(整理)《数学分析》第二章 极限与连续.

精品文档

精品文档 第二章 极限与连续

一、本章知识脉络框图

二、本章重点及难点

（一）重点：

极限的定义与性质、数列极限和一元函数极限的计算、两个重要极限的运用、归结原则、柯西准则以及有界闭集上连续函数的性质.

（二）难点

运用柯西准则和归结原则进行证明、理解多元函数重极限与累次极限的概念、有界闭集上连续函数的性质以及一致连续性.

三、本章的基本知识要点

本章符号说明：

: 每一个或任给的；

: 至少有一个或存在；

：充分必要条件.

（一）数列极限

1. 数列极限定义 数列极限的定义 收敛数列的

基本性质 收敛数列极限的计算

柯西准则判定极限是否存在

一元函数极限的定义 一元函数极限

的基本性质 一元函数极限的计算

连续函数的定义和性质

归结原则 海涅定理

二元函数极限的定义 二元函数极限

的基本性质 精品文档

精品文档 lim0,0,nnaaN当nN时，有.naa

注：定义中的N可不取整数，naa可以是.naa

定理：增加、改变或去掉数列的有限项, 不影响数列的收敛性和极限. 重排不改变数列敛散性.

数列极限的等价定义:

(1) 0,0,N 当nN时有,naak 其中k为某个正数.

(2) 0,0,cN 当nN时有,naak其中c与k为某个正数.

2. 收敛数列的性质

(1) 唯一性定理：每个收敛的数列只有一个极限.

(2) 有界性定理：收敛的数列必定有界.

(3) 保号性定理：若limnnaa,则对任意(),rara或 ,NnN, 有nar (或nar).

(4) 保不等式性定理：若lim,limnnnnab都存在，且,nnNnNab有，则limlim.nnnnab

(5) 迫敛性定理：设limlim.nnnnaba 数列{}nc满足：,NnN有 nnnacb，则数列{}nc收敛，且lim.nnca

(6) 四则运算法则：

lim,lim,i)lim();ii)lim;iii)lim,0,0.nnnnnnnnnnnnnnaabbababababaabbbb设则其中

(7) 与子列的关系：数列{}na收敛数列{}na的任何非平凡子列都收敛.

3. 数列极限存在的条件

递增数列：121nnaaaa；

递减数列：121nnaaaa.

(1) 单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限. 精品文档

精品文档 (2) 柯西收敛准则：0,,,,||.nmNnmNaa

（二）函数极限

1. 函数极限和非正常极限概念

函数极限定义(通过对比加以理解)：

(1) lim()0,0,,().xfxAkxkfxA当时恒有

(2) lim()0,0,,().xfxAkxkfxA当时恒有

(3) lim()0,0,,().xfxAkxkfxA当时恒有

(4)

00lim()0,0,0,().xxfxAxxfxA当时恒有

(5)

00lim()0,0,0,().xxfxAxxfxA当时恒有

(6)

00lim()0,0,0,().xxfxAxxfxA当时恒有

上述左极限0lim()xxfx和右极限0lim()xxfx也可以写成0(0)fx和0(0)fx.

定理：000lim()(0)(0).xxfxAfxfxA

非正常极限定义（只列出2个，其余可以类似写出）：

(1)

0lim()xxfx00,0,0||,().MxxfxM当时恒有

(2) lim()xfx0,0,||,().MkxkfxM当时恒有

2. 函数极限的基本性质

下面只以0lim()xxfx为代表来说明，其余类型极限的性质可以类似写出.

(1) 唯一性定理：若0lim()xxfx存在,则极限唯一.

(2) 局部有界性定理：若0lim()xxfx存在，则()fx在0x的某个空心邻域00()Ux内有界.

(3) 局部保号性定理：若0lim(),xxfxA则rA(或rA),0,当00(,)xUx时，有()fxr(或()fxr).

(4)保不等性定理:设0lim()xxfx与0lim()xxgx都存在，且在某邻域00(;)Ux内有()(),fxgx则00lim()lim().xxxxfxgx 精品文档

精品文档 (5) 迫敛性定理：设00lim()lim(), xxxxfxgxA且在某邻域00(;)Ux内有()() ()fxhxgx 则0lim().xxhxA

(6) 四则运算法则：

00000lim(),lim(),(1)lim(()());(2)lim()();()(3)lim,0.()xxxxxxxxxxfxAgxBfxgxABfxgxABfxABgxB设则其中

3.函数极限存在的条件

(1) 归结原则（也称为海涅定理）：设()fx在00(;)Ux内有定义.

0lim()xxfx存在任意含于邻域00(;)Ux且以0x为极限的数列{},nx极限lim()nnfx存在且相等.

(2) 柯西准则：设函数()fx在邻域00(;')Ux内有定义.

0lim()xxfx存在0,正数('),00',''(;),xxUx有|(')('')|.fxfx

4. 两个重要极限

(1) 0sinlim1.xxx

(2) 1lim(1).xxex

由归结原则得1lim(1).nnen

5. 无穷小量与无穷大量

(1) 无穷小量定义：

i) 设函数()fx在某邻域00(;)Ux内有定义. 若0lim()0xxfx， 则称()fx为当0xx时的无穷小量.

ii) 设函数()gx在某邻域00(;)Ux内有界，则称()gx为当0xx时的有界量.

由无穷小量的定义可知，两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量；无穷小量与有界量的乘积为无穷小量．

(2) 定理：0lim()()(),xxfxAfxAx其中()x是当0xx时的无穷小.

(3) 无穷小量阶的比较 精品文档

精品文档 无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢．

若无穷小量f与g满足0lim0xxfxgx，则称当0xx时f为g的高阶无穷小量，g为f的低阶无穷小量，记作fxgx（0xx）．特别，f为当0xx时的无穷小量，记作()1fx（0xx）．

若存在正数K和L，使得在某邻域00Ux上有()fxKLgx，则称无穷小量f与g为当0xx时的同阶无穷小量．特别当0lim0()xxfxcgx时，f与g必为同阶无穷小量．

若无穷小量f与g满足()fxLgx，00xUx，则记作0( ).fxOgxxx

特别，若f 在某00Ux 内有界，则记为1fxO（0xx）．甚至当0( )fxogxxx 时，也有fxOgx（0xx）．

若无穷小量f与g满足0lim1()xxfxgx，则称f与g为当0xx 时的等价无穷小量，记作~fxgx（0xx）．

应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较．例如，当0x 时，1sinxx 和2x 都是无穷小量，但它们的比

21sinxxx=11sinxx

或 21sinxxx=1sinxx

当0x 时都不是有界量，所以这两个无穷小量不能进行阶的比较．

下述定理表明了等价无穷小量在求极限问题中的作用．

定理： 设函数f，g，h 在邻域00Ux 内有定义，且有~fxgx（0xx）．

ⅰ) 若0limxxfxhxA，则0lim;xxgxhxA

ⅱ) 若0limxxhxBfx，则 0lim.xxhxBgx

(4) 无穷大量

定义：对于自变量x的某种趋向（或n时），所有以、或为非正常极限的函数（包括数列），都称无穷大量． 精品文档

精品文档 定理：ⅰ)设f在00Ux内有定义且不等于0．若f为当0xx时的无穷小量，则1f为当0xx时的无穷大量．

ⅱ)若g为当0xx时的无穷大量，则1g为当0xx时的无穷小量．

由上述定理，对无穷大量的讨论可归结为无穷小量的研究．

（三）一元函数的连续性

1. 函数在点0x连续的定义: 设函数fx在0x的某邻域内有定义. 若00lim,xxfxfx 则称函数fx在0x点连续.

若记00,xxxyfxfx ，则00limxxfxfx 的等价叙述为0lim0xy，于是函数fx在0x 点连续的定义又可以写成:

定义: 设函数fx在0x的某邻域内有定义. 若0lim0xy,则称fx在0x点连续.

改用语言叙述，则fx 在0x点连续可以定义为：

定义: 设函数fx在0x的某邻域内有定义. 若对0，0使得当0xx时，都有0fxfx， 则称fx在0x点连续.

2. 函数在点0x左、右连续的定义

相应于在0x的左、右极限的概念，我们给出左右连续的定义如下：

定义: 设函数fx在0x的某左（右）邻域内有定义. 若00limxxfxfx（或00limxxfxfx）, 则称fx在0x左（或右）连续.

定理: 函数fx在0x点连续fx在0x点既左连续又右连续.

与上述定理等价的否定叙述：

定理: 函数fx在0x点不连续fx在0x点或不左连续或不右连续.

3. 函数的间断点（不连续点）及其分类

定义：设函数f在某领域00Ux内有定义. 若f在点0x无定义，或在点0x有定义但不连续，则称点0x 为函数f的间断点或不连续点.

由连续的定义知，函数fx在0x点不连续必出现如下3种情形之一: