非线性方程组求解

实验报告2 线性方程组的直接解法

班级专业 统计2 姓名 毛雅婷 学号 201230980214 成绩

一、实验目的

掌握高斯消去法思想，会用高斯消去法、列主元的高斯消去法、矩阵的三角分解法求解线性方程组。

二、实验内容、计算过程与结果

题目 1、（P73 第1题） 用高斯消去法解方程组

1231231221314254 2 7xxxxxxxx.

程序 clear; A=input('Please input the augmented matrix:');

[m,l]=size(A);

for i=1:m-1

if A(i,i)==0

if A(k,i)==0

k=(i+1);

else k<=m

k=(i+1);

b=A(i,:);A(i,:)=A(k,:);A(k,:)=b;

end

end

end

for j=i+1:m

A(j,:)=A(j,:)-A(j,i)/A(i,i).*A(i,:);

end

end

A,

x(m)=A(m,m+1)/A(m,m);

for i=m-1:-1:1

b=0;

for j=m:-1:i+1

b=b+x(j)*A(i,j);

end

x(i)=(A(i,m+1)-b)/A(i,i);

end

x,

结果 A =

2.0000 -1.0000 3.0000 1.0000

0 4.0000 -1.0000 2.0000

0 0 -0.8750 5.2500

matlab求解非线性方程组及极值

默认分类 2010-05-18 15:46:13 阅读1012 评论2

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一、概述：

求函数零点和极值点：

Matlab中三种表示函数的方法: 1. 定义一个m函数文件, 2.使用函数句柄; 3.定义inline函数, 其中第一个要掌握简单函数编写, 二, 三中掌握一个。

函数的'常规'使用

有了函数了, 我们怎么用呢, 一种是直接利用函数来计算, 例如: sin(pi), 还有我们提到的mysqr(3)...

另一种是函数画图, 例如Plottools中提到的ezplot, ezsurf... 但是这也太小儿科了, 有没有想过定义函数后,

利用它来: 求解零点(即解f(x)=0方程), 最优化(求最值/极值点), 求定积分, 常微分方程求解等. 当然这里由于篇幅有限(空间快满了)以及这个只是'基础教程'的缘故, 只提及一些皮毛知识, 掌握这些后, 如果需要你可以进一步学习.

解f(x)=0

已知函数求解函数值=0所表示的方程, Matlab中有两个函数可以做到, fzero和fsolve前者只能解一元方程, 后者可以解多元方程组, 不过基本使用形式上差不多:

解=fzero(函数, 初值, options)

解=fsolve(函数, 初值, options)

关于解: fzero给出的是x单值的解, fsolve给出的是解x可能处于的区间, 当然, 这个区间很窄.

关于'函数', 还记得前面提到的三种表示方法吧, 在这里都可以用, 记住就是: 如果直接使用函数名, 要用单引号将它括起来, 而函数句柄, inline函数可以直接使用.

关于'初值': 电脑比较笨, 它寻找解的办法是尝试不同地x值, 摸索解在哪里, 所以我们一开始就要给它指明从哪里开始下手, 初值这里, 可以只给它一个值, 让它在这个值附近找解, 也可以给它一个区间(区间用[下限,上限]这种方式表示), 它会在这个区间内找解.

非线性方程组的求解方法及其应用

非线性方程组是数学中一类非常重要的问题，其中每个方程都不是线性的。与线性方程组不同，非线性方程组的求解通常需要借助于数值方法。本文将讨论一些常见的非线性方程组求解方法，并介绍它们在实际应用中的一些应用。

1. 牛顿法

牛顿法是一种非常常见的非线性方程组求解方法。该方法基于牛顿迭代法原理，将非线性方程组转化为一系列的线性问题。牛顿法的基本思想是：通过不断地使用一阶导数和二阶导数的信息来逼近方程组的解。

具体地说，在每一轮迭代中，求解一个方程组：

$$F(x^{k})+J(x^{k})\Delta x^{k} =0$$

其中$F(x)$表示非线性方程组，$x^k$表示第$k$轮迭代的解，$J(x^k)$表示$F(x)$在$x^k$处的雅可比矩阵，$\Delta x^k$表示下降方向，满足$\|\Delta x^k\|\rightarrow 0$。

值得注意的是，牛顿法在每轮迭代中都需要求解一次雅可比矩阵，这需要大量的计算资源。因此，在实际应用中，牛顿法通常只适用于相对较小的方程组。

2. 信赖域方法

相比于牛顿法，信赖域方法更具有通用性。信赖域方法的基本思想是：在每轮迭代中，通过构造二次模型来逼近目标函数，并在一个信赖域内搜索下降方向。

具体地说，我们在每轮迭代中将非线性方程组$F(x)$在$x^k$处转化为二次模型：

$$m_k(\Delta x)=F(x^k)+\nabla F(x^k)^\top \Delta

x+\frac{1}{2}\Delta x^\top B_k\Delta x$$

其中，$\nabla F(x^k)$是$F(x)$在$x^k$处的梯度，$B_k$是二阶导数信息。在这里我们假设$B_k$为正定矩阵。

显然，我们希望在$m_k(\Delta x)$的取值范围内找到一个适当的$\Delta x$，使得$m_k(\Delta x)$最小。因此，我们需要设定一个信赖域半径$\Delta_k$，并在$B_k$所定义的椭圆范围内查找最优的$\Delta x$。

数学方法解决非线性方程组

非线性方程组在科学、工程和数学领域中具有重要的应用价值。解决非线性方程组是一个复杂的任务，而数学方法为我们提供了一种有效的途径。本文将介绍一些常用的数学方法，以解决非线性方程组的问题。

1. 牛顿法

牛顿法是一种常用的数值解法，用于求解非线性方程组。它基于泰勒级数的思想，通过迭代逼近方程组的根。具体步骤如下：

首先，选择一个初始点作为近似解。然后，根据函数的导数来计算方程组在该点的切线，找到切线与坐标轴的交点。将该交点作为新的近似解，继续迭代，直到满足收敛条件。

牛顿法具有快速收敛的特点，但在某些情况下可能会陷入局部极小值点。

2. 雅可比迭代法

雅可比迭代法也是一种常见的数值解法。它将非线性方程组转化为线性方程组的形式，然后通过迭代来逼近解。具体步骤如下：

首先，将非线性方程组表示为矩阵形式，其中包含未知数的系数矩阵和常数向量。然后，将方程组进行变换，使得未知数的系数矩阵变为对角矩阵。接下来，选择一个初始解向量，并通过迭代计算新的解向量，直到满足收敛条件。 雅可比迭代法适用于大规模的非线性方程组求解，但收敛速度较慢。

3. 高斯-赛德尔迭代法

高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进版本。它在每次迭代中使用新的解向量来更新未知数的值，从而加快收敛速度。

具体步骤如下：

首先，选择一个初始解向量。然后，通过迭代计算新的解向量，直到满足收敛条件。

高斯-赛德尔迭代法相对于雅可比迭代法而言，可以更快地收敛到解。它在求解非线性方程组时具有较好的效果。

4. 弦截法

弦截法是一种近似求解非线性方程组的方法。它通过线段的截断来逼近方程组的根。

具体步骤如下：

首先，选择一个初始的线段，其中包含方程组的两个近似解。然后，通过截取线段上的新点，构造新的线段。重复这个过程，直到满足收敛条件。

弦截法是一种迭代方法，它可以在不需要计算导数的情况下逼近方程组的根。但是，它的收敛速度比牛顿法和雅可比迭代法要慢。