非线性方程组的数值求解

1 第四章 非线性方程组的数值求解

习题4.1

1．考虑211212221212(,)0(,)0fxxxxfxxxx，讨论1,1/4,0,1的4种情况下的解各等于什么？

2．用图解法研究方程组12221sin0220xxxx的解大致等于什么？

3．先用图解法大致判断解的位置，再用消元法求解212221210(2)(0.5)10xxxx。

4．查阅数学手册，用卡丹方法分别求解331540;660xxxx。

5．解4次分圆方程43210xxxx。

6．证明实系数n次代数方程的共轭根必定成对出现。

习题4.2

1．用Gerschgorin圆盘定理作方程3243100xxx和765432621353521710xxxxxxx的实根的定位，求出根的隔离区间。

2．设()A为矩阵A的谱半径，用圆盘定理直接证明()||||AA．

3．若n阶矩阵A不可约，有一特征值在A的一个圆盘的边界上，证明：A的n个圆盘的边界均通过。

4．用Gerschgorin圆盘定理隔离矩阵20312102810A的特征值，再用实矩阵特征值的性质，改进得出的结果。

5．用二分法求函数:fRR的零点。初始有根区间长度为1，问迭代6次后有根区间的长度为多少？需要用函数表达式吗？若在初始区间上函数有符号变化，问二分法的收敛速度与要求是单根还是重根有关系吗？

6．应用二分法求方程sin02xxe在区间[0， 1]上误差不超过52的近似根，应对分多少次，并求其根。

7．对3()310fxxx的根进行隔离，并用二分法计算所有的实根。

8．在[1，2]上用二分法解22cos0xx，精度要求31||10kkxx和3|*|10kxx，对分各多少次数？

9．用二分法求cos()0xe在[0，4]上的根，精度要求31||10kkxx和3|*|10kxx，对分各多少次数？

10．用二分法求20xxe的一个正根和一个负根，精度要求31||10kkxx。

11．在求根问题上，为了讨论根对方程系数的敏感性，应采用绝对条件数还是相对条件数？为什么？

12．对题7，设一次项的系数受扰动影响变为3.01，试研究用二分法求解的结果变化情况，你有什么认识？

习题4.3

1．用不动点迭代()xx求解非线性方程()0fx的解*x，在下列两种情况下，哪一个收敛更快？(1)在*x处函数有水平切线；(2) 在*x处函数有垂直切线。请给出理由。 2 2．设324100xx，选择初始值，用迭代格式 (1)1104kkxx；(2)321410kkkkxxxx求解实根，并判定迭代格式的收敛性，对收敛的格式计算10步，给出误差估计。

3．确定求方程230xxe的正根的不动点迭代格式的收敛区间[,]ab，并求出满足41||10kkxx的近似根。如果要求近似根的误差4||10ke，最少应迭代几步？

4．求444666x的近似值。

5．3210xx在[1.4，1.6]内有一根，有3种迭代格式：(1)1211kkxx；(2)2311kkxx;(3)11kkxx。

判断它们是否满足迭代收敛的条件，哪一个最好？取01.5x，求出方程的根，要求准确到5位有效数字。

6．用不动点迭代求()ln2fxxx在区间(2,)内的零点，并用松弛法和Aitkin 法加速。

7．求31xx在[1，1.5]内的根，如果不收敛，能否用Aitkin 法加速？

8．求1.60.98cosxx的根。如果收敛很慢，分别用松弛法和Aitkin法加速。

9．用迭代法证明：函数()xfxe满足积分方程0()1()dxfxftt。

10．设不动点迭代函数()x在不动点x*处的导数值'(*)0x，证明此迭代产生的序列{}kx至少超线性收敛。

11．用收敛的不动点迭代法求解下列方程的根(1)42xx；(2)(sincos)4xxx，并分别用松弛法和Aitiken方法加速，比较两者的结果。（准确到小数点后第5位。）

12．将()0fx改写为()()xxcfxx，0c为常数，若是方程的根，且'()0f 欲使1()kkxx收敛于,该如何选取常数c。

13．证明：Aitiken加速迭代法的收敛阶至少为2。

14．证明下列5个函数有相同的不动点，且这些不动点恰好是32()92624fxxxx的零点：

321()92724gxxxx；222624()9gxxx；239262()xxgxx；324924()26xxgx；32522924()31826xxgxxx。已知f的零点为2，3，4，对于f得每一个零点，验证用上述5个函数中的哪个不动点迭代能收敛到相应的零点.

15．已知()xx的'()x满足|'()3|1x，如何利用()x构造一个收敛的不动点迭代函数()x，使其构成的不动点迭代收敛。

16．设不动点迭代1(),0,1,nnxxn„ 是满足定义域与Lipschitz的条件的迭代，x*是其不动点，L为Lipschitz常数，ke为第k次迭代kx的误差，证明：1(1)kkkxxLe.

17．设*x是函数()x的不动点，'(*)1xA，且0A。若迭代1()kkxx线性收敛，证明：Steffensen迭代为二阶收敛。

习题4.4

1．用Newton 法求327.816.49.60xxx的最大根，先用MATLAB 画出函数图像，由图像得出初始值。如用不动点迭代3217.817.49.6kkkkxxxx，能否收敛？如果收敛，哪个更快？为什么？

2．分别用不动点迭代，Aitkin 加速法和Newton 迭代法求230xex的正根并作比较，误差不超过410。

3．用Newton法求r的值，使222(8)xyr与2yx相切，要求计算结果不少于4位有效数字。

4．用Newton 法和割线法求32390xxx在区间[1，2]内的根，精确到5位有效数字。 3 5．*0x是22()221xfxexx的几重零点？取00.5x，分别用Newton 法和球重根的Newton 法求*0x，精确到4|()|10fx。

6．用割线法解题5中的方程，取010.8,0.5xx，精度要求相同。

7．分别对下列函数讨论Newton 法的收敛性和收敛速度：(1),0(),0xxfxxx，(2)3232,0(),0xxgxxx。

8．写出Newton法解30xa的迭代式，讨论收敛性和收敛速度，并研究对初始值0x的要求。

9．写出Newton法解()0nfxxa和()1/0nfxax，分别导出求na的迭代公式，讨论它们的异同，研究收敛性及其收敛速度，并求21lim()/()nnKkaxax。你有什么体会？

10．证明迭代法1111()()()()kkkkkkkxfxxfxxfxfx与求解方程()0fx的割线法等价，并研究在浮点运算时，该公式与割线法迭代式相比，有何优缺点？

11．用Newton法求解()0fx，每步迭代都要计算f的导数。假设用一个常数d代替导数，迭代格式为

1()/kkkxxfxd。(1)满足什么条件的d，可使迭代格式局部收敛? (2)收敛速度为多少？ (3)是否存在使收敛速度达到二阶的d？

12．下列解()1020xfxx的迭代公式中，哪一个是正确的？

1）110210ln101nnxnnxxx； 2）1ln1010210ln101nnnxxnnxxx；

3）110ln101ln10102nnxnxx； 4）1ln1010210ln101ln10102nnnxxnnnnxxxxx。

13．用割线法求解()0fx的根*x的过程中，若某次迭代有*kxx或1*kxx（不同时），则1*kxx。

14．考虑方程2cos1/(1)0xxe的最小正根问题。给定(1)Newton法；(2)21arccos1/(1)kxkxe;

(3)110.5ln11/coskkxx。研究它们的收敛性及其收敛速度。

15．将单位长度的均匀杆一端固定，另一端为自由状态，其振动频率满足tantanh1xx，选择合适的方法，求其最小的正根。

16．由中子迁移理论，燃料棒临界长度为2cot(1)/2xxx的根．选择合适的方法，求其最小的正根。

17．伞兵打开降落伞前下落的垂直距离h满足方程ln(cosh())/htgkk，其中t为下落时间，29.8065m/sg是重力加速度，10.00341mk是与空气阻力有关的常数。求下落1km所需时间。

综合习题四

1．设A为实对称矩阵，则其特征值问题可以写成如下非线性方程组形式0(,)10TAxxFxxx；记(,)yx，证明：若*是A的单特征值，则Jacobi 矩阵'(*)Fy非奇异。

2．用圆盘定理对32210200xxx的根定位，分别用不动点迭代法，Newton法，割线法求解，并作比较。取51||10kkxx。

3． 证明由()ln(1)xxe定义的函数:RR在[0，1]是压缩的，但是不存在不动点。如果()ln(1)xxe，又将如何？又()0.52xx，你的结论又如何？ 4 4．如果n阶实矩阵A的所有Gerschgorin圆盘互不相交，则()A是实数。

5．证明用二分法求解()0,[,]fxxab得到的迭代序列{}kx线性收敛，且11|*|||2kkkkbaxxxx。

6．设n阶实矩阵A为严格对角占优或不可约弱对角占优，其对角元均为正，则Re(())0A．

7． 设连续函数()fx在[,]ab内只有一个根，将区间3等分，得中间2个分点34,xx，加上2个端点。试仿照二分法，设计三分法，给出计算步骤；分析算法的特点，与二分法比较，有何优劣？

8．方程2cos0.5xex有多少个根，分别用二分法，不动点迭代和牛顿法求这些根，精确到4位有效数字。

9．用二分法在区间[1，2]上解1cos20xx，要求41||10kkxx。

10．设2()(5)xxx，欲使迭代1()kkxx收敛到5，问得取值范围为（ ）。

11．确定求方程230xxe的正根的不动点迭代格式的收敛区间[,]ab，并求出满足41||10kkxx的近似根。如果要求近似根的误差4||10ke，最少应迭代几步？

12．写出求方程2lg7xx的最大根的保证收敛的不动点迭代格式，给出收敛的理由，并求出这个最大根，精确到41||10kkxx。