专升本高数知识点汇总
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专升本⾼数知识点汇总
第⼀讲 函数、极限、连续1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。
2、函数的性质，奇偶性、有界性 奇函数：，图像关于原点对称。 偶函数：
，图像关于y 轴对称3、⽆穷⼩量、⽆穷⼤量、阶的⽐较
设是⾃变量同⼀变化过程中的两个⽆穷⼩量，则
（1）若，则是⽐⾼阶的⽆穷⼩量。 （2）若（不为0），则与是同阶⽆穷⼩量 特别地，若，则与是等价⽆穷⼩量 （3）若，则与是低阶⽆穷⼩量 记忆⽅法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领⾼。 4、两个重要极限 （1）
使⽤⽅法：拼凑 ，⼀定保证拼凑sin 后⾯和分母保持⼀致
（2）
使⽤⽅法1后⾯⼀定是⼀个⽆穷⼩量并且和指数互为倒数，不满⾜条件得拼凑。)()(x f x f -=-)()(x f x f =-βα，0=β
α
lim αβc β
α
=lim
αβ1=β
α
lim αβ∞=β
α
lim
αβ100==→→x
x
x x x x sin lim sin lim
[][
][][][][]
00
==→→sin lim sin lim
e x x x x x
x =+=
+→∞→1
0111)(lim lim [][][]e =+→1
1)(lim5、
的最⾼次幂是n,的最⾼次幂是m.,只⽐较最⾼次幂，谁的次幂⾼，谁的头⼤，趋向于⽆穷
⼤的速度快。,以相同的⽐例趋向于⽆穷⼤；，分母以更快的速度趋向于⽆穷⼤；，分⼦以更快的速度趋向于⽆穷⼤。 7、左右极限
左极限： 右极限：
注：此条件主要应⽤在分段函数分段点处的极限求解。 8、连续、间断 连续的定义：
或
间断：使得连续定义⽆法成⽴的三种情况
记忆⽅法：1、右边不存在 2、左边不存在 3、左右都存在，但不相等9、间断点类型
（1）、第⼆类间断点：、⾄少有⼀个不存在
（2）、第⼀类间断点：、都存在
注：在应⽤时，先判断是不是“第⼆类间断点”，左右只要有⼀个不存在，就是“第⼆类”然后再判断是
不是第⼀类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃” 10、闭区间上连续函数的性质()() ?
>∞<==∞→m n m n m n b
a X Q x P m
n x ,,,lim 00
()x P n ()x Q m m n =m n A x f x x =-
→)(lim 0
A x f x x =+
→)(lim 0
A x f x f A x f x x x x x
x ===+
-
→→→)(lim )(lim )(lim 000
充分必要条件是[]0)()(lim lim 000=-?+=?→?→?x f x x f y x x )()(lim
00
x f x f x x =→)()(lim
00
x f x f x x =→
≠→→)()(lim )(lim )()(00
00
0x f x f x f x f x f x x xx 不存在⽆意义
不存在，)(lim 0x f x x -
→)(lim 0x f x x +
→)(lim 0
x f x x -
→)(lim 0x f x x +
→??
≠=+
-
+
-
→→→→)(lim )(lim )(lim )(lim 000
x f x f x f x f x x x x x
x x x 跳跃间断点：可去间断点：
（1） 最值定理：如果在上连续，则在上必有最⼤值最⼩值。 （2）
零点定理：如果
在上连续，且，则在内⾄少存在⼀点，使得
1、 罗尔定理
如果函数满⾜：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间（a,b ）内可导；（3），
则在(a,b)内⾄少存在⼀点，使得
2、 拉格朗⽇定理
如果满⾜（1）在闭区间上连续
（2）在开区间（a,b ）内可导； 则在(a,b)内⾄少存在⼀点，使得
（*）推论1 ：如果函数在闭区间上连续，在开区间（a,b ）内可导，且，
那么在内=C 恒为常数。
)(x f []b a ,)(x f []b a ,ξ
)(x f []b a ,0)()(
=[]b a ,)()(b f a f =ξ0)(='ξf )(x f y
=[]b a ,ξab a f b f f --=
')
()()(ξ)(x f y =[]b a ,0)(≡'x f ),(b a )(x f
记忆⽅法：只有常量函数在每⼀点的切线斜率都为0。 （*）推论2：如果
在
上连续，在开区间内可导，且，那么
3、
驻点
满⾜
的点，称为函数的驻点。
⼏何意义：切线斜率为0的点，过此点切线为⽔平线 4、极值的概念
设在点的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任⼀点x,有，则称为
函数的极⼤值，称为极⼤值点。
设
在点的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任⼀点x,有，则称为
函数的极⼩值，称为极⼩值点。
记忆⽅法：在图像上，波峰的顶点为极⼤值，波⾕的⾕底为极⼩值。5、 拐点的概念连续曲线上，凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点，称为曲线的拐点。
注是拐点6、 单调性的判定定理
设
在内可导，如果 如果
，则在内单调减少。
记忆⽅法：在图像上凡是和右⼿向上趋势吻合的，是单调增加，
；
在图像上凡是和左⼿向上趋势吻合的，是单调减少，；7、 取得极值的必要条件
可导函数
在点处取得极值的必要条件是8、 取得极值的充分条件
)
(),(x g x f []b a ,)
,(b a ),(),()(b a x x g x f ∈'≡'c x g x f +=)()(0)(='x f )(x f )(x f 0x )()(0x f x f <)(0x f )(x f 0x )(x f 0x )()(0x f x f >)(0x f )(x f 0x 3x y =)(x f),(b a )(>'x f 0)(<'x f )(x f ),(b a 0)(>'x f 0)(<'x f )(x f 0x 0)(0='x f
第⼀充分条件：
设在点的某空⼼邻域内可导，且在处连续，则
（1）如果时，; ,那么在处取得极⼤值；
（2）如果时，，那么在处取得极⼩值；
（3）
如果在点在处没有取得极值；
记忆⽅法：在脑海⾥只需记三副图，波峰的顶点为极⼤值，波⾕的⾕底为极⼩值。
第⼆充分条件：
设函数在点的某邻域内具有⼀阶、⼆阶导数，且，
则（1）如果，那么在处取得极⼤值；
（2）如果，那么在处取得极⼩值9、凹凸性的判定
设函数在内具有⼆阶导数，（1）如果，那么曲线在内凹的；（2）如果，那么在内凸的。10、渐近线的概念
曲线在伸向⽆穷远处时，能够逐步逼近的直线，称为曲线的渐近线。
（1）⽔平渐近线：若,则有⽔平渐近线(2) 垂直渐近线：若存在点，，则有垂直渐近线
)
(xf
x)
(x
f
x
x
x<0
)
(>
'x
f0
)
(
<
'
>x
f
x
x时，)
(x
f
x)
(
x
f
x
x
)
(>
'x)
(x
f
x)
(
xf
x)x
x
)
(x
f
x0
)
(
=
'x
f0
)
(
≠
''x
f
)
(
<
''x
f)
(x
f
x)
(
x
f
)
(
>
''x
f)
(x
fx)
(
x
f
)
(x
f)
,
(b
a)
,
(
,0
)
(b
a
x
x
f∈
>
'')
(x
f)
,
(b
a
)
,
(
,0
)
(b
a
x
xf∈
<
'')
(x
f)
,
(b
a
)
(x
f
A
x
f
x
=
∞
→
)
(
lim)
(x
f
y=A
y=
x∞
=
∞
→
)
(
lim x
f
x
)(x
f
y=
x
x=
（2） 求斜渐近线：若，则为其斜渐近线。
11、
遇到“” 、“”，就分⼦分母分别求导，直⾄求出极限。
如果遇到幂指函数，需⽤
把函数变成“” 、“”。
第⼆讲 导数与微分1、 导数的定义
（1）、
（2）、
（3）、
注：使⽤时务必保证后⾯和分母保持⼀致，不⼀致就拼凑。 2、 导数⼏何意义：
在处切线斜率
法线表⽰垂直于切线，法线斜率与
乘积为—13、 导数的公式，记忆的时候不仅要从左到右记忆，还要从右到左记忆。
4、 求导⽅法总结
[]b ax x f a x
x f x x =-=∞
→∞
→)(lim ,)
(lim b ax y +=0
∞∞)(ln )(x f e x f =0
∞∞[]0)()(lim lim )(000
0=-?+=?='→?→?x f x x f y x f x x h
x f h x f x f h )
()(lim
