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高考数学一轮复习 题组层级快练32(含解析)

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1 题组层级快练(三十二)

1．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是( )

A．|a|＝a·a B．|a·b|＝|a||b|

C．λ(a·b)＝λa·b D．|a·b|≤|a||b|

答案 B

解析 |a·b|＝|a||b||cosθ|，故B错误．

2．已知向量a与b的夹角为π3，|a|＝2，则a在b方向上的投影为( )

A.3 B.2

C.22 D.32

答案 C

解析 ∵a在b方向上的投影为|a|·cos〈a，b〉＝2cosπ3＝22.选C.

3．(2014·山东文)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为π6，则实数m＝( )

A．23 B.3

C．0 D．－3

答案 B

解析 根据平面向量的夹角公式可得1×3＋3m2×9＋m2＝32，即3＋3m＝3×9＋m2，两边平方并化简得63m＝18，解得m＝3，经检验符合题意．

4．(2014·重庆理)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( )

A．－92 B．0

C．3 D.152

答案 C

解析 因为2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3，选C.

5．若|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角θ＝150°，则a·(a－b)＝( )

A．1 B．－1

C．7 D．－7

答案 C

解析 a·(a－b)＝a2－a·b＝4－2×3×(－32)＝7.故选C. 2 6．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，(a＋b)·b＝32，则向量a，b的夹角为( )

A．30° B．45°

C．60° D．90°

答案 C

解析 ∵(a＋b)·b＝b2＋a·b＝1＋a·b＝32，

∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝12，cos〈a，b〉＝12，〈a，b〉＝60°.故选C.

7．已知向量a＝(1,2)，a·b＝5，|a－b|＝25，则|b|等于( )

A.5 B．25

C．5 D．25

答案 C

解析 由a＝(1,2)，可得a2＝|a|2＝12＋22＝5.

∵|a－b|＝25，∴a2－2a·b＋b2＝20.

∴5－2×5＋b2＝20.∴b2＝25.∴|b|＝5，故选C.

8．已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：( )

p1：|a＋b|>1⇔θ∈[0，2π3)；

p2：|a＋b|>1⇔θ∈(2π3，π]；

p3：|a－b|>1⇔θ∈[0，π3)；

p4：|a－b|>1⇔θ∈(π3，π]．

其中的真命题是( )

A．p1，p4 B．p1，p3

C．p2，p3 D．p2，p4

答案 A

解析 |a＋b|>1⇔(a＋b)2>1，而(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝2＋2cosθ>1，

∴cosθ>－12，解得θ∈[0，2π3)，同理，由|a－b|>1⇔(a－b)2>1，可得θ∈(π3，π]．

9．已知向量a，b是非零向量，且满足a·b＝－|b|，则“|a|＝1”是“向量a与b反向”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案 C

解析 ∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－|b|， 3 ∴|a|cos〈a，b〉＝－1.

若|a|＝1，则cos〈a，b〉＝－1，∴〈a，b〉＝π，∴a与b反向．

若a与b反向，则cos〈a，b〉＝－1，∴|a|＝1.

10．如图所示，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，则下列向量的数量积中最大的是(

)

A.P1P2→·P1P3→ B.P1P2→·P1P4→

C.P1P2→·P1P5→ D.P1P2→·P1P6→

答案 A

解析 由于P1P2→⊥P1P5→，故其数量积是0，可排除C；P1P2→与P1P6→的夹角为23π，故其数量积小于0，可排除D；设正六边形的边长是a，则P1P2→·P1P3→＝|P1P2→||P1P3→|cos30°＝32a2，P1P2→·P1P4→＝|P1P2→||P1P4→|cos60°＝a2.故选A.

11．(2014·陕西文)设0

答案 12

解析 利用向量的数量积列出关于θ的三角等式并利用倍角公式、同角三角函数的基本关系式变形求解．

因为a·b＝0，所以sin2θ－cos2θ＝0,2sinθcosθ＝cos2θ.

因为00，得2sinθ＝cosθ，tanθ＝12.

12．若向量OA→＝(1，－3)，|OA→|＝|OB→|，OA→·OB→＝0，则|AB→|＝________.

答案 25

解析 方法一：设OB→＝(x，y)，由|OA→|＝|OB→|，知x2＋y2＝10.又OA→·OB→＝x－3y＝0，所以x＝3，y＝1，或x＝－3，y＝－1.当x＝3，y＝1时，|AB→|＝25；当x＝－3，y＝－1时，|AB→|＝25，则|AB→|＝25.

方法二：由几何意义知，|AB→|就是以OA→，OB→为邻边的正方形的对角线长，所以|AB→|＝25.

13．(2015·济南模拟)已知在△ABC中，向量AB→与BC→的夹角为π6，|AC→|＝2，则|AB→|的取值范围是 4 ________．

答案 (0,2)

解析 由向量AB→与BC→的夹角为π6，可得B＝5π6.在△ABC中，由正弦定理，可知|AC|sinB＝|AB|sinC，所以|AB|＝|AC|sinCsinB＝2sinCsin5π6＝4sinC.因为B＝5π6，所以C∈(0，π6)，所以sinC∈(0，12)，因此|AB→|的取值范围为(0,2)．

14．(2014·新课标全国Ⅰ理)已知A，B，C为圆O上的三点，若AO→＝12(AB→＋AC→)，则AB→与AC→的夹角为________．

答案 90°

解析 ∵AO→＝12(AB→＋AC→)，

∴点O是△ABC中边BC的中点．

∴BC为直径，根据圆的几何性质有〈AB→，AC→〉＝90°.

15．(2013·江西理)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为π3，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的投影为________．

答案 52

解析 向量a在b方向上的投影为|a|·cos〈a，b〉＝a·b|b|，又a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e21＋6e1·e2＝2＋6×12＝5，|b|＝|2e1|＝2，∴|a|·cos〈a，b〉＝52.

16．若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值是________．

答案 －98

解析 由|2a－b|≤3可知，4a2＋b2－4a·b≤9，所以4a2＋b2≤9＋4a·b.而4a2＋b2＝|2a|2＋|b|2≥2|2a|·|b|≥－4a·b，所以a·b≥－98，当且仅当2a＝－b时取等号．

17．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE→·CB→的值为________；DE→·DC→的最大值为________．

答案 1,1

解析 以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．则D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)．设E(1，a)(0≤a≤1)，所以DE→·CB→＝(1，a)·(1,0)＝1，DE→·DC→＝(1，a)·(0,1)＝a≤1.故DE→·DC→的最大值为1. 5

18．设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为π3，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

答案 (－7，－142)∪(－142，－12)

解析 由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，得2te1＋7e2·e1＋te2|2te1＋7e2||e1＋te2|<0，

即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，

化简即得2t2＋15t＋7<0，

解得－7

当夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，

但此时夹角不是钝角．

设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，

可求得 2t＝λ，7＝λt，λ<0， ∴ λ＝－14，t＝－142.

∴所求实数t的范围是(－7，－142)∪(－142，－12)．

19．(2015·浙江余杭高中期中)已知向量m＝(1,1)，向量n与向量m的夹角为34π，且m·n＝－1.

(1)求向量n；

(2)若向量n与向量q＝(1,0)的夹角为π2，向量p＝(2sinA,4cos2A2)，求|2n＋p|的值．

答案 (1)n＝(－1,0)或n＝(0，－1) (2)2

解析 (1)设n＝(x，y)，由m·n＝－1，有x＋y＝－1.①

∵m·n＝|m|·|n|cos34π＝－1，

∴|n|＝1，则x2＋y2＝1.②

由①②得 x＝－1，y＝0或 x＝0，y＝－1.即n＝(－1,0)或n＝(0，－1)．

(2)由n与q垂直，得n＝(0，－1)．

6 ∴2n＋p＝(2sinA,4cos2A2－2)＝(2sinA,2cosA)．

∴|2n＋p|＝4sin2A＋4cos2A＝2.

1．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．

答案 [π6，5π6]

解析

由题意，得|α||β|sinθ＝12，∵|α|＝1，|β|≤1，∴sinθ＝12|β|≥12.又∵θ∈[0，π]，∴θ∈[π6，5π6]．故填[π6，5π6]．

2．在正三角形ABC中，D是BC上的点，若AB＝3，BD＝1，则AB→·CD→＝________.

答案 152

解析 如图所示，AB→·AD→＝AB→·(AB→＋BD→)＝9＋3×cos120°＝152，故填152.

3．(2013·福建)在四边形ABCD中，AC→＝(1,2)，BD→＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )

A.5 B．25

C．5 D．10

答案 C

解析 AC→·BD→＝(1,2)·(－4,2)＝0，故AC→⊥BD→.故四边形ABCD的对角线互相垂直，面积S＝12·|AC→|·|BD→|＝12×5×25＝5，选C.

4．(2014·大纲全国理)若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝( )

A．2 B.2

C．1 D.22

答案 B

解析 利用向量的运算列式求解．

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【2020最新】人教版最新高考数学一轮复习-题组层级快练(含解析)(1)附参考答案

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【2020最新】人教版最新高考数学一轮复习-题组层级快练(含解析)(1)附参考答案

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(附参考答案)

1．若椭圆＋＝1过点(－2，)，则其焦距为( )

A．2 B．23

C．4 D．43

答案 D

解析 ∵椭圆过(－2，)，则有＋＝1，b2＝4，c2＝16－4＝12，c＝2，2c＝4.故选D.

2．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )

A.＋＝1 B.＋＝1

C.＋y2＝1 D.＋＝1

答案 A

解析 圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝16.

知其半径r＝4，∴长轴长2a＝4，∴a＝2.

又e＝＝，∴c＝1，b2＝a2－c2＝4－1＝3.

∴椭圆的标准方程为＋＝1.

3．已知曲线C上的动点M(x，y)，向量a＝(x＋2，y)和b＝(x－2，y)满足|a|＋|b|＝6，则曲线C的离心率是( )

A. B.3

C. D.13

答案 A

解析 因为|a|＋|b|＝6表示动点M(x，y)到两点(－2,0)和(2,0)距离的和为6，所以曲线C是椭圆且长轴长2a＝6，即a＝3.又c＝2，∴e＝.

3 / 10 4．已知椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值为( )

A．3 B．3或253

C. D.或5153

答案 B

解析 若焦点在x轴上，则有∴m＝3.

若焦点在y轴上，则有∴m＝.

5．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是( )

A．圆 B．椭圆

C．双曲线 D．抛物线

答案 B

解析 点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|.又AM是圆的半径，∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|.由椭圆的定义知，P的轨迹是椭圆．

高考数学一轮复习题组层级快练49(含解析)

高考数学一轮复习题组层级快练49(含解析)

1 题组层级快练(四十九)

1．三视图如图的几何体是(

)

A．三棱锥 B．四棱锥

C．四棱台 D．三棱台

答案 B

解析 几何体底面为四边形，侧面是三角形，故选B.

2．如图所示，几何体的正视图与侧视图都正确的是(

)

答案 B

解析 侧视时，看到一个矩形且不能有实对角线，故A，D排除．而正视时，有半个平面是没有的，所以应该有一条实对角线，且其对角线位置应为B中所示，故选B.

3．一个几何体的三视图如图，则组成该几何体的简单几何体为(

)

A．圆柱和圆锥 B．正方体和圆锥

C．四棱柱和圆锥 D．正方体和球

答案 C

4.(2015·东北四校模拟)如图所示，三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是(

)

2

答案 B

解析 三棱锥的正视图应为高为4，底边长为3的直角三角形．

5．(2015·南京质检)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是(

)

A．8 B．62

C．10 D．82

答案 C

解析 由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为6,62，8,10，所以面积最大的是10，故选择C.

6.(2015·山西四校联考)如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是(

)

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等腰直角三角形

D．钝角三角形

答案 B

7．(2014·四川文)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是(

)

A．3 B．2

C.3 D．1

答案 D

解析 由俯视图可知三棱锥的底面是一个边长为2的正三角形，底面面积为12×2×2×sin60°＝3， 3 由侧视图可知三棱锥的高为3，故此三棱锥的体积V＝13×3×3＝1，故选D.

8．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为(

)

答案 D

【高考调研】高考数学一轮复习 题组层级快练30(含解析)

【高考调研】高考数学一轮复习 题组层级快练30(含解析)

题组层级快练(三十)

1．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

答案 A

解析 若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b；若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．

2．设a是任一向量，e是单位向量，且a∥e，则下列表示形式中正确的是( )

A．e＝a|a| B．a＝|a|e

C．a＝－|a|e D．a＝±|a|e

答案 D

解析 对于A，当a＝0时，a|a|没有意义，错误；

对于B，C，D当a＝0时，选项B，C，D都对；

当a≠0时，由a∥e可知，a与e同向或反向，选D.

3．(2015·北京东城期中)已知ABCD为平行四边形，若向量AB→＝a，AC→＝b，则向量BD→为( )

A．a－b B．a＋b

C．b－2a D．－a－b

答案 C

4.如图所示，在正六边形ABCDEF中，BA→＋CD→＋EF→＝(

)

A．0 B.BE→

C.AD→ D.CF→

答案 D

解析 由于BA→＝DE→，故BA→＋CD→＋EF→＝CD→＋DE→＋EF→＝CF→.

5．(2015·广东惠州二中模拟)已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且OP→＝3OA→－OB→2，则( )

A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的反向延长线上

C．点P在线段AB的延长线上

D．点P不在直线AB上

答案 B

解析 OP→＝3OA→－OB→2＝32OA→－12OB→＝OA→＋12(OA→－OB→)＝OA→＋12BA→，即OP→－OA→＝AP→＝12BA→，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.

6．在△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若CB→＝a，CA→＝b，|a|＝1，|b|＝2，则CD→＝( )

A.13a＋23b B.23a＋13b

新高考数学复习知识点讲解与练习32---含绝对值的不等式

新高考数学复习知识点讲解与练习32---含绝对值的不等式

1 / 17 新高考数学复习知识点讲解与练习

含绝对值的不等式

知识梳理

1.绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x|a的解集

不等式 a>0 a＝0 a<0

|x|

|x|>a (－∞，－a)∪(a，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) R

(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法

①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；

②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.

(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法

①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.

2.含有绝对值的不等式的性质

(1)如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立；

(2)|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|；

(3)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号2 / 17 成立.

1.绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法.

2.不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决.

3.可以利用绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件.

诊断自测

1.判断下列说法的正误.

(1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.()

(2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为∅.()

(3)对于|a＋b|≥|a|－|b|，当且仅当a＞b＞0时等号成立.()

(4)对于|a|－|b|≤|a－b|，当且仅当|a|≥|b|时等号成立.()

(5)对于|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≤0时等号成立.()

答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√