2017-2018学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级(上)开学数学试卷 解析版
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2017-2018学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（每小题3分，共39分）
1．（3分）在下列图形中，是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）将抛物线y＝（x+2）2﹣3如何平移得到y＝x2的图象（ ）
A．向右平移2个单位，再向上平移3个单位
B．向左平移2个单位，再向上平移3个单位
C．向左平移2个单位，再向下平移3个单位
D．向右平移2个单位，再向下平移3个单位
3．（3分）如图，将五角星绕中心O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（ ）
A．72° B．108° C．144° D．216
4．（3分）如图，已知圆锥的高为4，底面圆的直径为6，则此圆锥的侧面积是（ ）
A．12π B．15π C．20π D．30π
5．（3分）如图，△BC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B，如果∠C＝26°，那么∠A等于（ ）
A．26° B．38° C．48° D．52°
6．（3分）如图，∠ACB＝90°，∠B＝46°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC与A′B′交于点O，则∠COA′的度数是（ ）
A．44° B．46° C．48° D．50°
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠ADC＝30°，OA＝1，则BC的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．2
8．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过A（﹣2，0），B（4，0），C（﹣3，y1），D（3，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＝y2 B．y1＜y2 C．y1＞y2 D．不能确定
9．（3分）圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2：5：7，则∠D的度数为（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120°
10．（3分）关于x的二次函数y＝（a﹣3）x2+bx+a2﹣9的图象过原点，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．0
11．（3分）如图，四边形ABCD各边与⊙O相切，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），有下列命题：
①abc＞0；②a：b：c＝1：2：3；③b2﹣4ac＞0；④8a+c＞0，
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．（3分）如图，正六边形ABCDEF的中心为原点O，点D的坐标为（2，0），则点B的坐标为
．
14．（3分）如图，AB是O的直径，C，D，E是⊙O上不同于A，B的任意三点，且点C，D处在AB同一侧，点E处在AB另一侧，则∠C+∠D＝ ．
15．（3分）已知抛物线y＝x2+（m2﹣4m）x+3关于y轴对称，则m＝
． 16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，连接CC′，若AC＝4，AB＝1，则△B′C′C的面积为
．
17．（3分）当﹣1≤x≤3时，函数y＝x2﹣4x+3的最小值为a，最大值为b，则a+b＝
．
18．（3分）如图，∠ACB＝60°，半径为3cm的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离是
cm．
三、解答题（共66分）
19．（6分）如图，有一座圆弧形拱桥，拱的跨度AB＝8m，拱高CD＝2m，求拱形所在圆的直径．
20．（8分）如图，△ABC的顶点分别为A（2，1），B（4，4），C（1，3）．
（1）画出△ABC关于原点O对称的图形△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
21．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝3时，y有最小值﹣4，且图象经过点（﹣1，12）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）该抛物线交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，在抛物线对称轴上有一动点P，求PA+PC的最小值，并求当PA+PC取最小值时点P的坐标．
22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO＝∠D；
（2）若CD＝2，AE＝1，求劣弧BD的长．
23．（8分）已知二次函数y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2，其中a是常数．
（1）求证：不论a为何值，抛物线y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2与x轴一定有交点；
（2）若抛物线y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2的图象如图所示，请直接写出不等式x2﹣（a﹣l）x+a﹣2＜0的解集；
（3）在（2）的条件下，若关于x的方程x2﹣（a﹣1）x+a﹣2＝k恰有两个相等的实数根，求k的值．
24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点D是弧BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线，交AD的延长线于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若BF＝1，⊙O的半径为1，求DF的长．
25．（10分）某水产养殖户一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售，已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元：放养20天的总成本为30.8万元（总成本＝放养总费用+收购成本）．
（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；
（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为mkg，销售单价为y元/kg，已知m与t的函数关系为m＝，y与t的函数关系如图所示，请分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出W的最大值．（利润＝销售总额﹣总成本）
26．（10分）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（12，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴的负半轴交于点C，抛物线经过A，B，C三点，其顶点为M．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设点D是抛物线与⊙P的第四个交点（除A，B，C三点以外），判断直线MD与⊙P的位置关系，并说明理由；
（3）点E是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A，D，E，F四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点的坐标；如果不存在，请说明理由．
2017-2018学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共39分）
1．（3分）在下列图形中，是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：是中心对称图形的有第1、2、3个图形，
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）将抛物线y＝（x+2）2﹣3如何平移得到y＝x2的图象（ ）
A．向右平移2个单位，再向上平移3个单位
B．向左平移2个单位，再向上平移3个单位
C．向左平移2个单位，再向下平移3个单位
D．向右平移2个单位，再向下平移3个单位
【分析】分别写出两抛物线的顶点坐标，然后利用点平移的规律确定抛物线的平移规律．
【解答】解：抛物线y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，﹣3），抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），把点（﹣2，﹣3）先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点（0，0），
所以把抛物线y＝（x+2）2﹣3先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到抛物线y＝x2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
3．（3分）如图，将五角星绕中心O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（ ）
A．72° B．108° C．144° D．216
【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．
【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而A、C、D都正确，不能与其自身重合的是B．
故选：B．
【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
4．（3分）如图，已知圆锥的高为4，底面圆的直径为6，则此圆锥的侧面积是（ ）
A．12π B．15π C．20π D．30π
【分析】在由母线、底面圆的半径和圆锥的高组成的直角三角形中，利用勾股定理计算出母线长，再根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用扇形的面积公式计算即可得到圆锥的侧面积．
【解答】解：∵底面圆的直径为6，
∴底面圆的半径为3，
而高为4，
∴圆锥的母线长＝＝5， ∴圆锥的侧面积＝•2π•3•5＝15π．
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长；也考查了扇形的面积公式：S＝lR（l为弧长，R为扇形的半径）以及勾股定理．
5．（3分）如图，△BC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B，如果∠C＝26°，那么∠A等于（ ）
A．26° B．38° C．48° D．52°
【分析】连接OB，由切线的性质可求得∠AOB，再由圆周角定理可求得∠A．
【解答】解：
如图，连接OB，
∵AB与⊙O相切，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵OB＝OC，∠C＝26°，
∴∠OBC＝∠C＝26°，
∴∠COB＝180°﹣26°﹣26°＝128°，
∴∠A＝128°﹣90°＝38°，
故选：B．
【点评】本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键．
6．（3分）如图，∠ACB＝90°，∠B＝46°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC与A′B′交于点O，则∠COA′的度数是（ ）
