高考数学一轮复习 第七章 不等式 推理与证明 73 二元

基本不等式

应用一：求最值

例：求下列函数的值域

（1）y＝3x 2＋12x 2 （2）y＝x＋1x

解：(1)y＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2 ＝6 ∴值域为[6 ，+∞）

(2)当x＞0时，y＝x＋1x ≥2x·1x ＝2；

当x＜0时， y＝x＋1x = －（－ x－1x ）≤－2x·1x =－2

∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

 解题技巧

技巧一：凑项

例 已知54x，求函数14245yxx的最大值。

解：因450x，所以首先要“调整”符号，又1(42)45xx不是常数，所以对42x要进行拆、凑项，

5,5404xx，11425434554yxxxx231

当且仅当15454xx，即1x时，上式等号成立，故当1x时，max1y。

技巧二：凑系数

例：

当时，求(82)yxx的最大值。

解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8xx为定值，故只需将(82)yxx凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号 当x＝2时，(82)yxx的最大值为8。

变式：设230x，求函数)23(4xxy的最大值。

解：∵230x∴023x∴2922322)23(22)23(42xxxxxxy

当且仅当,232xx即23,043x时等号成立。

技巧三： 分离、换元

例：求2710(1)1xxyxx的值域。

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当,即时,421)591yxx（（当且仅当x＝1时取“＝”号）。

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

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第7章 一元一次不等式与不等式组

1．不等式

用不等号连接起来的式子叫做不等式．

常见的不等号有五种： “≠”、 “>” 、 “<” 、 “≥”、 “≤”．

2．不等式的解与解集

不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．

不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集．

不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，

具体表示方法是:

①确定边界点。

解集包含边界点，是实心圆点；

不包含边界点，则是空心圆圈；

②确定方向：大向右，小向左。

说明：不等式的解与一元一次方程的解是有区别的，不等式的解是不确定的，

是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值．

3．不等式的基本性质

(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式．不等号的方向不变．

如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c.

(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．

如果a>b,并且c>0,那么ac>bc（或___abcc）

（3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

如果a>b,并且c<0,那么ac

不等式的对称性： 如果a>b，那么b

不等式同向传递性： 如果a>b，b>c,那么a>c

说明：常见不等式所表示的基本语言与含义还有：

①若a－b＞0，则a大于b ；

②若a－b＜0，则a小于b ；

③若a－b≥0，则a不小于b ；

④若a－b≤0，则a不大于b ； ⑤若ab＞0或0ab，则a、b同号；

⑥若ab＜0或0ab，则a、b异号。

任意两个实数a、b的大小关系：

①a-b>Oa>b； ②a-b=Oa=b； ③a-b

不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换;

但a＜b可转换为b＞a，c≥d可转换为d≤c。

4．一元一次不等式

只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．

2018年高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理

与证明 课时达标37 直接证明与间接证明 理

[解密考纲]对利用综合法、分析法、反证法证明数学命题常与数

列、解析几何、立体几何、函数综合在一起进行考查．

一、选择题

1．用反证法证明命题：若a＋b＋c为偶数，则“自然数a，b，c恰有

一个偶数”时正确反设为(　D　)

A．自然数a，b，c都是奇数

B．自然数a，b，c都是偶数

C．自然数a，b，c中至少有两个偶数

D．自然数a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数

解析：由于“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定是“自然

数a，b，c都是奇数或至少有两个偶数”，故选D．

2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设 a>b>c，且a＋b

＋c＝0，求证

A．a－b>0 B．a－c>0

C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0

解析：＜a⇔b2－ac＜3a2

⇔(a＋c)2－ac＜3a2

⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0

⇔－2a2＋ac＋c2＜0

⇔2a2－ac－c2＞0

⇔(a－c)(2a＋c)＞0

⇔(a－c)(a－b)＞0.

3．若 P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则 P，Q的大小关系是(　C　)

A．P>Q B．P＝Q

C．P

解析：不妨设P＜Q，∵要证P＜Q，只要证P2＜Q2，只要证2a＋7＋2＜2a＋7＋2·，

只要证a2＋7a＜a2＋7a＋12，

只要证0＜12，

∵0＜12成立，∴P＜Q成立．

4．要使－

A．ab<0且 a>b B．ab>0且a>b

C．ab<0且a0且a>b 或 ab<0且a

解析：要使－＜成立，

只要(－)3＜()3成立，

即a－b－3＋3＜a－b成立，

只要＜成立，

只要ab2＜a2b成立，

即要ab(b－a)＜0成立，

只要ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b成立．

5．已知a>b>0，且 ab＝1，若 0

的大小关系是(　B　)

A．p>q B．p

解析：∵＞ab＝1，∴p＝logc＜0.

又q＝logc2＝logc＞logc＝logc＞0，

经典教育资源

经典教育资源（一） §7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划

考纲解读

考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度

1.平面区域

问题 ①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组;

②了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组 理解 2016浙江,3;2016山东,4;

2015课标Ⅰ,15;2014课标Ⅰ,9 选择题

填空题 ★★★

2.线性规划

问题 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决 理解 2017课标全国Ⅱ,5;

2017课标全国Ⅰ,14;

2017课标全国Ⅲ,13;

2016课标全国Ⅲ,13 选择题

填空题 ★★★

分析解读 1.多考查线性目标函数的最值问题,兼顾面积、距离、斜率等问题.2.能用线性规划的方法解决重要的实际问题,使收到的效益最大,耗费的人力、物力资源最少等.3.应重视数形结合的思想方法.4.本节在高考中主要考查与平面区域有关的范围、距离等问题以及线性规划问题,分值约为5分,属中低档题.

五年高考

考点一 平面区域问题

1.(2016山东,4,5分)若变量x,y满足则x2+y2的最大值是( )

A.4 B.9 C.10 D.12

答案 C

2.(2016浙江,3,5分)在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=( )

A.2 B.4 C.3 D.6

答案 C

3.(2014课标Ⅰ,9,5分)不等式组的解集记为D.有下面四个命题:

p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,

p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2,

p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3,

p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.

其中的真命题是( )

A.p2,p3 B.p1,p2 C.p1,p4 D.p1,p3

答案 B

4.(2015课标Ⅰ,15,5分)若x,y满足约束条件则的最大值为 .