常微分方程第一章课件

第 一 章 一阶微分方程的解法的小结

⑴、可分离变量的方程：

①、形如 )()(ygxfdxdy

当0)(yg时，取得dxxfygdy)()(，两边积分即可取得结果；

当0)(0g时，那么0)(xy也是方程的解。

例1.1、xydxdy

解：当0y时，有xdxydy，两边积分取得)(2ln2为常数CCxy

因此)(11212CxeCCeCy为非零常数且

0y显然是原方程的解；

综上所述，原方程的解为)(1212为常数CeCyx

②、形如0)()()()(dyyQxPdxyNxM

当0)()(yNxP时，可有dyyNyQdxxPxM)()()()(，两边积分可得结果；

当0)(0yN时，0yy为原方程的解，当0(0）xP时，0xx为原方程的解。

例1.二、0)1()1(22dyxydxyx

解：当0)1)(1(22yx时，有dxxxdyyy1122两边积分取得

)0(ln1ln1ln22CCyx，因此有)0()1)(1(22CCyx；

当0)1)(1(22yx时，也是原方程的解；

综上所述，原方程的解为)()1)(1(22为常数CCyx。

⑵可化为变量可分离方程的方程：

①、形如)(xygdxdy

解法：令xyu，那么udxxdudy，代入取得)(ugudxdux为变量可分离方程，取得)(0),,(为常数CCxuf再把u代入取得)(0),,(为常数CCxxyf。

②、形如)0(),(abbyaxGdxdy解法：令byaxu，那么bduadxdy，代入取得)(1uGbadxdub为变量可分离方程，取得)(0),,(为常数CCxuf再把u代入取得)(0),,(为常数CCxbyaxf。

③、形如)(222111cybxacybxafdxdy

常微分方程笔记

第一章一阶常微分方程

1.方程中只出现一个独立变量导数的微分分程称为常微分方程如：2

3

22()40dydy

y

dxdx

2.若方程出现关于二个以上独立自变量偏导数称偏微分方裎如：热传导方程2

2d

k

dtx





3.微分方程的阶是指出现在分程中最高导数的阶，n阶线性常微分方程具

有形式:()(1)

110()()()'()()nn

nnaxyaxyaxyaxygx

，其中1

0dy

dxy是非

线性的，由于有1y

4.微分方程的解

n阶方程具有n个独立的常数的解

12(,,,,,,)

nyxccLc称它是通解

其中独立是指12

12

(1)(1)(1)

12'''

0

0n

n

nnn

nL

ccc

L

ccc

MMM

L

ccc















5.微分方程的解

含有未知函数之导数的等式称为微分方程。

分类型式:

1)按导数的类型分类

2)按照阶分类

3)按是否线性分类常微分方程：方程中未知函数只与一个自变量有关。

偏微分方程：如果未知函数是多元函数，且在方程中出现了偏导数，则

称为偏微分方程如：热传导方程2

2d

dtx



和波动方程22

22d

k

dxt



。

6.一阶常微分方程有如下三种形式：

1)(,,')0Fxyy

2)'(,)yfxy

3)(,)(,)0MxydxNxydy

7.n阶线性方程应具备形式：

1

1101()()()()()nn

nnnndydydy

axaxaxaxygx

dxdxdx



8.线性方程具有如下性质:

1)因变量y及其各阶导数若出现则都是一次的

2)y及其各阶导数的性质只依赖于自变量x

9.方程的解

设函数()yx

在区间I上至少有到n阶的导数.如果把()yx

代入

(,,')0Fxyy

得到在区间I上关于x的恒等式(,(),())0nFxxx

则称

()yx

是方(,,')0Fxyy

在区间I上的解。

定值条件

通解特解

常微分方程第二版答案第一章

【篇一：常微分方程第一章】

程

1.1学习目标：

1. 理解微分方程有关的基本概念, 如微分方程、方程阶数、解、通解、初始条件、初值问题等的定义和提法. 掌握处理微分方程的三种主要方法: 解析方法, 定性方法和数值方法. 2. 掌握变量分离法，用变量替换将某些方程转化为变量分离方程, 掌握一阶线性方程的猜测检验法, 常数变易法和积分因子法, 灵活运用这些方法求解相应方程, 理解和掌握一阶线性方程的通解结构和性质.

3. 能够大致描述给定一阶微分方程的斜率场, 通过给定的斜率场描述方程解的定性性质; 理解和掌握欧拉方法, 能够利用欧拉方法做简单的近似计算.

4. 理解和掌握一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理, 能够利用存在唯一性定理判别方程解的存在性与唯一性并解决与之相关的问题, 了解解对初值的连续相依性和解对初值的连续性定理, 理解适定性的概念.

5. 理解自治方程平衡点, 平衡解, 相线的概念, 能够画出给定自治方程的相线, 判断平衡点类型进而定性分析满足不同初始条件解的渐近行为.

6. 理解和掌握一阶单参数微分方程族的分歧概念, 掌握发生分歧的条件, 理解和掌握各种分歧类型和相应的分歧图解, 能够画出给定单参数微分方程族的分歧图解, 利用分歧图解分析解的渐近行为随参数变化的状况.

7. 掌握在给定的假设条件下, 建立与实际问题相应的常微分方程模型,

并能够灵活运用本章知识进行模型的各种分析.

1.2基本知识： (一) 基本概念

1. 什么是微分方程:

联系着自变量、未知函数及它们的导数（或微分）间的关系式（一般是 指等式），称之为微分方程. 2. 常微分方程和偏微分方程:

(1) 如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，则称这种微分方程为常微分方程,

dy2dyd2ydy

()?t?y?0. ?b?cy?f(t)例如 , dtdtdtdt2 (2) 如果在微分方程中，自变量的个数为两个或两个以上，则称这种微分方程为偏

常微分方程课程总结

第一章 绪论

§1.2微分方程的基本概念

（1）常微分方程偏微分方程

微分方程：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。

常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程。

,dyaxyadxdypxyQxdx为常数

偏微分方程：未知函数为多元函数，从而出现偏导数的微分方程。

22,22242uufxyxyuuyx

（2）线性与非线性

一般n阶线性微分方程具有形式：（等式左面全是一次有理整式）

()(1)11()()()().nnnnyaxyaxyaxyfx

（3）解和隐式解

微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.

隐式解：Φ（x,y）=0

（4）通解和特解

通解：微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数同.）

特解： 确定了通解中任意常数以后的解.

初始条件：用来确定任意常数的条件.

初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.

（5）积分曲线：微分方程任一特解的图形都是一条曲线,称为微分方程的积曲线。

第二章 一阶微分方程的初等解法

§2.1 变量分离方程与变量变换

2.1.1、变量分离方程

)()(yxfdxdy cdxxfydy)()(

2.1.2、可化为变量分离方程的类型

1.形如)(xygdxdy，称为齐次微分方程，令u＝xy,即y＝ux，于是dxdy＝xdxdu＋u，代入原方程，变形为xdxdu＋u＝g（u），整理得dxdu＝xuug)(

2.形如222111cxbxacxbxadxdy 的方程也可经变量变换化为变量分离方程 （1）常数）(212121kccbbaa，方程化为dxdy＝k，有通解ckxy

（2）kbbaa212121cc情形，令u＝ybxa21，这时有dxdu＝dxdyba22＝2122cuckuba是分离变量方程