高等数学-第2章--极限与连续

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第二章 极限与连续

极限是高等数学中最主要的概念之一，也是研究微积分的重要工具，如导数、定积分、重积分等定义都需要用极限来定义，因此，掌握极限的思想和方法是学好微积分学的基本前提．

第一节 极限的定义

教学目的：1.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。2.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

教学重难点：1.极限的概念和左极限与右极限概念及应用；2.无穷小及无穷小的比较；

本节将在中学学习过的数列的极限的基础上学习函数的极限、极限性质、无穷小的定义及性质、无穷大的定义及其与无穷小的关系．

一、数列的极限

定义 对于数列nx，如果当n无限增大时)(n，nx无限趋近于一个确定的常数A， 则称A为数列nx的极限．记作

nnxlimA 或 Axn（n）．

亦称数列nx收敛于A；如果数列nx没有极限，就称数列nx是发散的．

数列极限的运算法则为：

如果nlimnxA, nlimnyB，那么

法则1 nlim(nxny) nlimnxnlimnyAB；

法则2 nlim(nxny) nnxlimnnylimAB；

法则3 nlimlimnnnCxCxCA (C是常数)；

法则4 nlimBAyxyxnnnnnnlimlim ()0B．

以上法则1，法则2可以推广到有限个数列的和与积的情形． word专业资料-可复制编辑-欢迎下载

二、函数的极限

1．当x时，函数)(xf的极限

定义 如果当x的绝对值无限增大（即x）时，函数)(xf无限趋近于一个确定的常数A，那么A称为函数)(xf当x时的极限，记为

Axfx)(lim 或 当x时，Axf)(．

如图1－5（b）所示, 函数xxf1)(当x的绝对值无限增大时,

函数xxf1)(的图象无限接近于x轴．也就是，当x时，)(xf无限地接近于常数零，即

01limxx．

在上述定义中，自变量x的绝对值无限增大指的是既取正值无限增大（记为x），同时也取负值而绝对值无限增大（记为x）．但有时自变量的变化趋势只能或只需取这两种变化的一种情形，为此有下面的定义：

定义 如果当x(或x)时，函数)(xf无限趋近于一个确定的常数A，那么A称为函数)(xf当x(或x)时的极限，记为

lim()xfxA或当x时，()fxA；

lim()xfxA或当x时，()fxA．

由图1－5（b）可以看出，01limxx及01limxx，这两个极限与01limxx相等，都是0．

由图1－11（b）可以看出，2arctanlimxx，2arctanlimxx．由于当x和x时，函数xyarctan不是无限趋近于同一个确定的常数，所以xxarctanlim不存在．由上面的讨论，我们得出下面的定理：

定理 Axfx)(lim的充要条件是：

)(limxfxAxfx)(lim．

（证明略）

2．当0xx时，函数)(xf的极限

定义 设函数()yfx在点0x的某个近旁（点0x本身可以除外）内有定义，如果当x趋于0x（但0xx）时，函数)(xf无限趋近于一个确定的常数A，那么A称为函数)(xf当0xx时的极限，记为

Axfxx)(lim0 或 当0xx时，Axf)(． word专业资料-可复制编辑-欢迎下载

例1 考察极限Cxx0lim (C为常数)和xxx0lim．

解 因为当0xx时，)(xf的值恒为C，所以)(lim0xfxxCCxx0lim．

因为当0xx时，()xx的值无限接近于0x，所以0lim()xxx00limxxxx．

3．当0xx时，)(xf的左、右极限

因为0xx有左右两种趋势，而当x仅从某一侧趋于0x时，只需讨论函数的单边趋势，于是有下面的定义：

定义 如果当x从0x左侧趋近0x（记为0xx）时，函数)(xf无限趋近于一个确定的常数A，那末A称为函数)(xf当0xx时的左极限，记为

0lim()xxfxA．

如果当x从0x右侧趋近0x（记为0xx）时，函数)(xf无限趋近于一个确定的常数A，那末A称为函数)(xf当0xx时的右极限，记为

0lim()xxfxA

定理 Axfxx)(lim0的充要条件是：

00lim()lim()xxxxfxfxA．

（证明略）

例2 讨论函数

10()0010xxfxxxx

当0x时的极限．

解 观察图2－1可知：

0lim()xfx1)1(lim0xx，

0lim()xfx1)1(lim0xx．

因此，当0x时，)(xf的左右极限存在但不相等，由定理2知，极限

)(lim0xfx不存在．

例3 研究当x0时, xxf)(的极限．

解 观察图2－2可知：

00)(xxxxxxf

由于

)(lim0xfx0)(lim0xx, word专业资料-可复制编辑-欢迎下载

)(lim0xfx0lim0xx．

所以当x0时，)(xf的左, 右极限都存在且相等．由定理2知x0时, xxf)(的极限存在，且等于0．

三、无穷小量

实际问题中，常有极限为零的变量．例如，电容器放电时，其电压随着时间的增加而逐渐减小并趋近于零．对于这样的变量，有下面的定义：

1．无穷小量的定义

定义 极限为零的变量称为无穷小量，简称为无穷小．

如果0lim()0xxx，则变量()x是0xx时的无穷小，如果lim()0xx，则称()x是x时的无穷小，类似的还有0xx，0xx，x，x等情形下的无穷小．

根据定义可知，无穷小是一种变化状态，而不是一个量的大小，无论多么小的一个数都不是无穷小，只有零是唯一的一个可作为无穷小的常数，无穷小是有极限变量中最简单而最重要的一类，在数学史上，很多数学家都致力于“无穷小分析”．

2．无穷小量的性质

定理 有限个无穷小的代数和为无穷小．（证明略）

注意，无穷个无穷小之和未必是无穷小，如n时，21n，22n，2nn都是无穷小，但是222212(1)2nnnnnnn，当n时2(1)122nnn，所以不是无穷小．

定理 有界函数与无穷小的积为无穷小． （证明略）

推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小. （证明略） 图2－1 1 －1

－1 2

－2 O x 1 y

y=－x y＝x

图2－2 O x y word专业资料-可复制编辑-欢迎下载

推论2 有限个无穷小的积为无穷小．（证明略）

例4 求极限01limsinxxx．

解 因为x是当0x时的无穷小，而x1sin是一个有界函数，所以01limsin0xxx．

3．函数极限与无穷小的关系

设Axfxx)(lim0，即0xx时()fx无限接近于常数A，有()fxA就接近于零，即()fxA是0xx时的无穷小，若记()()xfxA，于是有

定理3 （极限与无穷小的关系）Axfxx)(lim0的充分必要条件是()()fxAx，其中()x是0xx的无穷小．

例如11xx当()x时，有111xxx，其中1x就是()x时的无穷小．

四、 无穷大量

1．无穷大的定义

定义6 若当0xx（x）时，函数()fx的绝对值无限增大，则称函数()fx为当0xx(或x)时的无穷大.

函数()fx当0xx（或x）时为无穷大，它的极限是不存在的，但为了便于描述函数的这种变化趋势，我们也说“函数的极限为无穷大”，并记为

0lim()xxfx 或 lim()xfx．

例如，当0x时，x1是一个无穷大，又例如， 当x时，xe是一个无穷大．

注意，说一个函数()fx是无穷大，必须指明自变量x的变化趋向；无穷大是一个函数，而不是一个绝对值很大的常数．

2．无穷大与无穷小的关系

我们知道，当2x时，2x是无穷小，12x是无穷大；当x时，x是无穷大，1x是无穷小．

一般地，在自变量的同一变化过程中，如果)(xf为无穷大，则)(1xf是无穷小；反之，如果)(xf为无穷小，且)(xf0，则)(1xf是无穷大．

利用这个关系，可以求一些函数的极限． word专业资料-可复制编辑-欢迎下载

例5 求极限13lim1xxx．

解 因为031lim1xxx，由无穷大与无穷小的关系，所以13lim1xxx．

五、无穷小量比较

由无穷小的性质，我们知道两个无穷小的和、差及乘积仍是无穷小．但两个无穷小的商却会出现不同的情况．例如，当0x时， x2、2x、xsin均为无穷小，而02lim20xxx，202limxxx，1sinlim0xxx．两个无穷小之比的极限的不同情况，反映了不同的无穷小趋向于零的“快慢”程度．

一般地，对于两个无穷小之比有下面定义：

定义 设和都是同一过程的两个无穷小量，即lim0，lim0，

1．若lim0，则称是的高阶无穷小量；记作()o，此时也称是的低阶无穷小量．

2．若lim0C，则称与是同阶的无穷小量．记作()O．

3．若lim1，则称与是等价无穷小量．记作~．

例16 当1x时，比较无穷小1x与31x的阶．

解 由于 0)1(lim1xx，0)1(lim31xx，且

3111limxxx3111lim21xxx，

所以当1x时，1x与31x是同阶无穷小．

例17 当0x时，证明xcos1与22x等价．

解 由于 0)cos1(lim0xx，02lim20xx，且2cos1lim20xxx122sin2lim220xxx．所以，当0x时，xcos1与22x为等价无穷小．

习题训练

1．利用函数图像，观察函数的变化趋势，并写出其极限：

（1）21limxx； （2）lim2xx；

（3） 1lim()10xx； （4）1lim(2)xx；