2014年高考湖南理科数学试题及答案解析版

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2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

（1）【2014年湖南，理1，5分】满足iizz（i为虚数单位）的复数z（

）

（A）11i22 （B）11i22 （C）11i22 （D）11i22

【答案】B

【解析】由题意ii11iii1iii1i22zzzzzz，故选B．

（2）【2014年湖南，理2，5分】对一个容量为N的总体抽取容量为m的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,ppp，则（ ）

（A）123ppp （B）231ppp （C）132ppp （D）123ppp

【答案】D

【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，分层抽样，系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即123ppp，故选D．

（3）【2014年湖南，理3，5分】已知fx，gx分别是定义R在上的偶函数和奇函数，且321fxgxxx，则11fg（ ）

（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3

【答案】C

【解析】分别令1x和1x可得113fg且111fg，则1131211111fgffgg 111fg，故选C．

（4）【2014年湖南，理4，5分】51(2)2xy的展开式中23xy的系数是（ ）

（A）-20 （B）-5 （C）5 （D）20

【答案】A

【解析】第1n项展开式为55122nnnCxy，则2n时，2532351121022022nnnCxyxyxyg，故选A．

（5）【2014年湖南，理5，5分】已知命题p：若xy，则xy；命题q：若xy，则22xy．在命题①pq；②pq；③()pq；④()pq中，真命题是（ ）

（A）①③ （B）①④ （C）②③ （D）②④

【答案】C

【解析】当xy时,两边乘以1可得xy，所以命题p为真命题,当1,2xy时,因为22xy，所以命题q为假命题，所以②③为真命题，故选C．

（6）【2014年湖南，理6，5分】执行如图所示的程序框图，如果输入的2,2t，则输出

的S属于（ ）

（A）6,2 （B）5,1 （C）4,5 （D）3,6

【答案】D

【解析】当2,0t时,运行程序如下，2211,9,32,6ttSt，当0,2t时，

33,1St，则2,63,13,6SU，故选D．

（7）【2014年湖南，理7，5分】一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打

磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 2

xyO12【答案】B

【解析】由图可得该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，

则2286862rrr，故选B．

（8）【2014年湖南，理8，5分】某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年的生产总值的年平均增长率为（ ）

（A）2pq （B）(1)(1)12pq （C）pq （D）(1)(1)1pq

【答案】D

【解析】设两年的平均增长率为x,则有2111xpq111xpq，故选D．

（9）【2014年湖南，理9，5分】已知函数发sinfxx，且230()0xfxdx，则函数fx的图象的一条对称轴是（

）

（A）56x （B）712x （C）3x （D）6x

【答案】A

【解析】解法一：

函数fx的对称轴为2xk2xk，

因为2302sin0coscos03xdxsin03，

所以23k或423k，则56x是其中一条对称轴，故选A．

解法二：

由定积分的几何性质与三角函数图象可知,03是函数()sin()fxx的一个对称中心，所以sin()03，所以3k，故选A．

（10）【2014年湖南，理10，5分】已知函数21()(0)2xfxxex与2()ln()gxxxa的图像上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（ ）

（A）1(,)e （B）(,)e （C）1()ee, （D）1()ee-，

【答案】B

【解析】由题可得函数()fx的图像上存在点020001(,)(0)2xPxxex关于y轴对称的点02001(,)2xQxxe在函数2()ln()gxxxa的图像上，从而有0220001ln()2xxexxa，即001ln()02xexa．

问题等价于函数1()ln()2xhxexa在,0x存在零点．

解法一：

1'()0xhxexa，()hx在,0x单调递增，当x时，()hx，要使()hx在,0存在零点，则1(0)1ln02ha，从而ae，故选B．

解法二：

问题等价于函数1()2xxe与()ln()xxa的图象在,0有交点,在同

一坐标系中作出这两个函数的图象，当()ln()xxa的图象在左右平移的过程 3

中，(0)(0)h即可，即ae，故选B．

二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．

（一）选做题：在11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按全两题记分．

（11）【2014年湖南，理11，5分】在平面直角坐标系中，倾斜角为4的直线l与曲线2cos:1sinxCy

（为参数）交于,AB两点，且2AB，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标

系，则直线l的极坐标方程是 ．

【答案】2sin42

【解析】曲线C的普通方程为22211xy,设直线l的方程为yxb，因为弦长2AB，所以圆心2,1

到直线l的距离0d，所以圆心在直线l上，故1yx2sincos1sin42．

（12）【2014年湖南，理12，5分】如图3，已知,ABAC是Oe的两条弦，,3AOBCAB，22BC则Oe

的半径等于 ．

【答案】32

【解析】设线段AO交BC于点D延长AO交圆与另外一点E，则2BDDC，由三角形ABD的勾股定理可得1AD，由双割线定理可得2BDDCADDEDEgg，则直径332AEr．

（13）【2014年湖南，理13，5分】若关于x的不等式23ax的解集为5133xx，则a ．

【答案】3

【解析】由题可得52331233aa3a．

（二）必做题（14~16题）

（14）【2014年湖南，理14，5分】若变量,xy满足约束条件4yxxyyk，且2zxy的最小值为6，则k ．

【答案】2

【解析】求出约束条件中三条直线的交点为,,4,kkkk,2,2，且,4yxxy的可行域

如图,所以2k，则当,kk为最优解时，362kk，当4,kk为最优解时，24614kkk，因为2k，所以2k．

（15）【2014年湖南，理15】如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为,()abab，原点O为AD的中点，抛物线经过,CF两点，则ba ．

【答案】21

【解析】由题可得,,,22aaCaFbb，则2222apaabpb21ab．

（16）【2014年湖南，理16，5分】在平面直角坐标系中，O为原点，(1,0),(0,3),(3,0)ABC，

动点D满足1CDuuur，则OAOBODuuuruuuruuur的最大值是 ．

【答案】17 4

【解析】动点D的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，可设D的坐标为(3cos,sin)，

则(2cos,3sin)OAOBODuuuruuuruuur．222cos3sinOAOBODuuuruuuruuur

822cos3sin87sin，其中43sin,cos77，

当sin1时，OAOBODuuuruuuruuur的取到最大值17．

三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

（17）【2014年湖南，理17，12分】某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35．现

安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B．设甲、乙两组的研发相互独立．

（1）求至少有一种新产品研发成功的概率；

（2）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100

万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．

解：记{E甲组研发新产品成功}，{F乙组研发新产品成功}．由题意知2132(),(),(),()3355PEPEPFPF，

且E与F，E与F，E与F，E与F都相互独立．

（1）记{E至少有一种新产品研发成功}，则HEF，于是122()()()3515PHPEPF，

故所求的概率为13()1()15PHPH．

（2）设企业可获利润为X，则X的可能取值为0,100,120,220．因122(0)()3515PXPEF，