弧度制

弧度制

弧度制的定义

等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度。用弧度作单位来度量角的制度叫做弧度制。

以已知角a的顶点为圆心，以任意值R为半径作圆弧，则a角所对的弧长与R之比是一个定值﹝与R无关﹞，我们称L=R时的正角为1弧度的角。以1弧度角为量角大小的单位，称此度量制为弧度制，以示与角的另一种度量制──角度制区别。

弧度制的特点

任意一个角一边所对应的射线，逆时针旋转所形成的角称为正角；顺时针转动所形成的角称为负角；射线未作任何旋转，仍留在原来位置，那么我们也把它看成一个角，叫做零角.

无论采用角度制或弧度制，都能使角的集合与实数集合R存在一一对应关系：每一个角都对应唯一的一个实数。

正角的弧度值是一个正量（正实数），负角的弧度值是一个负量（负实数），零角的弧度值是零.

弧度制的基本思想

弧度制的基本思想是使圆半径与圆周长有同一度量单位，然后用对应的弧长与圆半径之比来度量角度，这一思想的雏型起源于印度。印度著名数学家阿利耶毗陀﹝476？-550？﹞定圆周长为21600分，相度地定圆半径为3438分﹝即取圆周率π3.142﹞，但阿利耶毗陀没有明确提出弧度制这个概念。严格的弧度概念是由瑞士数学家欧拉﹝1707-1783﹞于1748年引入。欧拉与阿利耶毗陀不同，先定半径为1个单位，那么半圆的弧长为π，此时的正弦值为0，就记为sinπ= 0，同理，1/4圆周的弧长为π/2，此时的正弦为1，记为sin(π/2)=1。从而确立了用π、π/2分别表示半圆及1/4圆弧所对的中心角。其它的角也可依此类推。

弧度制的精髓

弧度制的精髓就在于统一了度量弧与半径的单位，从而大大简化了有关公式及运算，尤其在高等数学中，其优点就格外明显。

1弧度的大小

一弧度的角：等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

1弧度约等于57.3°

大约是57°17′45″

1.1.2弧度制

高三数学 张月轻

一.教学任务分析

1.通过类比引出弧度制，给出1弧度的定义.

2.通过探究得到弧度数的绝对值公式.并得出角度与弧度的换算方法.

3.通过例题和练习，巩固所学概念和公式.弧度制与角度制对比，认识引入弧度制的必要性.

二．教学重点、难点

重点：理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．

难点：1弧度角的含义．

三．教学基本流程

四．教学情境设计

问题 设计意图 师生活动 日常生活中，度量长度可用不同的单位，如：一张课桌长80厘米，也可说长0.8米，显然两种结果出现了不同的数值，那是因为它们使用了不同的度量单位，但是，它们之间可以换算 。在角的度量里，也有类似情况，我们常用度为单位度量角，这种单位制叫角度制，为了使用方便，数学上还采用另一种度量角的制度——弧度制. 通过类比长度的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，用类比的方法、联系的观点直接引出课题. 教师叙述

1°的角是怎样定义的？n°的圆心角所对的弧长公式？ 回顾已有知识. 教师提出问题，学生回答.

角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧，不同的点通过特殊角，使学生得到弧长与半径的比只与角的大小有关，推广到一般也成通过讨论，让学生得出结论. 1弧度的角的定义

弧度数的绝对值公式

弧度与角度的换算

角的集合与实数集的一一对应关系 所形成的圆弧的长度是不同的，当给定角时弧长与半径的比值如何变化？比值的大小与哪个量有关？

让学生讨论得出结论. 立，因此我们可以利用这个比值来度量角，引出新概念,使学生明白新概念的由来和定义的合理性 .

给出1弧度的定义. 为了使用方便，也为下一节

任意角的三角函数奠定了基础. 师在一圆中给出一弧度的含义，使学生通过图像来获取对新概念的直观印象，培养学生数形结合的能力.

弧度制的定义和公式

弧度制是一种角度的度量方式，它是通过弧长与半径之比来表示的。在数学和物理学中，使用弧度制来度量角度可以更加准确和方便。本文将介绍弧度制的定义和公式，并探讨其在数学和物理学中的应用。

一、弧度制的定义

在弧度制中，一个完整的圆周对应的角度为360度，而对应的弧度为2π。根据这个关系，可以得到弧度制的定义：一个角度的弧度数等于这个角度所对应的弧长与半径之比。

具体来说，假设一个角度θ所对应的弧长为s，半径为r，那么弧度制中这个角度θ所对应的弧度数可以表示为θ = s/r。这个比值通常用希腊字母π来表示，即θ = πs/r。

二、弧度制的公式

在弧度制中，角度和弧度之间的转换可以通过一个简单的公式来实现。假设一个角度α所对应的弧度数为θ，那么可以用以下公式来计算：

θ = α × π/180

其中，π/180是将角度转换为弧度的比例因子。这个公式可以用来将角度转换为弧度，也可以将弧度转换为角度。

三、弧度制的应用

弧度制在数学和物理学中有广泛的应用。首先，在三角学中，弧度制可以用来描述三角函数的周期性。例如，正弦函数和余弦函数的周期均为2π弧度，而不是360度。

在微积分中，弧度制是计算圆的面积和弧长的重要工具。通过使用弧度制，可以简化对圆的相关计算，使得结果更加准确和方便。

在物理学中，弧度制被广泛应用于描述角速度和角加速度。角速度是一个物体单位时间内绕某个轴旋转的角度，通常用弧度制表示。角加速度则是角速度的变化率，也常用弧度制表示。

总结：

弧度制是一种通过弧长与半径之比来度量角度的方式。它的定义和公式简单明了，可以准确地描述角度和弧度之间的关系。弧度制在数学和物理学中有广泛的应用，可以用来描述三角函数的周期性、计算圆的面积和弧长，以及描述角速度和角加速度等。掌握弧度制的概念和应用，可以帮助我们更好地理解和解决与角度相关的问题。

1 专题45 弧度制

1．度量角的两种单位制

角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制

1度

的角 1度的角等于周角的1360，记作1°

弧度制 定义 以弧度为单位来度量角的单位制

1弧度

的角 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1

rad(rad可省略不写)

在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么|α|＝lr.

一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.

2．弧度数的计算

3．角度制与弧度制的换算

4．一些特殊角与弧度数的对应关系

度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°

弧度 0

π6 π4 π3 π2 2π3 3π4 5π6 π 3π2 2π

5.扇形的弧长和面积公式

设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则

(1)弧长公式：l＝αR;(2)扇形面积公式：S＝12lR＝12αR2.

(3)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：

①l＝|α|·r，|α|＝lr，r＝l|α|；②S＝12|α|r2，|α|＝2Sr2.

2 题型一 角度与弧度的互化与应用

1．将下列角度化为弧度

(1)105°；(2)1920°；(3)20°；(4)－15°；(5)112°30′；(6)－157°30′；(7)－630°；

(8) 2100°；(9)37°30′；(10)－216°；(11)－1 500°；(12)67°30′；(13)2145°

[解析] (1)105°＝105×π180 rad＝7π12 rad；

(2) 1920°＝5×360°＋120°＝5×2π＋2π3 rad＝32π3 rad；(3)20°＝20π180＝π9；

(4)－15°＝－15π180＝－π12；(5)因为1°＝π180rad，所以112°30′＝π180×112.5 rad＝5π8rad；