高考数学二轮复习 小题专题练(五)理

小题专题练(五) 解析几何

(建议用时：50分钟)

1．已知直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：mx－y＝0平行，则实数m的取值为( )

A．－12 B.12

C．2 D．－2

2．若双曲线E：x29－y216＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( )

A．11 B．9

C．5 D．3

3．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为43，则C的方程为( )

A.x23＋y22＝1 B.x23＋y2＝1

C.x212＋y28＝1 D.x212＋y24＝1

4．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝( )

A．3 B．6

C．9 D．12

5．(2015·枣庄模拟)圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0和圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0内切，若a，b∈R，且ab≠0，则2a2＋8b2的最小值为( )

A．18 B．9

C.92 D.94

6．已知椭圆x24＋y2b2＝1(0＜b＜2)与y轴交于A，B两点，点F为该椭圆的一个焦点，则△ABF面积的最大值为( )

A．1 B．2

C．4 D．8

7．(2015·滨州模拟)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)与直线y＝3x无交点，则离心率e的取值范围为( )

A．(1，2) B．(1，2]

C．(1，5) D．(1，5]

8．已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A、B两点，如果OA→·OB→＝－12，那么抛物线C的方程为( )

A．x2＝8y B．x2＝4y

C．y2＝8x D．y2＝4x

9．(2015·济宁诊断考试)已知抛物线C1：x2＝2y的焦点为F，以F为圆心的圆C2交C1于A，B两点，交C1的准线于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则圆C2的标准方程为( )

A．x2＋y－122＝4

B.x－122＋y2＝4

C．x2＋y－122＝2

D.x－122＋y2＝2

10．已知点P是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)左支上一点，F1、F2是双曲线的左、右两个焦点，且PF1⊥PF2，PF2与两条渐近线相交于M、N两点(如图)，点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离心率是(

)

A.2 B.3

C．2 D.5

11．已知(2，0)是双曲线x2－y2b2＝1(b＞0)的一个焦点，则b＝________．

12．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝________．

13．一个圆经过椭圆x216＋y24＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．

14．(2015·青岛第一次统一检测)已知f(x)＝x3＋ax－2b，如果f(x)的图象在切点P(1，－2)处的切线与圆(x－2)2＋(y＋4)2＝5相切，那么3a＋2b＝________．

15．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点F(c，0)关于直线y＝bcx的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．

小题专题练(五) 解析几何

1．解析：选A.因为直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：mx－y＝0平行，所以m1＝－12，解得m＝－12，故选A.

2．解析：选B.由题意及双曲线的定义有||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6.所以

|PF2|＝9.

3．解析：选A.由e＝33得ca＝33①.又△AF1B的周长为43，由椭圆定义，得4a＝43，得a＝3，代入①得c＝1，

所以b2＝a2－c2＝2，故C的方程为x23＋y22＝1.

4．解析：选B.抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，

所以椭圆中c＝2，

又ca＝12，所以 a＝4，b2＝a2－c2＝12，

从而椭圆方程为x216＋y212＝1.

因为抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，

所以 xA＝xB＝－2，

将xA＝－2代入椭圆方程可得|yA|＝3，

由图象可知|AB|＝2|yA|＝6.故选B.

5．解析：选C.因为圆C1：(x－a)2＋y2＝9与圆C2：x2＋(y＋b)2＝1内切，所以|C1C2|＝a2＋b2＝3－1＝2，a2＋b2＝4，所以2a2＋8b2＝142a2＋8b2(a2＋b2)＝142＋8＋2b2a2＋ 8a2b2≥92，当且仅当2a2＝b2＝83时取等号，故2a2＋8b2的最小值为92.

6．解析：选B.法一：不妨设点F的坐标为(4－b2，0)，而|AB|＝2b，所以S△ABF＝12×2b×4－b2＝b4－b2＝b2（4－b2）≤b2＋4－b22＝2(当且仅当b2＝4－b2，即b2＝2时取等号)，故△ABF面积的最大值为2.

法二：如图，M为AF的中点，ON⊥AF，S△ABF＝2S△AOF＝2×12×AF·ON≤AF·OM＝AF·AF2＝2.

7．解析：选B.双曲线的渐近线方程为y＝±bax，要使直线y＝3x与双曲线无交点，则ba≤3，即b≤3a，所以b2≤3a2，即c2－a2≤3a2，所以c2≤4a2，e2≤4，所以1

8．解析：选C.由题意，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，直线方程为x＝my＋p2，得y2－2pmy－p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，得OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝my1＋p2·my2＋p2＋y1y2＝m2y1y2＋pm2(y1＋y2)＋p24＋y1y2＝－34p2＝－12⇒p＝4，即抛物线C的方程为y2＝8x.故选C.

9．解析：选A.由题设知抛物线的焦点为F0，12，所以圆C2的圆心坐标为F0，12.因为四边形ABCD是矩形，且BD为直径，AC为直径，F0，12为圆C2的圆心，所以点F为该矩形的两条对角线的交点，所以点F到直线CD的距离与点F到直线AB的距离相等．又点F到直线CD的距离为p＝1，所以直线AB的方程为：y＝32，可取A－3，32，所以圆C2的半

径r＝|AF|＝

（－3－0）2＋32－122＝2，所以圆C2的标准方程为：x2＋y－122＝4，故选A.

10．解析：选D.由题意可知，ON为△PF1F2的中位线，所以PF1∥ON，

所以tan∠PF1F2＝tan∠NOF2＝kON＝ba，

所以|PF2||PF1|＝ba，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，

解得|PF1|＝2a，|PF2|＝2b.

又因为|PF2|－|PF1|＝2a，

所以2b－2a＝2a，b＝2a，c＝a2＋b2＝5a，e＝ca＝5.

11．解析：由题意得，双曲线焦点在x轴上，且c＝2.根据双曲线的标准方程，可知a2＝1.又c2＝a2＋b2，所以b2＝3.又b>0，所以b＝3.

答案：3

12．解析：由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，所以圆心C(2，1)在直线x＋ay－1＝0上，所以 2＋a－1＝0，所以 a＝－1，所以 A(－4，－1)．所以|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，所以|AB|2＝40－4＝36.所以|AB|＝6.

答案：6

13．解析：由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0，2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4，0)．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0，2)，(0，－2)，(4，0)三点．设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2(0＜m＜4，r＞0)，则m2＋4＝r2，（4－m）2＝r2，解得m＝32，r2＝254.

所以圆的标准方程为(x－32)2＋y2＝254.

答案：(x－32)2＋y2＝254

14．解析：由题意得f(1)＝－2⇒a－2b＝－3，又因为f′(x)＝3x2＋a，所以f(x)的图象在点(1，－2)处的切线方程为y＋2＝(3＋a)(x－1)，即(3＋a)x－y－a－5＝0，

所以|（3＋a）×2＋4－a－5|（3＋a）2＋1＝5⇒a＝－52，所以b＝14，

所以3a＋2b＝－7.

答案：－7

15．解析：

设椭圆的另一个焦点为F1(－c，0)，如图，连接QF1，QF，设QF与直线y＝bcx交于点M.

由题意知M为线段QF的中点，且OM⊥FQ，

又O为线段F1F的中点，

所以 F1Q∥OM，

所以 F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|.

在Rt△MOF中，tan∠MOF＝|MF||OM|＝bc，|OF|＝c，

可解得|OM|＝c2a，|MF|＝bca，

故|QF|＝2|MF|＝2bca，|QF1|＝2|OM|＝2c2a.

由椭圆的定义得|QF|＋|QF1|＝2bca＋2c2a＝2a，

整理得b＝c，a＝b2＋c2＝2c，故e＝ca＝22.

答案：22