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人教版高中数学必修一《基本初等函数》之《幂函数》教学学案

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2.3 幂函数

三维目标定向

〖知识与技能〗

（1）了解幂函数的概念；

（2）会画函数21132,,,,xyxyxyxyxy的图象，并了解它们的变化情况。

〖过程与方法〗

通过画21132,,,,xyxyxyxyxy的图象，由特殊到一般，归纳出幂函数的图象和性质。

〖情感、态度与价值观〗

通过大量实例，感受幂函数的概念，体会幂函数在客观现实中的应用，学会应用数学的方法，形成一定的数学应用意识。

教学重难点：幂函数的图象和性质。

教学过程设计

一、实例剖析

引例：（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，那么她需要支付y = 元；

（2）如果正方形的边长为x，那么正方形的面积y = ；

（3）如果立方体的边长为x，那么立方体的体积y = ；

（4）如果一个正方形场地的面积为x，那么这个正方形的边长为y = ；

（5）如果某人x s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度y = km / s。

问题：以上函数具有什么共同特征？

共同特征：函数解析式是幂的形式，且指数是常数，底数是自变量。

二、幂函数的图象和性质

（一）定义：函数xy叫做幂函数。（其中x为自变量，α为常数） 探究1：你能指几个学过的幂函数的例子吗？

探究2：你能说出幂函数与指数函数的区别吗？

式子 名称

a x

y

指数函数：xya 底数 指数 幂值

幂函数：ayx 指数 底数 幂值

探究3：如何判断一个函数是幂函数还是指数函数？

看看自变量x是指数（指数函数）还是底数（幂函数）。

练习：1、下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？

（1）21yx；（2）22yx；（3）2yxx；（4）53yx；（5）2xy。

2、已知幂函数y = f (x)的图象经过点（3 ，3），求这个函数的解析式。

3、如果函数2()(1)mfxmmx是幂函数，求实数m的值。

（二）幂函数性质的探究：

对于幂函数，我们只讨论21,1,3,2,1时的情况，

即：21132,,,,xyxyxyxyxy

探究4：结合前面指数函数与对数函数的方法，我们应如何研究幂函数呢？

作具体幂函数的图象 → 观察图象特征 → 总结函数性质 探究5：在同一平面直角坐标系内作出幂函数21132,,,,xyxyxyxyxy的图象：

探究6：性质：

xy 2xy 3xy 21xy 1xy

定义域 R R R ),0[ }0|{xx

值域 R ),0[ R ),0[ }0|{yy

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数

单调性 增函数 ),0[增

]0,(减 增函数 ),0[增 )0,(，),0(减

公共点 （1，1）

三、例题

例1：证明幂函数xxf)(在),0[上是增函数。

（备用）例2：在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v（单位：cm3 / s）与管道半径r（单位：cm）的四次方成正比。

（1）写出气流速率v关于管道半径r的函数解析式；

（2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为400 cm3 / s ，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式；

（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率。

四、练习：P79，习题2.3。 幂函数

一．教学目标：

1．知识技能

（1）理解幂函数的概念；

（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用.

2．过程与方法

类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的图象和性质.

3．情感、态度、价值观

（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；

（2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.

二．重点、难点

重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质

难点：从幂函数的图象中概括其性质

5．学法与教具

（1）学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质 ;

（2）教学用具：多媒体

三．教学过程：

引入新知

阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列问题.

（1）它们的对应法则分别是什么？

（2）以上问题中的函数有什么共同特征？

让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论

答：1、（1）乘以1 （2）求平方 （3）求立方

（4）求算术平方根 （5）求－1次方

2、上述的问题涉及到的函数，都是形如：yx，其中x是自变量，是常数.

探究新知

1．幂函数的定义

一般地，形如yx（xR）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，是常数.

如11234,,yxyxyx等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.

2．研究函数的图像

（1）yx （2）12yx （3）2yx （4）1yx （5）3yx

一．提问：如何画出以上五个函数图像

引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像.

42-2-4-6-8-10-551015

让学生通过观察图像，分组讨论，探究幂函数的性质和图像的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数，对函数的方法研究幂函数的性质.

通过观察图像，填P91探究中的表格

yx 2yx 3yx 12yx 1yx

定义域 R R R |0xx |0xx

奇偶性 奇 奇 奇 非奇非偶 奇

在第Ⅰ象限单调增减性 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递减

定点 （1，1） （1，1） （1，1） （1，1） （1，1）

3．幂函数性质

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x）；

（2）x＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）. yx

12yx2yx

y=x3

y=x-1

0 特别地，当x＞1，x＞1时，x∈（0，1），2yx的图象都在yx图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）

当∠α＜1时，x∈（0，1），2yx的图象都在yx的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）

（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.

在第一家限内，当x向原点靠近时，图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴，当x慢慢地变大时，图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴.

例题：

1．证明幂函数()[0,]fxx在上是增函数

证：任取121,[0,),xxx且＜2x则

1212()()fxfxxx

=121212()()xxxxxx

=1212xxxx

因12xx＜0，12xx＞0

所以12()()fxfx，即()[0,]fxx在上是增函数.

思考：

我们知道，若12()()0,1()fxyfxfx若得12()()fxfx，你能否用这种作比的方法来证明()[0,]fxx在上是增函数，利用这种方法需要注意些什么？

2．利用函数的性质 ，判断下列两个值的大小

（1）11662,3 （2）3322(1),(0)xxx （3）22244(4),4a

分析：利用幂函数的单调性来比较大小.

5．课堂练习 画出23yx的大致图象，并求出其定义域、奇偶性，并判断和证明其单调性.

6．归纳小结：提问方式

（1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？

（2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？

作业：P92 习题 2.3 第2、3 题

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新人教A版必修1《幂函数》教案

新人教A版必修1《幂函数》教案

新人教A版必修1《幂函数》教案

一、教学内容

新人教A版必修1《幂函数》教案，本节课主要依据教材第二章第二节内容进行设计。教学内容包括：

1. 幂函数的定义与性质

- 幂函数的一般形式：f(x) = x^a（a为常数）

- 幂函数的性质：单调性、奇偶性、过定点等

2. 常见幂函数的图像与性质

- 正比例函数、反比例函数、二次函数、三次函数的图像与性质

3. 幂函数的应用

- 解决实际问题，如计算面积、体积等

- 探究幂函数在数学竞赛中的应用

本节课旨在帮助学生掌握幂函数的定义、性质，学会绘制常见幂函数的图像，并能运用幂函数解决实际问题。同时，通过本节课的学习，培养学生的观察能力、逻辑思维能力和数学应用意识。

二、核心素养目标

新人教A版必修1《幂函数》教案，本章节核心素养目标如下：

1. 理解与运用：通过幂函数的学习，使学生理解函数的概念及其表达方式，掌握幂函数的定义、性质，并能运用幂函数解决实际问题，提高数学建模能力。

2. 探索与分析：培养学生通过观察、分析幂函数图像，发现幂函数性质的能力，提高学生数形结合的思维能力。

3. 逻辑推理：引导学生运用定义和性质进行推理，证明幂函数的相关性质，培养逻辑推理能力和数学论证素养。

4. 数学抽象：帮助学生从具体实例中抽象出幂函数的一般规律，培养学生的数学抽象思维。

三、教学难点与重点

1. 教学重点

- 核心内容一：幂函数的定义及其一般形式

- 重点讲解幂函数的一般形式f(x) = x^a，强调a为常数的特点。

- 通过实例展示，让学生理解不同a值对应的幂函数图形差异。

- 核心内容二：幂函数的性质

- 强调幂函数的单调性、奇偶性、过定点等性质。

- 结合具体幂函数，如f(x) = x^2、f(x) = x^3等，讲解其性质并举例说明。

- 核心内容三：常见幂函数的图像与性质

- 详细分析正比例函数、反比例函数、二次函数、三次函数的图像及其性质。

- 引导学生观察图像，总结性质，并能运用性质解决相关问题。

高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.3 幂函数学案 新

高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.3 幂函数学案 新

2.3 幂函数

预习课本P77～78，思考并完成以下问题

(1)幂函数是如何定义的？

(2)幂函数的解析式具有什么特点？

(3)常见幂函数的图象是什么？它具有哪些性质？

[新知初探]

1．幂函数的概念

函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

[点睛] 幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．

2．常见幂函数的图象与性质

解析式 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝1x y＝x12

图象

定义域 R R R {x|x≠0} [0，＋∞)

值域 R [0，＋∞) R {y|y≠0} [0，＋∞)

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数

解析式 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝1x y＝x12

单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减 在[0，＋∞)上单调递增

定点 (1,1)

[点睛] 幂函数在区间(0，＋∞)上，当α>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数．

[小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝x0(x≠0)是幂函数． ( )

(2)幂函数的图象必过点(0,0)(1,1)． ( )

(3)幂函数的图象都不过第二、四象限． ( )

答案：(1)√ (2)× (3)×

2．下列函数中不是幂函数的是( )

A．y＝x B．y＝x3

C．y＝2x D．y＝x－1

答案：C

3．已知f(x)＝(m－1)x22mm＋是幂函数，则m＝( )

A．2 B．1

《幂函数》教学案例与反思

《幂函数》教学案例与反思

《2.3幂函数》教学案例

遵义四中 石偲星

1.教学设计

1.1教材的地位和作用

《2.3幂函数》是继指数函数和对数函数后学习的另一个基本函数。幂函数出现在必修一第二章第三节，是基本初等函数之一，是在学生系统学习了函数概念与函数性质之后，进入高中以来遇到的第三种特殊函数，是对函数概念及性质的应用，能培养学生应用性质（定义域，值域，图象，单调性，奇偶性）研究一个函数的意识。本节课从概念到图象，通过探究归纳出幂函数的性质，让学生再次体会利用信息技术来探索函数的图象和性质，从教材整体安排上来看，学习幂函数是为了让学生进一步了解研究函数的方法，学会利用这种方法去研究其他函数。因而本节课更是对学生研究函数方法和能力的一个综合提升。

1.2教学目标

1.2.1基础知识目标

（1）理解幂函数的概念，会画幂函数21132,,,,xyxyxyxyxy的图象，结合这几个幂函数的图象，掌握幂函数的图象变化和性质；

（2）能应用幂函数性质解决简单问题。

1.2.2能力训练目标

（1）通过观察总结幂函数性质，培养学生抽象概括、逻辑推理和识图能力；

（2）使学生进一步体会数形结合思想。

1.3教学重、难点

重点：本节的教学重点是从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质。

难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难。

突破难点：引导学生观察图象，从图象特点入手，观察单调性奇偶性。

1.4学情分析

学生学过了一次函数，二次函数，正、反比例函数，指数函数和对数函数，知道了他们的图象和性质，用性质解决一些简单问题也有了一定的基础，为学习幂函数做好了准备，但由于幂函数性质较复杂，学生需要一定的综合分析能力，所以在教学中重视学生自己动手操作、观察分析发现的过程。我所教的班级是遵义四中高一（23）班，总体学习程度在中等，根据学生的学情，本节课我重在基础，难度上适当适中。

人教版高中数学必修一《基本初等函数》之《幂函数》表格式教案

人教版高中数学必修一《基本初等函数》之《幂函数》表格式教案

§2.3幂函数（教案）

教材分析：

幂函数是函数的重要内容之一，新课程标准将其列为基本初等函数之一，并与

指数函数、对数函数安排在一起。新课程标准对幂函数提出了明确的要求：

（1）通过实例，了解幂函数的概念；结合函数xy；21xy；2xy；1xy；3xy的图像，了解它们的变化情况。

（2）利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异。

（3）收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。

上面的表述中，可以看出：指数函数、对数函数、幂函数三类不同函数的增长变化是认识的核心。所以幂函数教学必须分两个层次来进行，一是幂函数概念及其简单性质，二是函数模型的应用。本节课为前一层次。

所以幂函数的教学要求不能过高，也不能太低，必须体现以下三点：

（1） 通过实例，了解幂函数的概念；

（2） 结合函数xy；21xy；2xy；1xy；3xy的图像，了解它们的变化情况。

（3） 与指数函数、对数函数的性质比较，概括yx在第一象限的简单性质。

其中（1）和（2）在新课标中已经明确指出，（3）作为培养学生概括能力目标，课本的复习与小结中也有涉及。

前面已经学习了指数函数、对数函数，得到了教系统的函数知识和研究函数的方法，

通过本节的幂函数学习，使函数内容的学习再一次得到广泛的回顾和整理，可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识。在各种数学思想方法的领悟、应用上也得到一次提高。

学情分析：本班的学生为普通校的平行班的学生，学生的数学基础，理解能力，运算能力、思维能力一般，但是通过前面的指数函数，对数函数的学习来看，学生通过数形结合来学习，学生还是有强烈的求知欲望，所以除了课标的要求外，还是酌情补充了概括yx在第一象限的简单性质。

学法指导

1、针对以上情况，在教学中，我注意面向全体，发挥学生的主体性，引导学生积极地观察问题，分析问题，激发学生的求知欲和学习积极性，指导学生积极思维，主动获取知识，养成良好的学习方法，并逐步学会独立提出问题，解决问题。总之，调动学生的非智力因素来促进智力因素的发展，引导学生积极开动脑筋，思考问题和解决问题，从而发挥钻研精神，勇于探索创新。