苏教版必修二：第一章 立体几何初步 1.2.1

1.2.1 平面的基本性质

学习目标 1.掌握平面的表示法，点、直线与平面的位置关系.2.掌握有关平面的三个公理及三个推论.3.会用符号表示图形中点、线、面之间的位置关系.

知识点一 平面的概念

思考 几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？

★★答案★★ 没有.水平放置的正方形的直观图

梳理 (1)平面的概念

广阔的草原、平静的湖面都给我们以平面的形象.和点、直线一样，平面也是从现实世界中抽象出来的几何概念.

(2)平面的画法

一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图

一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来.

(3)平面的表示方法

平面通常用希腊字母α，β，γ…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如图中的平面α、平面AC等.

知识点二 点、线、面之间的位置关系

思考 直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线，平面的位置关系，如何用符号来表示？直线和平面呢？ ★★答案★★ 点和直线，平面的位置关系可用数学符号“∈”或“∉”表示，直线和平面的位置关系，可用数学符号“⊂”或“⊄”表示.

梳理 点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达

位置关系 符号表示

点P在直线AB上 P∈AB

点C不在直线AB上 C∉AB

点M在平面AC上 M∈平面AC

点A1不在平面AC内 A1∉平面AC

直线AB与直线BC交于点B AB∩BC＝B

直线AB在平面AC内 AB⊂平面AC

直线AA1不在平面AC内 AA1⊄平面AC

知识点三 平面的基本性质

思考1 直线l与平面α有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面α内？有两个公共点呢？

★★答案★★ 前者不在，后者在.

思考2 观察下图，你能得出什么结论？

★★答案★★ 不共线的三点可以确定一个平面.

思考3 观察正方体ABCD—A1B1C1D1(如图所示)，平面ABCD与平面BCC1B1有且只有两个公共点B、C吗？

★★答案★★ 不是，平面ABCD与平面BCC1B1相交于直线BC.

梳理

公理

(推论) 文字语言 图形语言 符号语言 作用 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内

A∈αB∈α

⇒AB⊂α (1)判定直线在平面内；

(2)证明点在平面内

公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线 P∈αP∈β⇒α∩β＝l且P∈l (1)判断两个平面是否相交；

(2)判定点是否在直线上；

(3)证明点共线问题

公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C不共线⇒A，B，C确定一个平面α

(1)确定一个平面的依据.

(2)证明平面重合；

(3)证明点、线共面

推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面 A∉l⇒A和l确定一个平面α

推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 a∩b＝A⇒a，b确定一个平面α

推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 a∥b⇒a，b确定一个平面α

类型一 点、直线、平面之间的位置关系的符号表示

例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.

解 在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B. 在(2)中，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩l＝P，b∩l＝P.

反思与感悟 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.

(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.

跟踪训练1 根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：

(1)A∈α，B∉α；

(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；

(3)平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.

解 (1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①.

(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，

且点A不在直线l上，如图②.

(3)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC，如图③.

类型二 点线共面

例2 如图，已知：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.

证明 因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a⊂β，点P∈β.因为P∈b，b⊂α，所以P∈α.

又因为a⊂α，所以α与β重合，所以PQ⊂α.

引申探究

将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内.

解 已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.

求证：a，b，c和l共面.

证明：如图，∵a∥b，

∴a与b确定一个平面α.

∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α. 又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α.

∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，

同理l⊂β.

∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，

由公理3的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，

∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面.

反思与感悟 证明多线共面的两种方法

(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.

(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合.

跟踪训练2 已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C如图所示.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.

证明 方法一 (纳入平面法)

∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.

∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.

又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.

∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.

∴直线l1，l2，l3在同一平面内.

方法二 (辅助平面法)

∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.

∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.

∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.

∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.

同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.

∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，

∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.

类型三 点共线、线共点问题

命题角度1 点共线问题

例3 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线.

证明 如图，连结A1B，CD1，

显然B∈平面A1BCD1，

D1∈平面A1BCD1.

∴BD1⊂平面A1BCD1.

同理BD1⊂平面ABC1D1.

∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.

∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，

∴Q∈平面ABC1D1.

又∵A1C⊂平面A1BCD1，

∴Q∈平面A1BCD1.

∴Q在平面A1BCD1与ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，

∴B，Q，D1三点共线.

反思与感悟 证明多点共线通常利用公理2，即两相交平面交线的惟一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在直线上.

跟踪训练3 已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示.求证：P，Q，R三点共线.

证明 方法一 ∵AB∩α＝P，

∴P∈AB，P∈平面α.

又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.

∴由公理2可知：点P在平面ABC与平面α的交线上.

同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上. ∴P、Q、R三点共线.

方法二 ∵AP∩AR＝A，

∴直线AP与直线AR确定平面APR.

又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.

∵Q∈BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α，∴Q∈PR，

∴P、Q、R三点共线.

命题角度2 线共点问题

例4 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点.求证：CE、D1F，DA三线交于一点.

证明 如图，连结EF，D1C，A1B.

∵E为AB的中点，F为AA1的中点，∴EF綊12A1B.

又∵A1B綊D1C，

∴EF綊12D1C，

∴E，F，D1，C四点共面，

∴D1F与CE相交，设交点为P.

又D1F⊂平面A1D1DA，

CE⊂平面ABCD，

∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点.

又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，

根据公理2，可得P∈DA，

即CE、D1F、DA相交于一点.

反思与感悟 证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上.此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.

跟踪训练4 已知：平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2不平行.求证：l1，l2，l3相交于一点.

证明 如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，

α∩γ＝l3.

∵l1⊂β，l2⊂β，

且l1，l2不平行，∴l1与l2必相交.

设l1∩l2＝P，

则P∈l1⊂α，P∈l2⊂γ，

∴P∈α∩γ＝l3，∴l1，l2，l3相交于一点P.

1.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”为______.

★★答案★★ A∈l，l⊄α

解析 ∵点A在直线l上，∴A∈l，

∵l在平面α外，∴l⊄α.

2.平面α，β有公共点A，则α，β有________个公共点.

★★答案★★ 无数

解析 由公理2可得.

3.下图中图形的画法正确的是________.(填序号)

★★答案★★ ①③④⑤

4.空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是______.

★★答案★★ 1或3

解析 若三条直线两两相交，且不共点，则只能确定1个平面；若三条直线两两相交，且共