数学八年级-轴对称;最短路径问题

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精品.资料 三角形

第3节 多边形及其内角和

【知识梳理】

路径最短问题：运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解。所以最短路径问题，需要考虑轴对称。

典故：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：

从图中的A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？

精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．

这个问题提炼出数学问题为：设C 为直线l上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小(如图)

作法：

(1)作点B 关于直线l 的对称点B′；

(2)连接AB′，与直线l 交于点C.

则点C 即为所求．

证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由 WORD格式.分享

精品.资料 轴对称的性质知，BC ＝B′C，BC′＝B′C′.

∴ AC ＋BC＝ AC ＋B′C ＝ AB′，

AC′＋BC′＝ AC′＋B′C′.

在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，

∴ AC ＋BC＜AC′＋BC′.即 AC ＋BC 最短.

预备知识：

在直角三角形中，三边具有的关系如下：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt△ABC中，∠C＝90°，则有222ABBCAC

【诊断自测】

1、如图，直线l是一条河，A、B两地相距5km，A、B两地到l的距离分别为3km、6km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A、B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）

A． B． C． D．

2、如图所示，四边形OABC为正方形，边长为3，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D的坐标为（1，0），P是OB上的一动点，则“求PD+PA和的最小值”要用到的数理依据是（ ）

A．“两点之间，线段最短” WORD格式.分享

精品.资料 B．“轴对称的性质”

C．“两点之间，线段最短”以及“轴对称的性质”

D．以上答案都不正确

3．如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（ ）

A． B． C． D．

【考点突破】

例1、如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点F在CD上，要使△AEF的周长最小时，确定点F的位置的方法为 ．

答案：作点E关于DC的对称点E′，连接AE′交CD于点F．

解析：根据题意可知AE的长度不变，△AEF的周长最小也就是AF+EF有最小值．

作点E关于DC的对称点E′，连接AE′交CD于点F．

故答案为：作点E关于DC的对称点E′，连接AE′交CD于点F．

例2、如图所示，点P在∠AOB的内部，点M，N分别是点P关于直线OA，OB的对称点，线段MN交OA，OB于点E，F.

（1）若MN=20 cm，求△PEF的周长；

（2）若∠AOB=35°，求∠EPF的度数. WORD格式.分享

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答案：见解析

解析：

（1）∵M与P关于OA对称

∴OA垂直平分MP.

∴EM=EP.

又∵N与P关于OB对称

∴OB垂直平分PN.

∴FP=FN.

∴△PEF的周长=PE+PF+EF=ME+EF+FN=MN=20(cm).

（2）连接OM，ON，OP，

∵OA垂直平分MP，

∴OM=OP.

又∵OB垂直平分PN，

∴ON=OP.

∴△MOE≌△POE(SSS)，△POF≌△NOF(SSS).

∴∠MOE=∠POE，∠OME=∠OPE，∠POF=∠NOF，∠OPF=∠ONF.

∴∠MON=2∠AOB=70°

∴∠EPF=∠OPE+∠OPF=∠OME+∠ONF=180°-∠MON=110°.

例3、如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=2，ON=6，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是（ ）

A．2 B． C．20 D．2

答案：A WORD格式.分享

精品.资料 解析：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示：

连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．

根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，

∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，

∴∠N′OM′=90°，

∴在Rt△M′ON′中，

M′N′==2．

故选：A．

例4、如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）

A．50° B．60° C．70° D．80°

答案：D

解析：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，

∵∠C=50°，

∴∠DAB=130°，

∴∠HAA′=50°， WORD格式.分享

精品.资料 ∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，

∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，

∴∠EAA′+∠A″AF=50°，

∴∠EAF=130°﹣50°=80°，

故选：D．

例5、如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）

A．2 B．2 C．4 D．4

答案：B

解析：由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为F点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．连接BD，与AC交于点F．

∵点B与D关于AC对称，

∴PD=PB，

∴PD+PE=PB+PE=BE最小．

∵正方形ABCD的面积为12，

∴AB=2．

又∵△ABE是等边三角形，

∴BE=AB=2．

故所求最小值为2．

故选B． WORD格式.分享

精品.资料 例6、如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处，须经两座桥：DD′，EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A、B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，恰当地架桥可使ADD′E′EB的路程最短，这个最短路程是多少米？

答案：见解析。

解析：作AF⊥CD，且AF=河宽，

作BG⊥CE，且BG=河宽，

连接GF，与河岸相交于E′、D′．

作DD′、EE′即为桥．

证明：由作图法可知，AF∥DD′，AF=DD′，

则四边形AFD′D为平行四边形，

于是AD=FD′，

同理，BE=GE′，

由两点之间线段最短可知，GF最小；

即当桥建于如图所示位置时，ADD′E′EB最短．

距离为+5×2=110米．

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精品.资料 【易错精选】

1．如图，已知锐角△ABC的面积为6，AC=4，∠BAC的平分线交BC于点D、M、N分别是AD和BC上的动点，求BM+MN的最小值及画出图形．

2、作图：（1）在直线l上求作一点P，使PA+PB最小；

（2）在直线l上求作一点P，使PA﹣PB最大．

【精华提炼】

下列给出常考解题作图方法：

①()PAPB最大值

对称轴为线段时，在两个端点处取到最大值

对称，然后连线，与对称轴交点即为最小值时的情况

②()PAPB最大值 最大值PBA WORD格式.分享

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③PAPB最大值

取线段的中垂线与对称轴的交点，即为最小的情况，最小值为0

④PAPB最大值

线段连线的延长线与对称轴的交点，即为最大的情况，最大值为AB

⑤PAB△的周长最小值

若一个动点，则对称一次

若两个动点，则对称两次

A'ABP最小值ABP最小值最大值PBA一个动点，最小值PBAA' WORD格式.分享

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⑥四边形ABCD的周长最小值

情况一、两固定点两动点，对称两次，转化为两点之间线段最短

情况二、两固定点，定长度动线段，利用平移，转化为两点之间线段最短

BAP''P'P两个动点，最小值四边形周长最小值B'A'DCBA四边形周长最小值A''A'ABDC四边形周长最小A''A'DCBA WORD格式.分享

精品.资料 ⑦修桥问题：

两条动线段加平行线距离之和最短问题，利用平移，转化为两点之间线段最短

⑧多条折线之和最短：

将其中的两个点对称过去，把折线转化成两点之间线段最短问题 ABMNA'l1l2AM+MN+NB线段之和最短AM+MN+NB线段之和最短l2l1A'NMBAABCDA'D'AB+BC+CD最短ABCDA'D'AB+BC+CD最短