常微分方程的基本概念

1 / 5 §1.2 常微分方程基本概念习题及解答

1．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：ydy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x2+c

y=e2x+ec=cex2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0

原方程的通解为y= cex2,x=0 y=1时 c=1

特解为y= e2x.

2. y2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：y2dx=-(x+1)dy 2ydydy=-11xdx

两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln1xc

另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e

特解：y=|)1(|ln1xc

3．dxdy=yxxyy321

解：原方程为：dxdy=yy2131xx

yy21dy=31xxdx

两边积分：x(1+x2)(1+y2)=cx2

4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0

解：原方程为： yy1dy=-xx1dx

两边积分：ln|xy|+x-y=c 2 / 5 另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x）dy+(x-y)dx=0

解：原方程为：

dxdy=-yxyx

令xy=u 则dxdy=u+xdxdu 代入有：

-112uudu=x1dx

ln(u2+1)x2=c-2arctgu

即 ln(y2+x2)=c-2arctg2xy.

6. xdxdy-y+22yx=0

解：原方程为： dxdy=xy+xx||-2)(1xy

则令xy=u dxdy=u+ xdxdu

211u du=sgnx x1dx

arcsinxy=sgnx ln|x|+c

7. tgydx-ctgxdy=0

解:原方程为：tgydy=ctgxdx

两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|

大一常微分方程一知识点总结

1.常微分方程的基本概念

常微分方程是描述一个未知函数的导数或高阶导数与该函数本身之间的关系的方程。

2.函数的导数和微分的概念

导数描述了函数在其中一点上的变化率，基本导数法则包括常数规则、幂规则、指数函数和对数函数的导数、三角函数的导数等；微分描述了函数在其中一点上的变化量。

3.一阶常微分方程

一阶常微分方程是指导数的最高阶数为一的微分方程。常见的一阶微分方程形式包括可分离变量的方程、线性方程、齐次方程、恰当方程和一阶常系数线性齐次方程等。

4.可分离变量的方程

可分离变量的方程是指方程中变量可分离为两个集合的乘积形式。通过将变量分离，再进行积分求解得到方程的解。

5.线性方程

线性方程是指方程中的未知函数和其导数只出现线性的形式。线性方程的解可以通过积分因子法或变量代换法来求解。

6.齐次方程 齐次方程是指方程中未知函数和其导数出现在同一个项中，并且未知函数和其导数的次数相同的方程。齐次方程可以通过变量代换法将其转化为可分离变量的方程来求解。

7.恰当方程

恰当方程是指方程的左右两边可以写成一些函数的全微分形式。通过判断方程是否恰当，并找到方程的积分因子，可以求解恰当方程。

8.一阶常系数线性齐次方程

一阶常系数线性齐次方程是指方程中未知函数和其导数出现在同一个项中，并且未知函数和其导数的系数是常数的方程。一阶常系数线性齐次方程的解可以通过特征方程和指数函数来求解。

9.二阶常微分方程

二阶常微分方程是指导数的最高阶数为二的微分方程。常见的二阶微分方程形式包括线性常系数齐次方程、线性常系数非齐次方程和欧拉方程等。

10.线性常系数齐次方程

线性常系数齐次方程是指方程中未知函数及其导数的系数是常数的齐次方程。线性常系数齐次方程的解可以通过特征方程和指数函数来求解。

11.线性常系数非齐次方程

线性常系数非齐次方程是指方程中未知函数及其导数的系数是常数的非齐次方程。通过求解对应的齐次方程的通解和非齐次方程的特解，可以得到线性常系数非齐次方程的通解。 12.欧拉方程

§12．1 微分方程的基本概念

1 第十二章 微分方程

§12 1 微分方程的基本概念

函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究 因此如何寻找出所需要的函数关系 在实践中具有重要意义 在许多问题中 往往不能直接找出所需要的函数关系 但是根据问题所提供的情况 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式 这样的关系就是所谓微分方程 微分方程建立以后 对它进行研究 找出未知函数来 这就是解微分方程

例1 一曲线通过点(1 2) 且在该曲线上任一点M(x y)处的切线的斜率为2x 求这曲线的方程

解 设所求曲线的方程为yy(x) 根据导数的几何意义 可知未知函数yy(x)应满足关系式(称为微分方程)

xdxdy2 (1)

此外 未知函数yy(x)还应满足下列条件

x1时 y2 简记为y|x12 (2)

把(1)式两端积分 得(称为微分方程的通解)

xdxy2 即yx2C (3)

其中C是任意常数

把条件“x1时 y2”代入(3)式 得

212C

由此定出C1 把C1代入(3)式 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x12的解)

yx21

例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶 当制动时列车获得加速度04m/s2 问开始制动后多少时间列车才能停住 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?

解 设列车在开始制动后t秒时行驶了s米 根据题意 反映制动阶段列车运动规律的函数ss(t)应满足关系式

授课11单元教案

授课单元名称 第八章 常微分方程

第一节常微分方程的基本概念 授课学时 8

单元教学

目标 知识目标 1、 了解微分方程和常微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件等概念；

2、掌握常见微分方程的类型（可分离变量方程、一阶线性方程、二阶常系数线性微分方程）及解法

3会用微分方程解一些简单的应用题；

能力目标 1．掌握微分方程、通解、特解等概念2。掌握常用的几种微分方程解法。

3．能建立常见的实际应用和专业中的微分方程模型，并求解。

主要教学

知识点 1、微分方程、常微分方程、常微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件的概念；

2、常见微分方程的类型（可分离变量方程、一阶线性方程、二阶常系数线性微分方程）及解法 教学难点 1常微分方程的基本概念

2常见微分方程解法

教材处理 基本概念以教材一致，例题有调整 参考资料 高等数学》，侯风波主编， 高等教育出版社。

《分层数学》，李德才主编， 北京交通大学出版社。

教学资源 1）教材 2）课件3）参考书

教学方法与手段 启发式、讲练结合

考核

评价点 1、常微分方程的基本概念

2、常见微分方程的类型（可分离变量方程、一阶线性方程、二阶常系数线性微分方程）及解法

教学内容

第一节 微分方程的基本概念

教学过程

一、引入新课

初等数学中就有各种各样的方程：线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后求取方程的解。

方程的定义：含有未知数的的等式。它表达了未知量所必须满足的某种条件。根据对未知量所施行的数学运算的不同，我们可以将方程分成许多不同的类型来研究。

引例1

二、新授课

1、微分方程的定义： 含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程

如果未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程式；如果未知函数是多元函数的微分方程式称为偏微分方程。