2.2.1-2恒等变换与伸压变换

1 《矩阵与变换》复习

【知识梳理】

1．二阶矩阵与平面向量：

（1）矩阵的概念与表示：矩阵的行、列、元素；零矩阵、单位矩阵；行矩阵、列矩阵．

（2）二阶矩阵与平面列向量的乘法：22211211aaaa00yx＝ ．

（3）二阶矩阵M＝dcba确定的变换TM为：yx→yx＝ ＝ ．

2．几种常见的平面变换：

变换 恒等变换 伸压变换 反射变换 旋转变换 投影变换 切变变换

变换矩阵

3．变换的复合与矩阵的乘法：

（1）矩阵的乘法：22211211aaaa22211211bbbb＝ ．

4．逆变换与逆矩阵：

（1）逆矩阵的概念：对于二阶矩阵A，B，若有

，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵，A的逆矩阵记为

．

（2）逆矩阵的几何意义：

（3）二阶可逆矩阵A＝dcba的逆矩阵公式：

．

（4）若二阶矩阵A，B可逆，则(AB)－1＝ ．

5．特征值与特征向量：

（1）概念：设A为二阶矩阵，若对于实数λ，存在一个非零向量α，使得 ，则称λ是A的一个特征值，α是A的属于特征值λ的一个特征向量．

（2）特征多项式：f(λ) ＝ ．

（3）特征值与特征向量的求解步骤：

2 【典型例题】

例1．已知变换T把点(2，1)，(－3，2)分别变换成点(7，0)，(0，－7)，

（1）求变换T对应的矩阵M；（2）求直线l：x＋5y－7＝0在变换T下所得的曲线方程．

例2．在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，0），B（1，1），C（0，2），M＝1201，N＝0110求△ABC在矩阵MN作用下变换所得图形的面积．

§3.2 简单的三角恒等变换（二）

学习目标：⒈了解三角恒等变换在数学中的一些应用．

⒉体会三角恒等变换在化简三角函数式中的应用．

教学重点：三角恒等变换在化简三角函数式中的应用．

教学难点：形如sincosyaxbx的函数的变换．

教学方法：讲练结合．

教具准备：多媒体投影．

教学过程：

（Ⅰ）新课引入：

师：上节课，我们通过两个具体的实例，了解了三角恒等变换的特点和变换方法．

本节课我们通过两个具体的例子来了解三角恒等变换在数学中的应用．

（Ⅱ）讲授例题：

例3求函数sin3cosyxx的周期，最大值和最小值以及它的单调递增区间．

分析：这个函数我们并没有专门进行过研究，但是我们可以通过三角恒等变换先把函数式化简，然后再对它的性质进行研究．

解：略．

师：这个例子先通过三角恒等变换化简函数表达式，然后再讨论有关性质的问题．

例4如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为3的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记COP，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．

分析：要求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大，可分二步进行：

⑴找出S与之间的函数关系；

⑵有的处的函数关系，求出S的最大值．

解：略．

师：由例3、例4可以看到，通过三角变换，我们把形如sincosyaxbx转化为形如sin()yAx的函数，从而使问题得到简化，这个过程蕴含了化归的思想．

（Ⅲ）课后练习：课本155P 练习 ⒋

（Ⅳ）课时小结:

通过三角恒等变换将形如sincosyaxbx的函数转换为形如sin()yAx的函数，这是求三角函数式最值及周期的常用方法．

（Ⅴ）课后作业：

课本156P习题3.2 A组 ⒌ B组 ⒍

板书设计：

§3.2 简单的三角恒等变换（二）

例3 例4 小结

教学后记:

1 学案71 矩阵与变换

(一)二阶矩阵与变换

导学目标： 1.了解矩阵的有关概念，理解二阶矩阵与平面列向量的乘法.2.了解几种常见的平面变换，理解矩阵对应的变换把平面上的直线变成直线(或者点).3.理解二阶矩阵的乘法及简单性质．

自主梳理

1．线性变换与二阶矩阵

在平面直角坐标系xOy中，由 x′＝ax＋by，y′＝cx＋dy，(其中a，b，c，d是常数)构成的变换称为线性变换．由四个数a，b，c，d排成的正方形数表a bc d称为________，其中a，b，c，d称为矩阵的________，矩阵通常用大写字母A，B，C，…或(aij)表示(其中i，j分别为元素aij所在的行和列)．

2．矩阵的乘法

行矩阵[a11a12]与列矩阵b11b21的乘法规则为[a11a12]b11b21＝[a11b11＋a12b21]，二阶矩阵a bc d与列矩阵xy的乘法规则为a bc dxy＝ax＋bycx＋dy.矩阵乘法满足结合律，不满足交换律和消去律．

3．几种常见的线性变换

(1)恒等变换矩阵M＝1 00 1；

(2)旋转变换Rθ对应的矩阵是M＝_____________________________________________；

(3)反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x轴对称，则变换对应矩阵为M1＝1 00 －1；若关于y轴对称，则变换对应矩阵为M2＝__________；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M3＝____________；

(4)伸压变换对应的二阶矩阵M＝k1 00 k2，表示将每个点的横坐标变为原来的________倍，纵坐标变为原来的________倍，k1，k2均为非零常数；

(5)投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x轴的投影变换的矩阵为M＝__________；

1 0yx2.2几种常见的平面变换

投影变换

三维目标

1.知识与技能

掌握投影变换的矩阵表示与几何意义

2.过程与方法

通过具体的实例让学生认识到，图形的旋转可以用矩阵来表示.

3.情感、态度与价值观

将三角函数与矩阵结合起来，体现知识的螺旋上升。

教学重点

投影变换

教学难点

投影变换矩阵

教学过程

一、情境设置

如果把正午的太阳光近似看做垂直向下的平行光，一排排树木的影子会投影到各自的树根，而它们的正视图可以用右图来表示，在右图中，树木投影前后可以看做一个平面几何变换，怎样用矩阵来刻画这一变换？

二、学生活动

对平面上的任意一点P(x,y)，它垂直投影到x轴上时，横坐标保持，纵坐标变化为0，特殊地，x轴上的点原地不动.因此，垂直投影前后可以看做一个几何变换T，并且有

T：0''xyxyx

故变换T对应的矩阵为M＝0001

三、建构数学 2 yx121-0.5BB'AA'yx像0101，0001这类将平面内图形投影到某条直线(或某个点)上的矩阵，称之为投影变换矩阵，相应的投影称做投影变换.

说明：投影变换虽然是映射，但不是一一映射.

四、数学运用

例5研究矩阵0101所确定的变换.

解：对于平面上的向量yx，有

xxyx0101，

因此，矩阵0101使得平面上的点的横坐标不变，而纵坐标变为与横坐标相等，该变换将平面内的点沿垂直于x轴方向投影到直线y＝x上，如图所示.

例6 研究线段AB在矩阵21212121作用下变换得到的图形，其中A(0,0),B(1,2).

解：因为

000021212121，21212121212121，