高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.2 一元二次不等式及其解法教学案 理 新人教A版-

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1 / 16 §7.2 一元二次不等式及其解法

最新考纲 考情考向分析

1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．

2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．

3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图. 以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想、分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．在高考中常以选择题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高.

一元二次不等式的解集

判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象

方程ax2＋bx＋c＝0

(a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1

ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|xx2} 错误! {x|x∈R}

ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x

概念方法微思考

1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集与其对应的函数y＝ax2＋bx＋c的图象有什么关系？

提示 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是其对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值X围．

2．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件是什么？ word 2 / 16 提示 显然a≠0.ax2＋bx＋c>0恒成立的条件是 a>0，Δ<0；ax2＋bx＋c<0恒成立的条件是 a<0，Δ<0.

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( √ )

(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( × )

(3)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.( × )

(4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．( √ )

题组二 教材改编

2．已知集合A＝{x|x2－x－6>0}，则∁RA等于( )

A．{x|－2

B．{x|－2≤x≤3}

C．{x|x<－2或x>3}

D．{x|x≤－2或x≥3}

答案 B

解析 ∵x2－x－6>0，∴(x＋2)(x－3)>0，∴x>3或x<－2，即A＝{x|x>3或x<－2}．在数轴上表示出集合A，如图所示．

由图可得∁RA＝{x|－2≤x≤3}．

故选B.

3．y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________________．

答案 －∞，1－73∪1＋73，＋∞

解析 由题意，得3x2－2x－2>0，

令3x2－2x－2＝0，得x1＝1－73，x2＝1＋73，

∴3x2－2x－2>0的解集为

－∞，1－73∪1＋73，＋∞. word

3 / 16 题组三

易错自纠

4．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示)

答案 (－4,1)

解析 由－x2－3x＋4>0可知，(x＋4)(x－1)<0，

得－4

5．若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是－12，13，则a＋b＝________.

答案 －14

解析 ∵x1＝－12，x2＝13是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，

∴ a4－b2＋2＝0，a9＋b3＋2＝0，解得 a＝－12，b＝－2，∴a＋b＝－14.

6．不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，对一切x∈R恒成立，则实数a的取值X围是________．

答案 (－2,2]

解析 当a－2≠0时，由 a－2<0，Δ<0，得－2

当a＝2时，原式化为－4<0，不等式恒成立，

∴－2

一元二次不等式的求解

命题点1 不含参的不等式

例1 (2019·某某模拟)已知集合A＝{x|x2－4x<5}，则下列选项中正确的是( )

A．－1.2∈AB．30.9∉A

C．log230∈AD．A∩N＝{1,2,3,4}

答案 C

解析 因为A＝{x|－1

命题点2 含参不等式

例2 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．

解 原不等式变为(ax－1)(x－1)<0， word

4 / 16 因为a>0，所以x－1a(x－1)<0.

所以当a>1时，解得1a

当a＝1时，解集为∅；

当0

综上，当0

当a＝1时，不等式的解集为∅；

当a>1时，不等式的解集为x 1a

思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论

(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．

(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．

(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．

跟踪训练1 (1)(2019·市海淀区期末)不等式x2＋2x－3<0的解集为( )

A．{x|x<－3或x>1}B．{x|x<－1或x>3}

C．{x|－1

答案 D

解析 由x2＋2x－3<0得(x＋3)(x－1)<0，解得－3

(2)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是x －12

答案 {x|x≥3或x≤2}

解析 由题意，知－12，－13是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a<0，

所以 －12＋－13＝ba，－12×－13＝－1a，解得 a＝－6，b＝5.

故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，

解得x≥3或x≤2.

(3)解不等式12x2－ax>a2(a∈R)．

解 原不等式可化为12x2－ax－a2>0，

即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0， word

5 / 16 解得x1＝－a4，x2＝a3.

当a>0时，不等式的解集为－∞，－a4∪a3，＋∞；

当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；

当a<0时，不等式的解集为－∞，a3∪－a4，＋∞.

一元二次不等式恒成立问题

命题点1 在R上的恒成立问题

例3 已知函数f (x)＝mx2－mx－1.若对于x∈R，f (x)<0恒成立，某某数m的取值X围．

解 当m＝0时，f (x)＝－1<0恒成立．

当m≠0时，则 m<0，Δ＝m2＋4m<0，即－4

综上，－4

命题点2 在给定区间上的恒成立问题

例4 已知函数f (x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f (x)<5－m恒成立，某某数m的取值X围．

解 要使f (x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，

即mx－122＋34m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．

有以下两种方法：

方法一 令g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1,3]．

当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，

所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，

所以m<67，所以0

当m＝0时，－6<0恒成立；

当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，

所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，

所以m<6，所以m<0.

综上所述，m的取值X围是m m<67.

方法二 因为x2－x＋1＝x－122＋34>0， word

6 / 16 又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<6x2－x＋1.

因为函数y＝6x2－x＋1＝6x－122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m<67即可．

所以m的取值X围是m m<67.

若将“f (x)<5－m恒成立”改为“f (x)<5－m无解”，如何求m的取值X围？

解 若f (x)<5－m无解，即f (x)≥5－m恒成立，

即m≥6x2－x＋1恒成立，

又x∈[1,3]时，6x2－x＋1max＝6，得m≥6，

即m的取值X围为[6，＋∞)．

若将“f (x)<5－m恒成立”改为“存在x，使f (x)<5－m成立”，如何求m的取值X围？

解 由题意知f (x)<5－m有解，

即m<6x2－x＋1有解，则m<6x2－x＋1max，

又x∈[1,3]，得m<6，即m的取值X围为(－∞，6)．

命题点3 给定参数X围的恒成立问题

例5 若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，某某数x的取值X围．

解 设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线，当m∈[1,2]时，图象为一条线段，

则 g1<0，g2<0，即 x2－x－1<0，2x2－2x－1<0，

解得1－32

故x的取值X围为1－32，1＋32.

思维升华 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的X围，谁就是主元，求谁的X围，谁就是参数．

跟踪训练2 函数f (x)＝x2＋ax＋3.

(1)若当x∈R时，f (x)≥a恒成立，某某数a的取值X围；

(2)若当x∈[－2,2]时，f (x)≥a恒成立，某某数a的取值X围；