高考数学一轮复习-题组层级快练62(含解析)

高考复习题组层级快练(附参考答案)

1．若椭圆x216＋y2b2＝1过点(－2，3)，则其焦距为( )

A．25 B．23

C．45 D．43

答案 D

解析 ∵椭圆过(－2，3)，则有416＋3b2＝1，b2＝4，c2＝16－4＝12，c＝23，2c＝43.故选D.

2．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )

A.x24＋y23＝1 B.x216＋y212＝1

C.x24＋y2＝1 D.x216＋y24＝1

答案 A

解析 圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝16.

知其半径r＝4，∴长轴长2a＝4，∴a＝2.

又e＝ca＝12，∴c＝1，b2＝a2－c2＝4－1＝3.

∴椭圆的标准方程为x24＋y23＝1.

3．已知曲线C上的动点M(x，y)，向量a＝(x＋2，y)和b＝(x－2，y)满足|a|＋|b|＝6，则曲线C的离心率是( )

A.23 B.3

C.33 D.13

答案 A

解析 因为|a|＋|b|＝6表示动点M(x，y)到两点(－2,0)和(2,0)距离的和为6，所以曲线C是椭圆且长轴长2a＝6，即a＝3.又c＝2，∴e＝23.

4．已知椭圆x25＋y2m＝1的离心率e＝105，则m的值为( )

A．3 B．3或253

C.15 D.15或5153 答案 B

解析 若焦点在x轴上，则有 5>m，5－m5＝105.∴m＝3.

若焦点在y轴上，则有 m>5，m－5m＝105.∴m＝253.

5．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是( )

A．圆 B．椭圆

C．双曲线 D．抛物线

答案 B

解析 点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|.又AM是圆的半径，∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|.由椭圆的定义知，P的轨迹是椭圆．

6．(2015·广东韶关调研)已知椭圆与双曲线x24－y212＝1的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，那么椭圆的离心率等于( )

A.35 B.45

C.54

D.34

答案 B

解析 因为双曲线的焦点在x轴上，所以设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，所以根据椭圆的定义可得2a＝10⇒a＝5，则c＝4＋12＝4，e＝ca＝45，故选B.

7．(2015·广东广州二模)设F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为(

)

A.16

B.13

C.36 D.33

答案 D

解析 设PF1的中点为M，连接PF2，由于O为F1F2的中点，则OM为△PF1F2的中位线，所以OM∥PF2.

所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.

由于∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2|PF2|.

由勾股定理，得|F1F2|＝|PF1|2－|PF2|2

＝3|PF2|.

由椭圆定义，得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|⇒a＝3|PF2|2，2c＝|F1F2|＝3|PF2|⇒c＝3|PF2|2.

所以椭圆的离心率为e＝ca＝3|PF2|2·23|PF2|＝33.故选D.

8．(2015·河北邯郸一模)已知P是椭圆x225＋y2b2＝1(0

A．6 B．4

C．2 D.52

答案 C

解析 取PF1的中点M，连接OM，OP→＋OF1→＝2OM→，∴|OM|＝4.在△F1PF2中，OM是中位线，∴|PF2|＝8.∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，解得|PF1|＝2，故选C.

9．(2015·北京海淀期末练习)已知椭圆C：x24＋y23＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2，若点P是椭圆C上的动点，则F1P→·F2A→的最大值为(

)

A.32 B.332

C.94 D.154

答案 B

解析 由椭圆方程知c＝4－3＝1，所以F1(－1,0)，F2(1,0)．因为椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2，则可设A(1，y0)，代入椭圆方程可得y20＝94，所以y0＝±32.

设P(x1，y1)，则F1P→＝(x1＋1，y1)，F2A→＝(0，y0)，

所以F1P→·F2A→＝y1y0. 因为点P是椭圆C上的动点，所以－3≤y1≤3，F1P→·F2A→的最大值为332.故B正确．

10．(2015·河北唐山二模)已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与圆C2：x2＋y2＝b2，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是(

)

A．[12，1) B．[22，32]

C．[22，1) D．[32，1)

答案 C

解析 在椭圆长轴端点向圆引两条切线P′A，P′B，则两切线形成的角∠AP′B最小，若椭圆C1上存在点P令切线互相垂直，则只需∠AP′B≤90°，即α＝∠AP′O≤45°.

∴sinα＝ba≤sin45°＝22，解得a2≤2c2，∴e2≥12.

即e≥22.而0

11．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．

答案 x216＋y28＝1

解析 根据椭圆焦点在x轴上，可设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．

∵e＝22，∴ca＝22.根据△ABF2的周长为16得4a＝16，因此a＝4，b＝22，所以椭圆方程为x216＋y28＝1.

12．椭圆x225＋y216＝1上一点P到左焦点F的距离为6，若点M满足OM→＝12(OP→＋OF→)，则|OM→|＝________.

答案 2

解析 设右焦点为F′，由OM→＝12(OP→＋OF→)知M为线段PF中点，∴|OM→|＝12|PF′→|＝12(10－6)＝2.

13．已知动点P(x，y)在椭圆x225＋y216＝1上，若点A坐标为(3,0)，|AM→|＝1，且PM→·AM→＝0，则|PM→|的最小值是________．

答案 3

解析 ∵PM→·AM→＝0，∴AM→⊥PM→.

∴|PM→|2＝|AP→|2－|AM→|2＝|AP→|2－1. ∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，

故|AP→|min＝2，∴|PM→|min＝3.

14．已知点A(4,0)和B(2,2)，M是椭圆x225＋y29＝1上一动点，则|MA|＋|MB|的最大值为________．

答案 10＋210

解析 显然A是椭圆的右焦点，如图所示，设椭圆的左焦点为A1(－4,0)，连接BA1并延长交椭圆于M1，则M1是使|MA|＋|MB|取得最大值的点．事实上，对于椭圆上的任意点M有：

|MA|＋|MB|＝2a－|MA1|＋|MB|≤2a＋|A1B|(当M1与M重合时取等号)，∴|MA|＋|MB|的最大值为

2a＋|A1B|＝2×5＋62＋22＝10＋210.

15.如右图，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.

(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；

(2)若椭圆的焦距为2，且AF2→＝2F2B→，求椭圆的方程．

答案 (1)22 (2)x23＋y22＝1

解析 (1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形．所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.

所以a＝2c，e＝ca＝22.

(2)由题知A(0，b)，F2(1,0)，设B(x，y)，

由AF2→＝2F2B→，解得x＝32，y＝－b2.

代入x2a2＋y2b2＝1，得94a2＋b24b2＝1.

即94a2＋14＝1，解得a2＝3. 所以椭圆方程为x23＋y22＝1.

16．(2014·新课标全国Ⅱ)设F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N.

(1)若直线MN的斜率为34，求C的离心率；

(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.

答案 (1)12 (2)a＝7，b＝27

思路 本题主要考查椭圆的方程与基本量，考查椭圆的几何性质与离心率的计算，考查直线与椭圆的位置关系，意在考查考生的分析转化能力与运算求解能力．

(1)将M，F1的坐标都用椭圆的基本量a，b，c表示，由斜率条件可得到a，b，c的关系式，然后由b2＝a2－c2消去b2，再“两边同除以a2”，即得到离心率e的二次方程，由此解出离心率．若能抓住△MF1F2是“焦点三角形”，则可利用△MF1F2的三边比值快速求解，有：|F1F2|＝2c，|MF2|＝2c×34＝32c，则|MF1|＝52c，由此可得离心率e＝|F1F2||MF1|＋|MF2|＝12.(2)利用“MF2∥y轴”及“截距为2”，可得yM＝b2a＝4，此为一个方程；再转化条件“|MN|＝5|F1N|”为向量形式，可得到N的坐标，代入椭圆得到第二个方程．两方程联立可解得a，b的值．

解析 (1)根据c＝a2－b2及题设知Mc，b2a，b2a2c＝34，2b2＝3ac.

将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得ca＝12，ca＝－2(舍去)．

故C的离心率为12.

(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点．

故b2a＝4，即b2＝4a.①

由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|.

设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则

 －c－x1＝c，－2y1＝2，即 x1＝－32c，y1＝－1.

代入C的方程，得9c24a2＋1b2＝1.②

将①及c＝a2－b2代入②得a2－4a4a2＋14a＝1.