2020年中考数学二次函数压轴题(含答案40页)

2020年中考数学冲刺复习资料:

二次函数压轴题

面积类

1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．

（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：

a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；

∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．

（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：

，

解得；

故直线BC的解析式：y=﹣x+3．

已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；

∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．

（3）如图；

∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，

∴S△BNC=（﹣m2+3m）•3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；

∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．

2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；

（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．

解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：

0=16a﹣×4﹣2，即：a=；

∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．

（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；

∴OA=1，OC=2，OB=4，

即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，

∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；

∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，

∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；

所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．

（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；

设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：

x+b=x2﹣x﹣2，即： x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；

∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；

∴直线l：y=x﹣4．

所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：

，解得：即 M（2，﹣3）．

过M点作MN⊥x轴于N，

S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．

3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），

∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；

（2）∵点A、B关于对称轴对称，

∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，

设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），

则，解得，

所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，

∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴抛物线的对称轴为直线x=2，

当x=2时，y=2﹣1=1，

∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；

（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，

联立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，

△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，

即m=﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，

此时x=，y=﹣=﹣，

∴点E的坐标为（，﹣），

设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），

∴AF=﹣1=，

∵直线AC的解析式为y=x﹣1，

∴∠CAB=45°，

∴点F到AC的距离为×=，

又∵AC==3，

∴△ACE的最大面积=×3×=，此时E点坐标为（，﹣）．

4.（2013•菏泽）如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=x+3的图象与y轴的交点，点B在二次函数

的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能

构成平行四边形．

（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；

（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P运动到何处时，有PQ⊥AC？ ②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？

解：（1）由y=﹣x+3，

令x=0，得y=3，所以点A（0，3）；

令y=0，得x=4，所以点C（4，0），

∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，

∴B点坐标为（﹣4，0），

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴D点坐标为（8，3），

将点B（﹣4，0）、点D（8，3）代入二次函数y=x2+bx+c，可得，

解得：，

故该二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣3．

（2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，

∵PQ⊥AC，

∴△APQ∽△CAO，

∴=，即=，

解得：t=．

即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQ⊥AC．

②∵S四边形PDCQ+S△APQ=S△ACD，且S△ACD=×8×3=12，

∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，

当动点P运动t秒时，AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，

设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽CAO可得：=，

解得：h=（5﹣t），

∴S△APQ=t×（5﹣t）=（﹣t2+5t）=﹣（t﹣）2+，

∴当t=时，S△APQ达到最大值，此时S四边形PDCQ=12﹣=，

故当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为．

等腰三角形类

10. （2012江苏扬州12分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．

(1)求抛物线的函数关系式；

(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y＝ax2＋bx＋c，

∴可设抛物线为y＝a（x＋1）（x－3）。

又∵C(0，3) 经过抛物线，∴代入，得3＝a（0＋1）（0－3），即a=－1。

∴抛物线的解析式为y＝－（x＋1）（x－3），即y＝－x2＋2x＋3。

（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P。

则此时的点P，使△PAC的周长最小。

设直线BC的解析式为y＝kx＋b，

将B(3，0)，C(0，3)代入，得：

3k+b=0b=3，解得：k=1b=3。

∴直线BC的函数关系式y＝－x＋3。

当x－1时，y＝2，即P的坐标(1，2)。

（3）存在。点M的坐标为(1，6)，(1，－6)，(1，1)，(1，0)。

（3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA＝AC、②MA＝MC、②AC＝MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解：

∵抛物线的对称轴为： x=1，∴设M(1，m)。

∵A(－1，0)、C(0，3)，∴MA2＝m2＋4，MC2＝m2－6m＋10，AC2＝10。

①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得：m2＋4＝m2－6m＋10，得：m＝1。

②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得：m2＋4＝10，得：m＝±6。

③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得：m2－6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6，

当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去。

综上可知，符合条件的M点，且坐标为(1，6)，(1，－6)，(1，1)，(1，0)。

5．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，

∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，

又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，

∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；

（2）∵抛物线过原点O和点A、B，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，

将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得

，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x

（3）存在，

如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），

①若OB=OP，

则22+|y|2=42，解得y=±2，

当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，

∴∠POD=60°，

∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，

即P、O、B三点在同一直线上，

∴y=2不符合题意，舍去，

∴点P的坐标为（2，﹣2）

②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，

解得y=﹣2，

故点P的坐标为（2，﹣2），

③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，

解得y=﹣2，

故点P的坐标为（2，﹣2），

综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2），