2011年高考数学试题分类汇编十 数列

十、数列

一、选择题

1．（天津理4）已知na为等差数列，其公差为-2，且7a是3a与9a的等比中项，nS为

na的前n项和，*nN，则10S的值为

A．-110 B．-90

C．90 D．110

【答案】D

2．（四川理8）数列na的首项为3，nb为等差数列且1(*)nnnbaanN．若则32b，1012b，则8a

A．0 B．3 C．8 D．11

【答案】B

【解析】由已知知128,28,nnnbnaan由叠加法

21328781()()()642024603aaaaaaaa

3．（四川理11）已知定义在0,上的函数()fx满足()3(2)fxfx，当0,2x时，2()2fxxx．设()fx在22,2nn上的最大值为(*)nanN，且na的前n项和为nS，则limnnS

A．3 B．52 C．2 D．32

【答案】D

【解析】由题意1(2)()3fxfx,在[22,2]nn上，

2111()111331,()1,2,(),3,()()()lim1333213nnnnnnfxnfxnfxaSS

4．（上海理18）设{}na是各项为正数的无穷数列，iA是边长为1,iiaa的矩形面积（1,2,i），则{}nA为等比数列的充要条件为

A．{}na是等比数列。

B．1321,,,,naaa或242,,,,naaa是等比数列。

C．1321,,,,naaa和242,,,,naaa均是等比数列。

D．1321,,,,naaa和242,,,,naaa均是等比数列，且公比相同。

【答案】D

5．（全国大纲理4）设nS为等差数列na的前n项和，若11a，公差2d，224kkSS，则k

A．8 B．7 C．6 D．5

【答案】D

6．（江西理5） 已知数列{na}的前n项和nS满足：nmnmSSS，且1a=1．那么10a=

A．1 B．9 C．10 D．55 【答案】A

7．（福建理10）已知函数f（x）=e+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C，给出以下判断：

①△ABC一定是钝角三角形

②△ABC可能是直角三角形

③△ABC可能是等腰三角形

④△ABC不可能是等腰三角形

其中，正确的判断是

A．①③ B．①④ C． ②③ D．②④

【答案】B

二、填空题

8．（湖南理12）设nS是等差数列{}na()nN，的前n项和，且141,7aa，

则9S= ．

【答案】25

9．（重庆理11）在等差数列{}na中，3737aa，则2468aaaa__________

【答案】74

10．（北京理11）在等比数列{an}中，a1=12，a4=-4，则公比q=______________；12...naaa____________。—2

【答案】2121n

11．（安徽理14）已知ABC的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的

等差数列，则ABC的面积为_______________.

【答案】315

12．（湖北理13）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升。

【答案】6766

13．（广东理11）等差数列na前9项的和等于前4项的和．若141,0kaaa，则k=____________．

【答案】10

14．（江苏13）设7211aaa，其中7531,,,aaaa成公比为q的等比数列，642,,aaa成公差为1的等差数列，则q的最小值是________

【答案】33

三、解答题

15．（江苏20）设Ｍ部分为正整数组成的集合，数列1}{1aan的首项，前n项和为nS，已知对任意整数kM，当整数)(2,knknknSSSSkn时都成立

（1）设52,2},1{aaM求的值；

（2）设}{},4,3{naM求数列的通项公式

本小题考查数列的通项与前n项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及逻辑推理的能力，满分16分。

解：（1）由题设知，当1112,2()nnnnSSSS时， 即111()()2nnnnSSSSS，

从而112222,2,2,2(2)22.nnnaaaanaann又故当时

所以5a的值为8。

（2）由题设知，当{3,4},22nknknkkMnkSSS且时,S

11122nknknkSSSS且，

两式相减得11111112,nknknnknknnkaaaaaaa即

所以当63368,,,,,nnnnnnaaaaa时成等差数列，且6226,,,nnnnaaaa也成等差数列

从而当8n时，33662.nnnnnaaaaa （*）

且662222,8,2nnnnnnnaaaanaaa所以当时，

即223113.9,,,,nnnnnnnnaaaanaaaa于是当时成等差数列，

从而3311nnnnaaaa，

故由（*）式知11112,.nnnnnnnaaaaaaa即

当9n时，设1.nndaa

当28,68mm时，从而由（*）式知6122mmmaaa

故71132.mmmaaa

从而76113122()()mmmmmmaaaaaa，于是12.mmaaddd

因此，1nnaad对任意2n都成立，又由22({3,4})nknkkkSSSSk可知34()()2,92162nknnnkkSSSSSdSdS故且，

解得42173,,.222dadada从而

因此，数列{}na为等差数列，由112.ad知

所以数列{}na的通项公式为21.nan

16．（安徽理18）

在数1和100之间插入n个实数，使得这2n个数构成递增的等比数列，将这2n个数的乘积记作nT，再令,lgnnaT1n≥.

（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；

（Ⅱ）设1tantan,nnnbaa求数列{}nb的前n项和nS.

本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力.

解：（I）设221,,,nlll构成等比数列，其中,100,121ntt则

,2121nnnttttT ①

,1221ttttTnnn ②

①×②并利用得),21(1022131nittttnin

.1,2lg,10)()()()()2(2122112212nnTattttttttTnnnnnnnn

（II）由题意和（I）中计算结果，知.1),3tan()2tan(nnnbn 另一方面，利用,tan)1tan(1tan)1tan())1tan((1tankkkkkk

得.11tantan)1tan(tan)1tan(kkkk

所以231tan)1tan(nknkknkkbS

.1tan3tan)3tan()11tantan)1tan((23nnkknk

17．（北京理20）

若数列12,,...,(2)nnAaaan满足111(1,2,...,1)naakn，数列nA为E数列，记()nSA=12...naaa．

（Ⅰ）写出一个满足10saa，且()sSA〉0的E数列nA；

（Ⅱ）若112a，n=2000，证明：E数列nA是递增数列的充要条件是na=2011；

（Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列nA，使得nSA=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列nA；如果不存在，说明理由。

解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。

（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）

（Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列，

所以)1999,,2,1(11kaakk.

所以A5是首项为12，公差为1的等差数列.

所以a2000=12+（2000—1）×1=2011.

充分性，由于a2000—a1000≤1，

a2000—a1000≤1

……

a2—a1≤1

所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999.

又因为a1=12，a2000=2011,

所以a2000=a1+1999.

故nnnAkaa即),1999,,2,1(011是递增数列.

综上，结论得证。

（Ⅲ）令.1),1,,2,1(011Akkkcnkaac则

因为2111112ccaacaa

……

,1211nncccaa

所以13211)3()2()1()(nnccncncnnaAS

)].1()2)(1()1)(1[(2)1(121ncncncnn