不等式的基本性质 (3)

高一同步系列

第3讲 不等式的性质和基本不等式

[玩前必备]

1．不等式的基本性质

性质 性质内容 特别提醒

对称性 a>b⇔b

传递性 a>b，b>c⇒a>c ⇒

可加性 a>b⇔a＋c>b＋c

⇔

可乘性 a>bc>0⇒ac>bc

注意c的符号 a>bc<0⇒ac

同向可加性

a>bc>d⇒a＋c>b＋d ⇒

同向同正可乘性 a>b>0c>d>0⇒ac>bd ⇒

可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N＋，n>1)

a，b同为正数 可开方性 a>b>0⇒na>nb(n∈N＋，n>1)

2．两个实数比较大小的方法

(1)作差法 a－b>0⇔a>ba－b＝0⇔a＝ba－b<0⇔a

(2)作商法 ab>1⇔a>bab＝1⇔a＝bab<1⇔a0)

3．基本(均值)不等式ab≤a＋b2

(1)基本(均值)不等式成立的条件：a>0，b>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

4．几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)ba＋ab≥2(a，b同号)． 高一同步系列

(3)ab≤a＋b22(a，b∈R)．(4)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)．

5．算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab，基本(均值)不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

6．利用基本(均值)不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则：

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小)

(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是p24.(简记：和定积最大)

不等式关系与不等式

一.基础知识

1.不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础

不等式的基本性质有：

（1）对称性：a>bb

（2）传递性：若a>b，b>c，则a>c；

（3）可加性：a>ba+c>b+c；

（4）可乘性：a>b，当c>0时，ac>bc；当c<0时，ac

不等式运算性质：

（1）同向相加：若a>b，c>d，则a+c>b+d；

（2）异向相减：ba，dcdbca.

（3）正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd。

（4）乘方法则：若a>b>0，n∈N+，则nnba；

（5）开方法则：若a>b>0，n∈N+，则nnba；

（6）倒数法则：若ab>0，a>b，则b1a1。

2、基本不等式（或均值不等式）

利用完全平方式的性质，可得a2+b2≥2ab（a，b∈R），该不等式可推广为a2+b2≥2|ab|；或变形为|ab|≤2ba22；

当a，b≥0时，a+b≥ab2或ab≤22ba.

3、不等式的证明

（1）不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法；

（2）在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用；

（3）证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。

4.利用基本不等式求最大（小）值时，要注意的问题：（一“正”；二“定”；三“相等”）

即:（1）和、积中的每一个数都必须是正数；

（2）求积的最大值时，应看和是否为定值；求和的最小值时，应看积是否为定值，；

简记为：和定积最_____，积定和最______.

（3）只有等号能够成立时，才有最值。

注意：一正二定三相等，和定积最大，积定和最小。（17字方针）

5.常用不等式有：（1）2222211abababab(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a、b、cR，222abcabbcca（当且仅当abc时，取等号）；（3）若0,0abm，则bbmaam（糖水的浓度问题）。

不等式的性质与证明方法总结

在数学中，不等式是一种非常重要的数学工具，用于描述数值之间的大小关系。不等式可以帮助我们解决各种实际问题，同时也是数学推理和证明的基础。本文将总结一些常见的不等式性质和证明方法，帮助读者更好地理解和应用不等式。

一、基本不等式性质

1. 传递性：如果a < b，b < c，则有a < c。这个性质是不等式推理的基础，可以用于简化证明过程。

2. 加法性：如果a < b，则a + c < b + c。这个性质表示在不等式两边同时加上一个相同的数，不等式的大小关系不变。

3. 乘法性：如果a < b，c > 0，则ac < bc；如果a < b，c < 0，则ac > bc。这个性质表示在不等式两边同时乘以一个正数或负数，不等式的大小关系会发生改变。

4. 对称性：如果a < b，则-b < -a。这个性质表示如果不等式两边同时取相反数，不等式的大小关系会发生改变。

二、常见不等式

1. 平均不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：

(a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)

平均不等式可以用于证明其他不等式，如均值不等式、柯西不等式等。

2. 均值不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：

(a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1^p + a2^p + ... + an^p)^(1/p)

其中p为大于0的实数。均值不等式可以用于证明其他不等式，如柯西不等式、夹逼定理等。 3. 柯西不等式：对于任意实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有以下不等式成立：

(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 <= (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... +

1 第十三讲 不等式的基本性质、解不等式

【基础知识】

一、不等式的概念及基本性质

1、实数运算性质与大小顺序关系

（1）0abab （2）0abab （3）0abab

2、不等式的基本性质

（1）对称性：a＞bb＜a (2)传递性：a＞b，b＞ca＞c

(3)可加性a＞ba+c＞b+c (4)可乘性：0cbaac＞bc；0cbaac＜bc

(5)可乘方性：a＞b≥0an＞bn（n∈N，n≥2）

(6)可开方性：a＞b≥0na＞nb（n∈N，n≥2）

（7）叠加性：a＞b，c＞da+c＞b+d（不等式同向可加）

（8）叠乘性：a＞b≥0，c＞d≥0a·c＞b·d（不等式同向为正可乘）

注意：①不等式的基本性质，没有减法和除法。如果遇到减法和除法，可以转化乘加法

和乘法，如：求ab的范围可以转化成求()ab的范围，求ab的范围可以转化成求1ab的范围。②方程和不等式的两边不能随便乘除，必须先研究这个数的性质，再乘除。

3、实数大小的比较

实数大小的比较一般用差比和商比。

如果不知道实数是正数或负数，一般用差比，一般步骤是作差→变形（通分、因式分解、合并同类项等）→与0比→下结论。

如果是正数，一般用商比，一般步骤是作商→变形（通分、因式分解、合并同类项等）→与1比→下结论。

二、一元二次不等式20(0)axbxca的解法

解一元二次不等式最好的方法是图像法，充分体现了数形结合的思想。

(1)二次不等式2()0fxaxbxc（0a）的解法

当240bac时，不等式的解集是}|{小大或xxxxx。简记为大于两边分，大于大根，小于小根。（见左图）

当240bac时，不等式的解集是R.（见中图）

当240bac时，不等式的解集是R。（见右图） 2 （2）二次不等式2()0fxaxbxc（0a）