必修1第二章基本初等函数数学：2.3《幂函数》教案(新人教A必修1)

1 §2.3.1幂函数

一．教学目标：

1．知识技能

（1）理解幂函数的概念；

（2）结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质;

(3)通过观察、总结幂函数的性质，培养概括抽象和识图

能力；进一步体会数形结合的思想。

2．过程与方法

类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研究幂函数的图象和性质.

3．情感、态度、价值观

（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；

（2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.

二．教学重难点

重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质

难点：从幂函数的图象中概括其性质

三.教学准备

（1）学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质 ;

（2）教学用具：多媒体

四．教学过程：

【引入新知】

阅读教材P77的具体实例（1）~（5），思考下列问题.

思考：以上各题目的函数关系分别是什么？具有什么共同特征？

让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论：

【课堂探究】

比较下列两组函数有什么区别？ xy 2

1、上述的问题涉及到的函数，都是形如：yx，其中x是自变量，是常数.

思考：

（1）你学过的函数中哪些是幂函数？

（2）一次函数、二次函数都是幂函数吗？

注意：幂函数解析式的结构特征？

3

在同一坐标系中分别作出如下函数的图象：

观察图象，说一说它们有什么共同特征？

结论：

在第一象限内，当a>0时，图象随x增大而上升

当a<0时，图象随x增大而下降

共同特征： 4

【课堂训练】

例1、下列函数中，哪几个函数是幂函数

点评：幂函数的解析式的形式，特征可归纳为“两个系数为１，只有１项。”

例2．证明幂函数()[0,]fxx在上是增函数

1 §2.4 幂函数与二次函数

最新考纲

考情考向分析

1.了解幂函数的概念．

2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝12x的图象，了解它们的变化情况．

3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质．

4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度.

1．幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．

(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较

函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝12x y＝x－1

图象

性

质 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}

值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数

单调性 在R上单调递增 在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减

公共点 (1,1)

2 2．二次函数的图象和性质

解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)

图象

定义域 R R

值域 4ac－b24a，＋∞ －∞，4ac－b24a

单调性 在x∈－∞，－b2a上单调递减；

在x∈－b2a，＋∞上单调递增 在x∈－∞，－b2a上单调递增；

在x∈－b2a，＋∞上单调递减

对称性 函数的图象关于直线x＝－b2a对称

概念方法微思考

1．二次函数的解析式有哪些常用形式？

提示 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

(2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)；

2.3 幂函数

预习课本P77～78，思考并完成以下问题

(1)幂函数是如何定义的？

(2)幂函数的解析式具有什么特点？

(3)常见幂函数的图象是什么？它具有哪些性质？

[新知初探]

1．幂函数的概念

函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

[点睛] 幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．

2．常见幂函数的图象与性质

解析式 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝1x y＝x12

图象

定义域 R R R {x|x≠0} [0，＋∞)

值域 R [0，＋∞) R {y|y≠0} [0，＋∞)

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数

解析式 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝1x y＝x12

单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减 在[0，＋∞)上单调递增

定点 (1,1)

[点睛] 幂函数在区间(0，＋∞)上，当α>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数．

[小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝x0(x≠0)是幂函数． ( )

(2)幂函数的图象必过点(0,0)(1,1)． ( )

(3)幂函数的图象都不过第二、四象限． ( )

答案：(1)√ (2)× (3)×

2．下列函数中不是幂函数的是( )

A．y＝x B．y＝x3

C．y＝2x D．y＝x－1

答案：C

3．已知f(x)＝(m－1)x22mm＋是幂函数，则m＝( )

A．2 B．1

描述：

例题：高中数学必修1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案

第二章 基本初等函数（I） 2.3 幂函数

一、学习任务

了解幂函数的概念；结合函数 ，，，， 的图象，了解幂函数

的图象变化情况．

二、知识清单

幂函数及其性质 函数不等式的解法

三、知识讲解

1.幂函数及其性质

一般地，形如 的函数叫做幂函数（power function），其中 是自变量， 是常数．

图象

定义域

幂函数的定义域都包含 ．

性质

① 幂函数的图象都通过点 ；

② 当 是奇数时，函数 是奇函数；当 是偶数时，函数 是偶函数；

③ 当 时，函数 在 上是单调递增函数；当 时，函数 在

上是单调递减函数；

④ 在第一象限内，当 时，函数 的图象向上与 轴无限接近，向右与 轴无限

接近．y=xy=x2

y＝x3

y=1

xy=x1

2

y=xaxa

(0,+∞)

(1,1)

ay=xaay=xa

a>0y=xa(0,+∞)a<0y=xa

(0,+∞)

a<0y=xayx

幂函数 的图象过点 ，那么 的值为______．

解：．f(x)(4,)1

2f(8)

2√

4．

设 ，则 ，所以 ．故

．

4

f(x)=xαf(4)==4α1

2α=−1

2f(8)==8−1

22√

4

已知 是幂函数，求 的值．

解：因为 是幂函数，所以

解得

所以y=(+2m−2)+2n−3m2

x1

−1m2m,n

y=(+2m−2)+2n−3m2

x1

−1m2

⎧

⎩⎨+2m−2=1,m2

−1≠0,m2

2n−3=0,

⎧

⎩⎨m=−3,

n=,3

2

⎧

⎩⎨m=−3,

n=.3

2

（1）给定一组函数解析式：① ；② ；③ ；④ ；⑤

；⑥ ；⑦，及下图中的一组函数图象，请把图象对应的解析式序号填在

图象下面的括号内．

解：⑥④③②⑦①⑤y=x3

4y=x2

3y=x−3

2y=x−2

3

y=x3

2y=x−1

3y=x1

3

1

描述：

例题：2.函数不等式的解法

函数不等式的解法

若 为增函数，且对于定义域内的两个数 、 ，满足 成立，则

．若

为减函数，且对于定义域内的两个数