高三理科数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第十一节 导数在研究函数中的应用课件

第 1 页 共 3 页 第十四节 导数在研究函数中的应用 (二)

1.f(x)＝x3－3x2＋2在区间[]－1，1上的最大值是( )

A．－2 B．0 C．2 D．4

解析：f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，可得x＝0或2(舍去)，当－1≤x＜0时，f′(x)＞0，当0＜x≤1时，f′(x)＜0，所以当x＝0时，f(x)取得最大值为2.故选C.

答案：C

2．(2013·揭阳二模)已知函数f(x)＝1x－ln （x＋1），则y＝f(x)的图象大致为( )

解析：令g(x)＝x－ln (x＋1)，则g′(x)＝1－1x＋1＝xx＋1，

由g′(x)＞0，得x＞0，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，

由g′(x)＜0得－1＜x＜0，即函数g(x)在(－1,0)上单调递减，

所以当x＝0时，函数g(x)有最小值，g(x)min＝g(0)＝0，

于是对任意的x∈(－1,0)∪(0，＋∞)，有g(x)≥0，故排除B、D，

因函数g(x)在(－1,0)上单调递减，则函数f(x)在(－1，0)上递增，故排除C，故选A.

答案：A

3．(2013·淄博一检)已知a≤1－xx＋ln x对任意x∈12，2恒成立，则a的最大值为( )

A．0 B．1 C．2 D．3

解析：设f(x)＝1－xx＋ln x，则f′(x)＝－x＋x－1x2＋1x＝x－1x2.当x∈12，1时，f′(x)＜0，故函数f(x)在12，1上单调递减；当x∈(1,2]时，f′(x)＞0，故函数f(x)在(1,2]上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a≤0，即a的最大值为0.

答案：A

4．函数f(x)满足f(0)＝0，其导函数f′(x)的图象如下图所示，则f(x)在[－2,1]上的最小值为( ) 第 2 页 共 3 页

1 2014届高三数学总复习 2.12导数在研究函数中的应用教案 新人教A版

考情分析 考点新知

① 导数与函数内容的结合命题已成为近几年高考的流行趋势，应引起足够的重视.

② 以导数为研究函数的重要工具来解决函数的单调性与最值问题是高考的热点，同时解答题侧重于导数的综合应用，即导数与函数、数列、不等式的综合应用．

① 理解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性.

② 掌握利用导数求函数极值与最值的方法.

③ 会利用导数解决某些实际问题.

,

1. (选修22P28例1改编)函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为______________．

答案：(－1，11)

解析：f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，由(x－11)(x＋1)<0，得单调减区间为(－1，11)．亦可填写闭区间或半开半闭区间．

2. (选修22P34习题3改编)若函数f(x)＝ex－ax在x＝1处取到极值，则a＝________．

答案：e

解析：由题意，f′(1)＝0，因为f′(x)＝ex－a，所以a＝e.

3. (选修22P34习题8)函数y＝x＋sinx，x∈[0，2π]的值域为________．

答案：[0，2π]

解析：由y′＝1＋cosx≥0，所以函数y＝x＋sinx在[0，2π]上是单调增函数，所以值域为[0，2π]．

4. (原创)已知函数f(x)＝－12x2＋blnx在区间[2，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．

答案：(－∞，4]

解析：f′(x)＝－x＋bx≤0在[2，＋∞)上恒成立，即b≤x2在[2，＋∞)上恒成立．

5. (选修22P35例1改编)用长为90cm、宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成，则该容器的高为________cm时，容器的容积最大．

二次函数闭区间上的最值问题与根的分布

一、二次函数闭区间上的最值问题

一元二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.

设2()(0)fxaxbxca，求在[,]xmn上的最大值与最小值。

分析：将2()(0)fxaxbxca配方，得对称轴方程2bxa

当0a时，抛物线开口向上

若[,]2bmna必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值；

若[,]2bmna

当0a时，抛物线开口向上，此时函数在[]mn，上具有单调性，故在离对称轴2bxa较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值。当0a时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：

当0a时

max121()()()22()1()()()22bfmmnafxbfnmna如图如图，，

fxfnbanfbambanfmbam()()()()()()()min，，，如图如图如图2222345

当a0时

fxfnbanfbambanfmbam()()()()()()()max，，，如图如图如图2222678

min9101()()()22()1()()()22bfmmnafxbfnmna如图如图，，

20212.2

第二节 函数的单调性与最值

课标要求 考情分析

1。理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．

2．会运用基本初等函数的图象分析函数的性质。 1。主要考查函数单调性的判定、求单调区间、比较大小、解不等式、求最值及不等式恒成立问题．

2．题型以选择题、填空题为主，若与导数交汇命题则以解答题的形式出现,属中高档题.

知识点一 函数的单调性

1．增函数、减函数的定义

定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2:

(1)增函数：当x1〈x2时，都有f(x1)

（2）减函数：当x1〈x2时，都有f（x1）〉f(x2)，那么就说函20212.2

数f(x）在区间D上是减函数．

2．单调性、单调区间的定义

若函数y＝f(x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f（x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x）的单调区间．

注意以下结论

1．对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，错误!>0⇔f(x)在D上是增函数，错误!<0⇔f（x)在D上是减函数．

2．对勾函数y＝x＋错误!(a〉0）的增区间为(－∞,－错误!]和［错误!，＋∞）,减区间为[－错误!，0）和(0，错误!]．

3．在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．

4．函数f(g（x))的单调性与函数y＝f（u）和u＝g(x）的单调性的关系是“同增异减”．

知识点二 函数的最值

20212.2

1．思考辨析

判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”）

(1）对于函数f（x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有（x1－x2）[f（x1）－f(x2)］〉0,则函数f（x)在区间D上是增函数．( √ )

（2）函数y＝1x的单调递减区间是（－∞,0）∪(0,＋∞)．（ × ）

（3）对于函数y＝f(x）,若f(1）

（4）函数y＝f（x）在［1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1,＋∞）．（ × ）