不等式的基本性质 (3)

高一同步系列

第3讲 不等式的性质和基本不等式

[玩前必备]

1．不等式的基本性质

性质 性质内容 特别提醒

对称性 a>b⇔b

传递性 a>b，b>c⇒a>c ⇒

可加性 a>b⇔a＋c>b＋c

⇔

可乘性 a>bc>0⇒ac>bc

注意c的符号 a>bc<0⇒ac

同向可加性

a>bc>d⇒a＋c>b＋d ⇒

同向同正可乘性 a>b>0c>d>0⇒ac>bd ⇒

可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N＋，n>1)

a，b同为正数 可开方性 a>b>0⇒na>nb(n∈N＋，n>1)

2．两个实数比较大小的方法

(1)作差法 a－b>0⇔a>ba－b＝0⇔a＝ba－b<0⇔a

(2)作商法 ab>1⇔a>bab＝1⇔a＝bab<1⇔a0)

3．基本(均值)不等式ab≤a＋b2

(1)基本(均值)不等式成立的条件：a>0，b>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

4．几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)ba＋ab≥2(a，b同号)． 高一同步系列

(3)ab≤a＋b22(a，b∈R)．(4)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)．

5．算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab，基本(均值)不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

6．利用基本(均值)不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则：

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小)

(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是p24.(简记：和定积最大)

1

基本不等式

【知识框架】

1、基本不等式原始形式

（1）若Rba,，则abba222

（2）若Rba,，则222baab

2、基本不等式一般形式（均值不等式）

若*,Rba，则abba2

3、基本不等式的两个重要变形

（1）若*,Rba，则abba2

（2）若*,Rba，则22baab

总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；

当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；

特别说明：以上不等式中，当且仅当ba时取“=”

4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”

5、常用结论

（1）若0x，则12xx (当且仅当1x时取“=”）

（2）若0x，则12xx (当且仅当1x时取“=”）

（3）若0ab，则2abba (当且仅当ba时取“=”）

（4）若Rba,，则2)2(222babaab

（5）若*,Rba，则2211122babaabba

特别说明：以上不等式中，当且仅当ba时取“=”

6、柯西不等式

（1）若,,,abcdR，则22222()()()abcdacbd

2 （2）若123123,,,,,aaabbbR，则有：

22222221231123112233()()()aaabbbababab

（3）设1212,,,,,,nnaaabb与b是两组实数，则有

22212(naaa)22212)nbbb(21122()nnababab

【题型归纳】

题型一：利用基本不等式证明不等式

题目1、设ba,均为正数，证明不等式:ab≥ba112

题目2、已知cba,,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba222

题目3、已知1abc，求证：22213abc

题目4、已知,,abcR，且1abc，求证：abccba8)1)(1)(1(

基本不等式

【知识框架】

1、基本不等式原始形式

（1）若Rba,，则abba222

（2）若Rba,，则222baab

2、基本不等式一般形式（均值不等式）

若*,Rba，则abba2

3、基本不等式的两个重要变形

（1）若*,Rba，则abba2

（2）若*,Rba，则22baab

总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；

当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；

特别说明：以上不等式中，当且仅当ba时取“=”

4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”

5、常用结论

（1）若0x，则12xx (当且仅当1x时取“=”）

（2）若0x，则12xx (当且仅当1x时取“=”）

（3）若0ab，则2abba (当且仅当ba时取“=”）

（4）若Rba,，则2)2(222babaab

（5）若*,Rba，则2211122babaabba 特别说明：以上不等式中，当且仅当ba时取“=”

6、柯西不等式

（1）若,,,abcdR，则22222()()()abcdacbd

（2）若123123,,,,,aaabbbR，则有：

22222221231123112233()()()aaabbbababab

（3）设1212,,,,,,nnaaabb与b是两组实数，则有

22212(naaa)22212)nbbb(21122()nnababab

【题型归纳】

题型一：利用基本不等式证明不等式

题目1、设ba,均为正数，证明不等式:ab≥ba112

题目2、已知cba,,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba222

题目3、已知1abc，求证：22213abc

题目4、已知,,abcR，且1abc，求证：abccba8)1)(1)(1(

说课稿 •不等式的基本性质•

第1页 共4页 不等式的基本性质

一、教材分析

【教材的地位和作用】

不等式的基本性质是中职数学的主要内容之一，在中职数学中占着重要地位。它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应用，有着重要的实际意义。同时，不等式的基本性质也为学生以后顺利学习解一元一次不等式和解一元一次不等式组的有关内容，起到重要的奠基作用。

【教学结构】

课本建议教学时间为约一课时。针对所带学生的特点，为使学生更好地理解性质、深化知识探究过程，将课时调整为2节。第一节：集中探索不等式的三个基本性质并作简单应用；第二节：不等式的基本性质的运用，处理例题和习题。本稿为第一节。

根据课程标准，我将教学重难点确定如下：

【教学重难点】

教学重点：不等式的三条基本性质及其应用。

教学难点：不等式的基本性质3的探索与运用。

二、【学情分析】

基础能力： 数学基础知识相对薄弱，学习目标也不明确，但是具备一定的观察动手能力。

认知现状： 通过初中的学习，学生对不等式的性质多多少少有所理解，并且通过上节课的学习，已初步掌握应用作差比较法比较两个实数及两个代数式的大小。

情感特点： 学习兴趣淡薄, 缺乏自信及成功的体验，

有好奇心，愿意尝试新事物及联系生活

三、教学目标

根据上述对教材内容的分析，并结合学生的认知水平和思维特点，我确定以下教学目标。

【教学目标】

知识与技能：1.掌握不等式的三条基本性质以及推论，能够运用不等式的基本性质将不等式变形解决简单的问题；2.进一步掌握应用作差比较法比较实数的大小。

过程与方法：通过观察、操作、猜想、探究等合情推理活动，归纳出不等式的基本

性质，体验数学发现和创造的历程。