常微分方程的基本概念课件

(1) (2)qrqqrqrrqrr

解：原方程可写为如下形式：

(3) (4)qrqqrddqdtrdtddqdrrdtdtrdt

将方程组变为对q求导的方程组：

(5) (6)qrqqrddqrddrrdqrdq

由（5）式可得：

(7)rqdrdq

将（7）式对q求导得：

22() (8)qrrrddddrddrdqrdqdqdqdqdq

将（5）式、（8）式代入（6）式可得：

22 (9)rrrrddddrdrrrdqdqdqdqdq

（9）式可化简为： 22 (10)rrdrrdq

由题知0r，则有： 22 (11)rrddq

其特征方程为： 210r 解为：ri

故（11）式的解可写为：12cossinrCqCq或者12sin()rCqC

由（7）式可知： 12cos()rqdrCrqCdq

第一章 一阶微分方程

1.1学习目标：

1. 理解微分方程有关的基本概念, 如微分方程、方程阶数、解、通解、初始条件、初值问题等的定义和提法. 掌握处理微分方程的三种主要方法: 解析方法, 定性方法和数值方法.

2. 掌握变量分离法，用变量替换将某些方程转化为变量分离方程, 掌握一阶线性方程的猜测检验法, 常数变易法和积分因子法, 灵活运用这些方法求解相应方程, 理解和掌握一阶线性方程的通解结构和性质.

3. 能够大致描述给定一阶微分方程的斜率场, 通过给定的斜率场描述方程解的定性性质;

理解和掌握欧拉方法, 能够利用欧拉方法做简单的近似计算.

4. 理解和掌握一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理, 能够利用存在唯一性定理判别方程解的存在性与唯一性并解决与之相关的问题, 了解解对初值的连续相依性和解对初值的连续性定理, 理解适定性的概念.

5. 理解自治方程平衡点, 平衡解, 相线的概念, 能够画出给定自治方程的相线, 判断平衡点类型进而定性分析满足不同初始条件解的渐近行为.

6. 理解和掌握一阶单参数微分方程族的分歧概念, 掌握发生分歧的条件, 理解和掌握各种分歧类型和相应的分歧图解, 能够画出给定单参数微分方程族的分歧图解, 利用分歧图解分析解的渐近行为随参数变化的状况.

7. 掌握在给定的假设条件下, 建立与实际问题相应的常微分方程模型, 并能够灵活运用本章知识进行模型的各种分析.

1.2基本知识：

(一) 基本概念

1. 什么是微分方程:

联系着自变量、未知函数及它们的导数（或微分）间的关系式（一般是

指等式），称之为微分方程.

2. 常微分方程和偏微分方程:

(1) 如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，则称这种微分方程为常微分方程,例如 )(22tfcydtdybdtyd, 0)(2ydtdytdtdy.

(2) 如果在微分方程中，自变量的个数为两个或两个以上，则称这种微分方程为偏微分方程. 例如 0222222zTyTxT, tTxT422.

1 / 5 §1.2 常微分方程基本概念习题及解答

1．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：ydy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x2+c

y=e2x+ec=cex2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0

原方程的通解为y= cex2,x=0 y=1时 c=1

特解为y= e2x.

2. y2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：y2dx=-(x+1)dy 2ydydy=-11xdx

两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln1xc

另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e

特解：y=|)1(|ln1xc

3．dxdy=yxxyy321

解：原方程为：dxdy=yy2131xx

yy21dy=31xxdx

两边积分：x(1+x2)(1+y2)=cx2

4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0

解：原方程为： yy1dy=-xx1dx

两边积分：ln|xy|+x-y=c 2 / 5 另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x）dy+(x-y)dx=0

解：原方程为：

dxdy=-yxyx

令xy=u 则dxdy=u+xdxdu 代入有：

-112uudu=x1dx

ln(u2+1)x2=c-2arctgu

即 ln(y2+x2)=c-2arctg2xy.

6. xdxdy-y+22yx=0

解：原方程为： dxdy=xy+xx||-2)(1xy

则令xy=u dxdy=u+ xdxdu

211u du=sgnx x1dx

arcsinxy=sgnx ln|x|+c

7. tgydx-ctgxdy=0

解:原方程为：tgydy=ctgxdx

两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|

§12．1 微分方程的基本概念

1 第十二章 微分方程

§12 1 微分方程的基本概念

函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究 因此如何寻找出所需要的函数关系 在实践中具有重要意义 在许多问题中 往往不能直接找出所需要的函数关系 但是根据问题所提供的情况 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式 这样的关系就是所谓微分方程 微分方程建立以后 对它进行研究 找出未知函数来 这就是解微分方程

例1 一曲线通过点(1 2) 且在该曲线上任一点M(x y)处的切线的斜率为2x 求这曲线的方程

解 设所求曲线的方程为yy(x) 根据导数的几何意义 可知未知函数yy(x)应满足关系式(称为微分方程)

xdxdy2 (1)

此外 未知函数yy(x)还应满足下列条件

x1时 y2 简记为y|x12 (2)

把(1)式两端积分 得(称为微分方程的通解)

xdxy2 即yx2C (3)

其中C是任意常数

把条件“x1时 y2”代入(3)式 得

212C

由此定出C1 把C1代入(3)式 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x12的解)

yx21

例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶 当制动时列车获得加速度04m/s2 问开始制动后多少时间列车才能停住 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?

解 设列车在开始制动后t秒时行驶了s米 根据题意 反映制动阶段列车运动规律的函数ss(t)应满足关系式