a2－82，x2＝a＋a2－82，0

变化情况如下表：

此时f(x)在0，a－a2－82上单调递增，

在a－a2－82，a＋a2－82上单调递减，

在a＋a2－82，＋∞上单调递增．

确定含参数的函数的单调性的基本步骤

(1)确定函数f(x)的定义域．

(2)求f′(x)，并尽量化为乘积或商的形式．

(3)令f′(x)＝0，

①若此方程在定义域内无解，考虑f′(x)恒大于等于0(或恒小于等于0)，直接判断单调区间．如举例说明中a≤2时，f′(x)恒小于等于0.

②若此方程在定义域内有解，则用之分割定义域，逐个区间分析f′(x)的符号确定单调区间．如举例说明中a>2时，f′(x)＝0有两个实根.

1．已知函数f(x)＝13x3－(2m＋1)x2＋3m(m＋2)x＋1，其中m∈R，求函数f(x)的单调递增区间．

解 f′(x)＝x2－2(2m＋1)x＋3m(m＋2)

＝(x－3m)(x－m－2)．

当3m＝m＋2，即m＝1时，f′(x)＝(x－3)2≥0，

∴f(x)单调递增，即f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．

当3m>m＋2，即m>1时，由f′(x)＝(x－3m)(x－m－2)>0可得x3m，

此时f(x)的单调递增区间为(－∞，m＋2)，(3m，＋∞)．

当3m0，可得x<3m或x>m＋2， word

此时f(x)的单调递增区间为(－∞，3m)，(m＋2，＋∞)．

综上所述，当m＝1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；

当m>1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，m＋2)，(3m，＋∞)；

当m<1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，3m)，(m＋2，＋∞)．

2．已知函数f(x)＝e2x－aex－a2x，讨论函数f(x)的单调性．

解 函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)．

①若a＝0，则f(x)＝e2x，在(－∞，＋∞)上单调递增．

②若a>0，则由f′(x)＝0得x＝ln a，

当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；

当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.

故f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．

③若a<0，则由f′(x)＝0得x＝ln －a2.

当x∈－∞，ln －a2时，f′(x)<0；

当x∈ln －a2，＋∞时，f′(x)>0.

故f(x)在－∞，ln －a2上单调递减，

在ln －a2，＋∞上单调递增．

题型 三 函数单调性的应用问题

角度1 比较大小或解不等式

1．(1)(2019·某某模拟)已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，若a＝fee，b＝fln 2ln 2，c＝f－3－3，则a，b，c的大小关系正确的是( )

A．a

C．a

(2)已知函数f(x)＝x2－cosx，x∈－π2，π2，则满足f(x0)>fπ3的x0的取值X围为________．