特殊四边形复习课

特殊四边形的动点问题

平行四边形中的动点问题

1．如图，在▱ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动(E，F不重合)，且保持BE＝DF，连接AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由．

(第1题)

菱形中的动点问题

2．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，动点E在边BC上，动点F在边CD上．

(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；

(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．

(第2题)

矩形中的动点问题

3．在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.

(1)如图①，连接AF，CE.试说明四边形AFCE为菱形，并求AF的长．

(2)如图②，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

(第3题)

正方形中的动点问题

4．如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.

(1)求证：四边形EFGH是正方形；

(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．

(第4题)

特殊的四边形培优

- 2 - 1.如图，已知在菱形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，且AE=BE，则∠EDF=______度．

1. 如图，四边形ABCD是正方形，△BDE是等边三角形，EF⊥DF,则∠BEF=________

3.如图，正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，Rt△CEF的面积为200，则BE的长为_______

FBCADE

- 3 - 4.

如图，在菱形ABCD中，AB=4a，E在BC上，BE=2a，∠BAD=120°，P点在BD上，则PE+PC的最小值为（ ）

5.如图,矩形AEFG与矩形APQK的周长都等于120cm,求△ABC的周长

6.如图，在矩形ABCD中，M，N分别是AD，DC边的中点，AN与MC交于P点，若∠MCB=∠NBC+33°，那么∠MPA的大小是（ ）

1. 边长为25cm的正方形纸片,AD上有一点P,且AP=66cm,将这纸片折叠使B落在P上,则折痕的长是________

2. 已知直角三角形ABCD中,∠C=90°,AC=3,BC=5,以AB为边向外作正方形ABEF求此正方形KGPEABCFQ

- 4 - 中心O到C点的距离OC的长________

3. 如图,已知在矩形ABCD中,E为CB延长线上一点,CE=AC,F是AE的中点.

（1）求证BF⊥DF（2）若AB=8,AD=6,求DF的长

10. 如图，已知三角形ABC中，AB=AC,点M为BC的中点，MG⊥BA于G,MD⊥AC于D,GF⊥AC于点E，GF与DF相交于点F,（1）求证：四边形HGMD是菱形（2）若∠GMD=120°，求证：从M点向所对的HG和HD边引出的两条垂线MK和MQ分别平分这两条线段.

EFQKDGMCBA

- 5 -

11．如图,将一矩形的每一内角三等分,连接靠近同一边上的两三等分线所交成4交点组成四边形EFGH,试判断四边形EFGH形状

专训一：矩形的性质与判定灵活运用

名师点金：

1.矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，同时还具有一些独特的性质，可归结为三个方面：(1)从边看：矩形的对边平行且相等；(2)从角看：矩形的四个角都是直角；(3)从对角线看：矩形的对角线互相平分且相等．

2．判定一个四边形是矩形可从两个角度进行：一是判定它有三个角为直角；二是先判定它为平行四边形，再判定它有一个角为直角或两条对角线相等．

利用矩形的性质与判定求线段的长(转化思想)

1．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，点A，点B落在点M处，点C，点D落在点N处，恰好拼成一个无缝隙不重叠的四边形EFGH，若EH＝3 cm，EF＝4 cm，求AD的长．

(第1题)

利用矩形的性质与判定证明线段相等

2．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连结OE.

求证：OE＝BC.

(第2题)

利用矩形的性质与判定判断图形形状

3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E，P分别在AD，BC上，且DE＝BP＝1，连结AP，EC，分别交BE，PD于H，F.

(1)判断△BEC的形状，并说明理由．

(2)判断四边形EFPH是什么特殊的四边形？并证明你的判断．

(第3题)

利用矩形的性质与判定求面积

4．如图，已知E是▱ABCD中BC边上的中点，连结AE并延长AE交DC的延长线于点F.

(1)连结AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．

(2)在(1)的条件下，若△AFD是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC的面积．

(第4题)

专训二：菱形的性质与判定灵活运用

名师点金：

1.菱形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有一些特性，可以归纳为三个方面：

(1)从边看：对边平行，四边相等；(2)从角看：对角相等，邻角互补；(3)从对角线看：对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．

第4讲抛物线上的特殊四边形

一、本讲概述

“特殊四边形”一般指平行四边形、矩形、菱形、正方形等。抛物线上点的“坐标探

求”，除常结合相似外，就是特殊四边形了。求解过程中，常用到代数思路或几何思路。

代数思路往往利用方程思想求坐标；几何思路往往利用特殊四边形相关性质求坐标。比

如矩形邻边互相垂直，就可利用“互相垂直两直线的k

互为负倒数”来快速表示直线解析式；

再如平行四边形对角线互相平分，就可提炼成“平行四边形所对角顶点对应坐标之和相等。

如图，平形四边形ABCD

四顶点坐标),(),(),(),(

44332211yxDyxCyxByxA、、、

.

利用对角线互相平分，结合中点坐标公式则有结论：

42314231;yyyyxxxx。

二、典例分析

例1、（2016湖北黄冈24题）如图1，抛物线2

23

21

2

xxy

与x

轴交于点A

、

点B

，与y

轴交于点C

，点D

与点C

关于x

轴对称，点P

是x

轴上的一个动点，设点P

的

坐标为

0,m

，过点P

作x

轴的垂线l

交抛物线于点Q

。

（1）求点A

、点B

、点C

的坐标；

（2）求直线BD

的解析式；

（3）当点P

在线段OB

上运动时，直线l

交BD

于点M

，试探究m

为何值时，四边形

CQMD

是平行四边形；

（4）在点P

的运动过程中，是否存在点Q

，使BDQ

是以BD

为直角边的直角三角形？

若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

图1【关键词】抛物线上平行四边形的存在、分类讨论

【分析】

（1）分别令抛物线解析式中0x

与0y

，即可求出与坐标轴的交点坐标。

（2）由对称性质求出点D

坐标，即可求直线BD

的解析式。

（3）典型的平行四边形存在性问题。如图2，连接CQ

。由于题目已经明确了是四边

形CQMD

，所以顶点顺序已经定好了。表示出相关点坐标，按坐标等式关系建方程即可。

已求

2,0C

、

2,0D，再由题意：















2

21

,2

23

21

,2mmMmmmQ、

。

由平行四边形顶点等式关系：

DQMCyyyy