弧度制

弧度制

弧度制的定义

等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度。用弧度作单位来度量角的制度叫做弧度制。

以已知角a的顶点为圆心，以任意值R为半径作圆弧，则a角所对的弧长与R之比是一个定值﹝与R无关﹞，我们称L=R时的正角为1弧度的角。以1弧度角为量角大小的单位，称此度量制为弧度制，以示与角的另一种度量制──角度制区别。

弧度制的特点

任意一个角一边所对应的射线，逆时针旋转所形成的角称为正角；顺时针转动所形成的角称为负角；射线未作任何旋转，仍留在原来位置，那么我们也把它看成一个角，叫做零角.

无论采用角度制或弧度制，都能使角的集合与实数集合R存在一一对应关系：每一个角都对应唯一的一个实数。

正角的弧度值是一个正量（正实数），负角的弧度值是一个负量（负实数），零角的弧度值是零.

弧度制的基本思想

弧度制的基本思想是使圆半径与圆周长有同一度量单位，然后用对应的弧长与圆半径之比来度量角度，这一思想的雏型起源于印度。印度著名数学家阿利耶毗陀﹝476？-550？﹞定圆周长为21600分，相度地定圆半径为3438分﹝即取圆周率π3.142﹞，但阿利耶毗陀没有明确提出弧度制这个概念。严格的弧度概念是由瑞士数学家欧拉﹝1707-1783﹞于1748年引入。欧拉与阿利耶毗陀不同，先定半径为1个单位，那么半圆的弧长为π，此时的正弦值为0，就记为sinπ= 0，同理，1/4圆周的弧长为π/2，此时的正弦为1，记为sin(π/2)=1。从而确立了用π、π/2分别表示半圆及1/4圆弧所对的中心角。其它的角也可依此类推。

弧度制的精髓

弧度制的精髓就在于统一了度量弧与半径的单位，从而大大简化了有关公式及运算，尤其在高等数学中，其优点就格外明显。

1弧度的大小

一弧度的角：等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

1弧度约等于57.3°

大约是57°17′45″

1.1.2弧度制

高三数学 张月轻

一.教学任务分析

1.通过类比引出弧度制，给出1弧度的定义.

2.通过探究得到弧度数的绝对值公式.并得出角度与弧度的换算方法.

3.通过例题和练习，巩固所学概念和公式.弧度制与角度制对比，认识引入弧度制的必要性.

二．教学重点、难点

重点：理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．

难点：1弧度角的含义．

三．教学基本流程

四．教学情境设计

问题 设计意图 师生活动 日常生活中，度量长度可用不同的单位，如：一张课桌长80厘米，也可说长0.8米，显然两种结果出现了不同的数值，那是因为它们使用了不同的度量单位，但是，它们之间可以换算 。在角的度量里，也有类似情况，我们常用度为单位度量角，这种单位制叫角度制，为了使用方便，数学上还采用另一种度量角的制度——弧度制. 通过类比长度的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，用类比的方法、联系的观点直接引出课题. 教师叙述

1°的角是怎样定义的？n°的圆心角所对的弧长公式？ 回顾已有知识. 教师提出问题，学生回答.

角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧，不同的点通过特殊角，使学生得到弧长与半径的比只与角的大小有关，推广到一般也成通过讨论，让学生得出结论. 1弧度的角的定义

弧度数的绝对值公式

弧度与角度的换算

角的集合与实数集的一一对应关系 所形成的圆弧的长度是不同的，当给定角时弧长与半径的比值如何变化？比值的大小与哪个量有关？

让学生讨论得出结论. 立，因此我们可以利用这个比值来度量角，引出新概念,使学生明白新概念的由来和定义的合理性 .

给出1弧度的定义. 为了使用方便，也为下一节

任意角的三角函数奠定了基础. 师在一圆中给出一弧度的含义，使学生通过图像来获取对新概念的直观印象，培养学生数形结合的能力.

1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算

一、教学目标

1．知识目标：

① 了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.

② 认识弧长公式，能进行简单应用. 对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.

2. 能力目标：

①了解弧度制引入的必要性及弧度制与角度制的区别与联系.

②了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.

③ 通过角度制与弧度制的换算，对学生进行算法训练，提高学生的计算能力.

3．情感目标：使学生认识到角度制、弧度制都是角的度量制度，二者虽单位不同，但是二者相互联系、辩证统一. 进一步加强学生对辩证统一思想的理解.

二、教学重点、难点

重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算.

难点：弧度的概念及其与角度的关系.

三、教学方法

自学—讨论—讲授—练习

先由学生自学，而后教师设置一些问题供学生思考，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.

四、教学过程

教学环节 教学内容 师生互动 设计意图

复习引入 1、复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系.

2、复习角的概念推广：ABαO 教师提出问题：①初中的角是如何度量的？度量单位是什么？

学生回答：

② 1°的角是如何定义的？弧长公式是什温故而知新 一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．

角分为正角、负角、零角。 么？

学生回答：

③ 角的范围是什么？如何分类的？

概念形成 1． 初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？

2． 通过自学，老师引导，总结1弧度角的定义、角的弧度与角的关系。

1

4-02 §1.1.2 弧度制

班级 姓名

学习目标

1. 掌握弧度制的定义；

2. 学会弧度制与角度制互化；

3. 了解角的集合与实数集R一一对应关系.

学习重点 ：弧度制的定义及弧度制与角度制互化

学习难点 ：弧度制的定义

学习过程

（一） 课前准备

（预习教材P6~ P8，找出疑惑之处）

复习1：写出写出终边在下列位置的角的集合.

（1）x轴： . （2）y轴： .

（3）第三象限： . （4）第一、三象限： .

复习2：角度制规定，将一个圆周分成 份，每一份叫做 度，故一周等

于 度，平角等于 度，直角等于 度.

复习3：在角度制下，扇形弧长公式为 ；扇形面积公式为 ；

（二）新课导学

※ 学习探究

弧度制定义：

称为弧度制

试试：如图：AOB= rad ；AOC= rad

探究：如图，半径为r的圆的圆心与原点重合，角的终边与x轴的正半轴重合，交圆于点A，终边与圆交于点B. 请完成表格.

o r C

r l=2r

o A A

B

yxAOB2

AB的长 OB旋转的方向 AOB的弧度数

AOB的度数

r

逆时针

2r 逆时针

r 1

2r 2



0

180