习题2-1
1. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1)
1nn
x
n
; (2) 2(1)n
nx
；
(3) 1
3(1)n
nx
n
； (4)
21
1
nx
n
.
解：(1) 此数列为
12341234
,,,,,,
23451nn
xxxxx
n
所以lim1
n
nx
。
(2)
12343,1,3,1,,2(1),n
nxxxxx
所以原数列极限不存在。 (3)
12341111
31,3,3,3,,3(1),
234n
nxxxxx
n
所以lim3
n
nx
。 (4)
1234
21111
11,1,1,1,,1,
4916nxxxxx
n
所以lim1
n
nx
2.下列说法是否正确：
(1)收敛数列一定有界 ;
(2)有界数列一定收敛；
(3)无界数列一定发散；
(4)极限大于0的数列的通项也一定大于0.
解：(1) 正确。
(2) 错误 例如数列
(-1)n
有界，但它不收敛。
(3) 正确。
(4) 错误 例如数列2
1(1)n
nx
n
极限为1，极限大于零，但是
11x
小于零。
*
3.用数列极限的精确定义证明下列极限：
(1) 1
(1)
lim1n
nn
n
;
(2) 2
22
lim1
1
nn
nn
； (3)
32
3125
lim
nn
n
证：(1) 对于任给的正数ε，要使1
(1)1
11n
nn
x
nn
，只要1
n
即可，所以可取正整数1
N
.
因此，0
，1
N
，当nN
时，总有1
(1)
1n
n
n
，所以 1
(1)
lim1n
nn
n
.
(2) 对于任给的正数ε，当3n
时， 要使2
222223322
11
111nnnnn
x
nnnnnnnnn
，只要2
n
即可，所以可取正整数2
max,3N
周世国：《微积分》讲义第一章
周 世 国 讲 义
第一章 函数的极限
第一节 数列的极限
一．数列的极限
1．定义1：按一定次序排列着的无穷多个数：x1,x2, ,xn, 称为一个数列，记为{xn}或间记为xn.也称xn为数列{xn}的通项.
二．数列的极限
1．引例 观察下列几个数列的取值规律：
111 （1）{xn}：1,,,...,,... 23n
11⎛1⎫ （2）{yn}:,, , ⎪, 24⎝2⎭
（3）:{zn}1,-1,1,-1,...,(-1)
（4）{wn}:1,2,3, ,n,
这几个数列的取值都有明显的规律性.但前两个数列随着n无限地增大，其取值明显地会无限地接近某个常数，我们就称这两个数列具有极限,并分别记为limxn=0，limyn=0.而后两个数列则不然，如数列{zn}的取值随着n无限地n→∞n→∞n-1n,...
增大，始终在1与-1之间来回变动，而不会无限地接近某个常数，这时我们就称数列{zn}无极限.又如数列{wn}的取值随着n无限地增大也无限地增大，此时，我们也称数列{wn}无极限.为了体现出数列{wn}的这种取值随着n无限地增大也无限地增大的特点，形象地记limwn=∞，但我们一定要论清楚，数列{wn}其实n→∞
是无极限的.
问题：请同学们自己观察出下列数列的取值规律：
（1）{xn}:c,c, ,c,
（2）{yn}:-1,-2, ,-n,
（3）{zn}:2,,...22,23, ,2n,
周世国：《微积分》讲义第一章
（4）{Wn}:1111,2,3, ,n, 2222
注意：
（1）.刚才几个常见数列的结果要会背，可作为结论来使用；
（2）如果所给的数列取值无任何规律可循，如何求它的极限？（无任何规律可
循的数列，其自然无极限；另外，我们也根本不会去研究这种无任何规律可循的
无穷数列.）
2．数列极限的定义
（1）.描述性定义：设有数列{xn}，如果当n无限地增大，数列{xn}的值就会无
高等数学2 极限
高等数学是用极限做工具
lim n+1/n =1(n→∞)
n
例; n越来越大
则Xn也越来越大，由于ε>0
但ε→0，
所以Xn→a
两个数列如果都有极限，运算后的数列也一样是极限。
和的极限=极限的和 差的极限=极限的差
积的极限=极限的积 商的极限=极限的商（分母和分母的极限不为0）
公式：1^2+2^2+3^2+......+n^2 = n(n+1)(2n+1)/6 它的极限是1，后者极限是2
并不是每个当x→a时，都可把a带入自变量，而成因变量，也就是函数值（极限)
分段函数 因为左右极限不等，所以极限不存在。
2 函数极限总结
一．极限的产生
极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。
极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期，但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中，牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。但迟至18世纪下半叶，达朗贝尔等人才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最先给出了极限的描述性定义，之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义（ε-δ和ε-N定义）。
从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则，使极限理论成为了微积分的工具和基础。[1]
二．极限知识点总结
1. 极限定义
函数极限：设函数f(x)在点的x0某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数 ，使得当x满足不等式时，对应的函数值 都满足不等式：
那么常数A就叫做函数f(x) 当x→x0时的极限，记作。[2]
单侧极限：.左极限：或
.右极限：或
定理：
函数当时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相等 即。
2.
极限概念
函数极限可以分成以的极限为例，f(x)
在点x0以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式时，对应的函数值f(x)都满足不|x-x|00|)(|AxfAxfxx)(lim0Axfxx)(lim)()(左xAxfAxfxx)(lim)()(右xAxfAxfxfAxfxx)()()(lim0)()()()()(0000lim0xfxfxfxfxfxx)(xf0xx)()()(lim000xfxfxfxx0,,,xxxxx0xx 3 等式：|f(x)-A|
函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性[2]
