4.3.2 平面直角坐标系中的伸缩变换

《选修 4 −4 坐标系与参数方程》

- 1 - 4.3.2 平面直角坐标系中的伸缩变换

【教学目标】

通过具体例子，了解在平面直角坐标系中图形在伸缩变换下平面图形的变化情况。

【教学重点】

平面图形的伸缩变换及伸缩变换下的图形的变化规律。

【教学过程】

一、问题情境

圆 x2 +y2 = 100在水平方向将其拉长，得到的是表示怎样的一条曲线？

函数y = sin(3x) 是由y = sin x经过怎样的变换得到的？

二、讲授新课

伸缩变换

1．一般地，由

kx = x'，y = y'

所确定的伸缩变换，是伸缩系数为k向着y轴的伸缩变换。

当k > 1时，表示伸长；当 k < 1时，表示压缩，即曲线上所有的点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 k 倍。

这里P（x，y)是变换前的点，P'(x'，y')是变换后的点。

2．同样由 x = x'，ky = y'所确定的伸缩变换是伸缩系数为k向着x轴的伸缩变换。

3．由k1x = x'，k2y = y'所确定的伸缩变换的意义是什么？

若伸缩变换的方向是任意的，按平面向量基本定理，可以将它们分解为向着 x 轴和向着 y 轴的伸缩变换。

《选修 4 −4 坐标系与参数方程》

- 2 - 三、例题选讲

【例1】对下列曲线向着x轴进行伸缩变换，伸缩系数 k = 14。

⑴ 2x +3y −6 = 0；

⑵ x2 +y2 =16。

【例2】设M1是A1（x1，y1)与B1（x2，y2)的中点，经过伸缩变换后，它们分别是M2，A2，B2，求证：M2是A2B2的中点。

【例3】证明：直线经过伸缩系数k向着x轴（或y轴）的伸缩变换后，仍是直线。

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- 3 - 【例4】将椭圆 x2 + y24 = 1 向着y 轴方向伸缩变换为圆，写出坐标变换公式；

编写人：罗玙琪 备课组长：_________年级领导：__________使用时间：2012年5月

选修4—4第一讲 坐标系

平面直角坐标系中的伸缩变换导学案

学习目标

1、回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用。

2、通过具体例子，了解在平面直角坐标系中伸缩变换作用下平面图形的变化情况，掌握平面直角坐标系中的伸缩变换。

教学重点：根据问题的几何特征，选择坐标系，运用坐标法解决几何问题。

教学难点：准确理解伸缩变换的意义并会用于解题。

学习过程：

一、 自主学习

设点P（x,y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换

的作用下，点 P（x,y） 对应到),('''yxP ，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换。简称伸缩变换。

二、思考探究

1、如何根据几何图形的特征建立恰当的坐标系？

2、(1)怎样由正弦曲线y=得到曲线y=

(2) 怎样由正弦曲线y=得到曲线y=

（3）怎样由正弦曲线y=得到曲线y=

二、 例题讲解：

例1：：求点)1,2(经过伸缩变换yyxx3'2'后的点的坐标。

变式：已知点),(yx经过伸缩变换yyxx2'3'后的点的坐标是)4,3(，则x ，y .

编写人：罗玙琪 备课组长：_________年级领导：__________使用时间：2012年5月

例2：求图形的伸缩变换：直线064yx变成直线2X-Y=3。

变式练习：求图形的伸缩变换：直线032yx变成直线X-Y=0

例3：在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。（1）2x+3y=0 (2)+=1

变式练习：求下列方程所表示的图形经过伸缩变换后的图形.

(1)x – y =0 (2) + =1

当堂检测

1、求下列点经过伸缩变换yyxx3'2'后的点的坐标： 编写人：罗玙琪 备课组长：_________年级领导：__________使用时间：2012年5月

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1 平面直角坐标系中的伸缩变换

【知识要点归纳】

（1） 以坐标法为工具，用代数方法研究几何图形是解析几何的主要问题，它的特点是“数形结合”。

（2） 能根据问题建立适当的坐标系又是能否准确解决问题的关键。

（3） 设点P（x,y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换

),0(,),0(,:yyxx的作用下，点P(x,y)对应到点),(yxP，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换。

【典型例题】 在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换。

（1） 将直线22yx变成直线42yx，

（2） 曲线0222xyx变成曲线0416/22xyx

【解题能力测试】

1、已知xxfxxfsin)(,sin)(21（)0)(2xf的图象可以看作把)(1xf的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的31倍（纵坐标不变）而得到的，则为（ ）

A．21 B .2 C.3 D.31

2.在同一直角坐标系中，经过伸缩变换yyxx35后，曲线C变为曲线18222yx则曲线C的方程为（ ）

A．1725022yx B.1100922yx C．12410yx D.19825222yx

3．在同一平面坐标系中，经过伸缩变换yyxx,3后，曲线C变为曲线9922yx，求曲线C的方程并画出图象。

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2 4.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换yyxx3121后的图形。

求： （1）;025yx （2）122yx。

5.已知点A为定点，线段BC在定直线l上滑动，已知|BC|=4，点A到直线l的距离为3，求∆ABC的外心的轨迹方程。

平面直角坐标系中的伸缩变换

（1）内容安排的意图

平面几何图形的伸缩变换是常见的几何变换。将图形看成是点的运动轨迹，并在平面直角坐标系中用方程表示它，那么图形的伸缩变换就可以归结为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换。因此，本小节内容可以让学生从一个新的角度体会坐标法思想。“坐标法”解析几何学习的始终，同学们在不断地体会“数形结合”的思想方法并自始至终强化这一思想方法。

（2）概念引出方式

1、 从代数角度研究“伸缩变换”比较抽象，学生一般不容易理解。因此，教科书以学生熟悉的正弦型曲线的图形伸缩变换为例，通过讨论由正弦曲线y＝sinχ得到曲线y＝sinωχ和y＝Asinχ的过程中曲线上点的坐标的变化规律，从具体到一般、从直观到抽象地引出伸缩变化的概念，并概括出“伸缩变换”的表示，给出伸缩变换的定义。建立伸缩变化与函数图像变换之间的联系，可以是伸缩变换概念的学习建立在学生已有经验基础上，使得平面直角坐标中的坐标伸缩变换的学习具有坚实的基础。坐标伸缩变换与前面学的坐标平移变换都是将平面图形进行伸缩平移的变换，本质是一样的。应注意：通过一个表达式，平面直角坐标系中坐标伸缩变换将x与y的伸缩变换统一成一个式子了，即0,0,/yyxx我们在使用时，要注意对应性，即分清新旧。

【例1】（2005年江苏）圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得PM=2PN，试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程。

【例2】在同一直角坐标系中，将直线22yx变成直线42yx，求满足图象变换的伸缩变换。

分析：设变换为),0(,),0(,yyxx可将其代入第二个方程，得42yx，与22yx比较，将其变成,442yx比较系数得.4,1

【解】yyxx4，直线22yx图象上所有点的横坐标不变，纵机坐标扩大到原来的4倍可得到直线42yx。