2018版必修二课后作业：第一章 立体几何初步 1-2-3 第
- 格式：doc
- 大小：897.58 KB
- 文档页数：14
第5课时 线面垂直的综合应用
学习目标 1.理解斜线在平面内的射影及与平面所成角的概念，会求简单的线面角.2.理解点到平面的距离的概念，会求简单的点面距离.3.线面平行与垂直的有关定理的综合运用．
知识点一 直线与平面所成的角
思考 直线与平面所成的角是如何定义的？取值范围是什么？
答案 平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．
规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．
直线与平面所成的角θ的取值范围是[0°，90°]．
梳理
有关概念 对应图形
斜线
一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，图中直线PA
斜足 斜线与平面的交点，图中点A
射影 过平面外一点P向平面α引斜线和垂线，那么过斜足A和垂足O的直线就是斜线在平面内的正投影(简称射影)，线段OA就是斜线段PA在平面α内的射影
直线与平面
所成的角 定义：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，图中为∠PAO，
规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角
取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°
知识点二 两种距离
1．点到平面的距离
从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离．
2．直线和平面的距离
一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离．
类型一 与线面角有关的问题
例1 已知∠BAC在平面α内，P∉α，∠PAB＝∠PAC.求证：点P在平面α内的射影在∠BAC的平分线上．
证明 如图所示，作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为O，E，F，连结OE，OF，OA.
PE⊥AB，PF⊥AC∠PAE＝∠PAFPA＝PA
⇒Rt△PAE≌Rt△PAF⇒AE＝AF.
PO⊥αAB⊂α⇒ AB⊥POAB⊥PEPO∩PE＝P
⇒AB⊥平面PEO⇒AB⊥OE.
同理，AC⊥OF.
在Rt△AOE和Rt△AOF中，AE＝AF，OA＝OA，
所以Rt△AOE≌Rt△AOF.
于是∠EAO＝∠FAO，
因此，点P在α内的射影O在∠BAC的平分线上．
反思与感悟 (1)求直线和平面所成角的步骤
①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；
②连结垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；
③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．
(2)在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，图形中的特殊点是突破口．
跟踪训练1 如图所示，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，C1H⊥AB，证明：点H是C1在平面ABC内的射影．
证明 连结AC1.
∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，
又AC⊥BC1，BC1∩AB＝B，
∴AC⊥平面ABC1.
又∵C1H⊂平面ABC1，
∴AC⊥C1H.
又AB⊥C1H，AB∩AC＝A，
∴C1H⊥平面ABC，
∴点H是C1在平面ABC上的射影．
类型二 直线与平面垂直的判定与性质的综合应用
例2 如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
证明 (1)在四棱锥P—ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC.
而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知，AE⊥CD，又PC∩CD＝C，
∴AE⊥平面PCD.
而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，
∴PD在底面ABCD内的射影是AD，
又∵AB⊥AD，∴AB⊥PD.
又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.
反思与感悟 证明线面垂直的核心是证明线线垂直，而证明线线垂直又可借助于线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．
跟踪训练2 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，AA1＝2a，D为棱B1B的中点．
(1)证明：A1C1∥平面ACD；
(2)求异面直线AC与A1D所成角的大小；
(3)证明：直线A1D⊥平面ADC.
(1)证明 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1.
又A1C1⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，
∴A1C1∥平面ACD.
(2)解 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，
∴A1A⊥AC.又∠BAC＝90°，
∴AC⊥AB.
∵AA1∩AB＝A，∴AC⊥平面A1ABB1，
又A1D⊂平面A1ABB1，∴AC⊥A1D.
∴异面直线AC与A1D所成的角为90°.
(3)证明 ∵△A1B1D和△ABD都为等腰直角三角形，
∴∠A1DB1＝∠ADB＝45°，
∴∠A1DA＝90°，
即A1D⊥AD.
由(2)知，A1D⊥AC，且AD∩AC＝A，
∴A1D⊥平面ADC.
1．下列说法：
①平面的斜线与平面所成的角的取值范围是0°
②直线与平面所成的角的取值范围是0°
③若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行；
④若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等．
其中正确的是________．(填序号)
答案 ①④
解析 ②应为0°≤θ≤90°；③中这两条直线可能平行，也可能相交或异面．
2．AB是平面α的斜线段，其长为a，它在平面α内的射影A′B的长为b，则垂线A′A的长为________．
答案 a2－b2
3．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系为______．
答案 垂直
解析 AB⊥平面BCC1B1，又MN⊂平面BCC1B1，
∴AB⊥MN.
4.若长方体ABCD—A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为________．
答案 3
解析 依题可知∠B1AB＝60°，A1C1∥平面ABCD，
A1A⊥平面ABCD，∴A1A即为A1C1到底面ABCD的距离．由题意得A1A＝B1B＝3.
5.如图所示，平面ABB1A1为圆柱OO1的轴截面，点C为底面圆周上异于A，B的任意一点．
(1)求证：BC⊥平面A1AC；
(2)若D为AC的中点，求证：
A1D∥平面O1BC.
证明 (1)∵AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的任意一点，∴BC⊥AC.
又在圆柱OO1中，AA1⊥底面⊙O，∴AA1⊥BC，
又AA1∩AC＝A，
∴BC⊥平面A1AC.
(2)取BC的中点E，连结DE，O1E，
∵D为AC的中点，
∴在△ABC中，DE∥AB，且DE＝12AB，
又在圆柱OO1中，A1O1∥AB，且A1O1＝12AB，
∴DE∥A1O1，DE＝A1O1，
∴四边形A1DEO1为平行四边形，∴A1D∥EO1.
而A1D⊄平面O1BC，EO1⊂平面O1BC，
∴A1D∥平面O1BC.
立体几何中经常遇到由一个点向一个平面引垂线的问题，垂线的位置是由这个点在平面内的射影来确定的，因此这个点的射影就是一个关键量，一般来说，可以直接由这个点作平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借助一些常见结论进行确定，如：
(1)如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上．
(2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹角相等，那么斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在的直线．
课时作业
一、填空题
1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，PA⊥平面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是____．
答案 8
解析 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
PA⊥平面ABC，∴AB⊥PA，PA⊥DA，PA⊥AC.
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，∴BP＝CP，可得PD⊥BC，
∴图中直角三角形有△PAC，△PAB，△PAD，△ABC，△ABD，△ADC，△BPD，△DPC，共8个．
2．下列命题：
① a⊥αb⊂α⇒a⊥b; ② a⊥αa∥b⇒b⊥α；
③ a⊥αb∥α⇒a⊥b; ④ a⊥bb⊂α⇒a⊥α；
⑤ a∥αa⊥b⇒b⊥α；⑥ a⊥αb⊥a⇒b∥α或b⊂α.
其中正确的命题是________．(填序号)
答案 ①②③⑥
3．已知△ABC的三条边长分别是5,12,13，点P到A，B，C三点的距离都等于7，则点P到平面ABC的距离为________．
答案 332
解析 由点P到△ABC三个顶点的距离相等可知，P在平面ABC上的射影为△ABC的外心．
∵△ABC为直角三角形，
∴其外心是斜边的中点，即点P在平面ABC上的射影是△ABC斜边的中点D，如图．
∴点P到平面ABC的距离为PD＝72－1322＝332.
4．下列四个正方体图形中，l是正方体的一条体对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形的序号)
