2020年九年级数学典型中考压轴题训练：二次函数综合大题
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• 2020年九年级数学典型中考压轴题训练：二次函数综合大题
1．（2020•九江一模）在平面直角坐标系中，直线AB与抛物线y=ax2+bx+c交于A，B（点A在点B的左侧）两点，点C是该抛物线上任意一点，过C点作平行于y轴的直线交AB于D，分别过点A，B作直线CD的垂线，垂足分别为点E，F．
特例感悟：
（1）已知：a=-2，b=4，c=6．
①如图①，当点C的横坐标为2，直线AB与x轴重合时，CD=，|a|•AE•BF=．
②如图②，当点C的横坐标为1，直线AB∥x轴且过抛物线与y轴的交点时，CD=，|a|•AE•BF=．
③如图③，当点C的横坐标为2，直线AB的解析式为y=x-3时，CD=，|a|•AE•BF=．
猜想论证：
（2）由（1）中三种情况的结果，请你猜想在一般情况下CD与|a|•AE•BF之间的数量关系，并证明你的猜想．拓展应用．
（3）若a=-1，点A，B的横坐标分别为-4，2，点C在直线AB的上方的抛物线上运动（点C不与点A，B重合），在点C的运动过程中，利用（2）中的结论求出△ACB的最大面积．
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2．（2020•佛山模拟）如图①，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D的坐标为（1，0），点P为第一象限内抛物线上的一点，求四边形BDCP面积的最大值；
（3）如图②，动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，到达点B时停止运动，且不与点O、B重合．设运动时间为t秒，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q，连接OQ，是否存在t值，使得△BOQ为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
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3．（2020•硚口区模拟）抛物线C：y=ax2+c与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），且AB=4OC．
（1）直接写出抛物线C的解析式；
（2）如图1，点M在y轴左侧的抛物线C上，将点M先向右平移4个单位长度，再向下平移n（n≥0）个单位长度，得到的对应点N恰好落在抛物线C上．若S△MNC=2，求点M的坐标；
（3）如图2，将抛物线C向上平移2个单位长度得到抛物线C1，一次函数y=kx+b的图象l与抛物线C1只有一个公共点E，与x轴交于点F，探究：y轴上是否存在定点G满足∠EGF=90°？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
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4．（2020•梁园区一模）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过O、A（4，0）、B（5，5）三点，直线l交抛物线于点B，交y轴于点C（0，-4）．点P是抛物线上一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P关于直线OB的对称点恰好落在直线l上，求点P的坐标；
（3）M是线段OB上的一个动点，过点M作直线MN⊥x轴，交抛物线于点N．当以M、N、B为顶点的三角形与△OBC相似时，直接写出点N的坐标．
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5．（2020•广州模拟）已知关于x的方程ax2+（3a+1）x+3=0．
（1）求证：无论a取任何实数时，该方程总有实数根；
（2）若抛物线y=ax2+（3a+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且a为正整数，求a值以及此时抛物线的顶点H的坐标；
（3）在（2）的条件下，直线y=-x+5与y轴交于点C，与直线OH交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，请直接写出它的顶点横坐标h的值或取值范围．
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6．（2020•清江浦区一模）如图，抛物线y=ax2+bx+6经过点A（-2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）．连接AC、BC、DB、DC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积时，求m的值；
（3）当m=3时，若点M是x轴正半轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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7．（2020•历下区校级模拟）如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点C，两函数图象分别交于B、D两点．
（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；
（2）如图2，连接AD、CD、BC、AB，判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
（3）如图3，连接BD，点M是y轴上的动点，在平面内是否存在一点N，使以B、D、M、N为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
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8．（2020•海安市一模）已知平面直角坐标系xOy中，直线y=kx-k+1与抛物线L：y=ax2-2ax+a（a＞0）相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与抛物线L的对称轴相交于点C，记抛物线L的顶点为D，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．
（1）若AB∥x轴，AB=2，求a的值；
（2）当k=1，抛物线L与y轴交于（0，2）时，设射线AE与直线BD相交于P点，求APCD
的值；
（3）延长AE，BD相交于点F，求证：四边形ECDF是平行四边形．
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9．（2020•青羊区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx-1经过点A（-2，1）和点B（-1，-1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．
（1）求抛物线C1的表达式；
（2）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；
（3）在（2）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．
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10．（2020•哈尔滨模拟）如图，抛物线交x轴于A（-2，0），B（3，0），交y轴于C（0，4）．
（1）求抛物线解析式；
（2）点D在第一象限的抛物线上，△ACD与△BDO的面积比为2：3，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，在点C与D之间的抛物线上取点E，EF∥AD交AC于F，EH⊥EF交x轴于G、交FB延长线于H，当EF+HG=EG时，求点E的坐标．
二次函数综合大题练习2
11．（2020•浙江自主招生）如图①，抛物线y=-x2+（m-2）x+3与y轴交于点C，与直线y=mx交于A，B两点（点A，B分别在第一，三象限），连结AC．
（1）当AC⊥AB时，求m的值；
（2）如图②，D是y轴负半轴上一点，且满足∠BDO=∠ACO，连结DA，DB，CB，求四边形DACB的面积．
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12．（2020•和平区校级模拟）抛物线y=21x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，其中B（4，0），C（0，2），点P为抛物线上一动点，过点P作PQ平行BC交抛物线于Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①当P、Q两点重合时，PQ所在直线解析式为；
②在①的条件下，取线段BC中点M，连接PM，判断以点P、O、M、B为顶点的四边形是什么四边形，并说明理由？
（3）已知N（0，334），连接BN，K （3，0），KE∥y轴，交BN于E，x轴上有一动点F，∠EFN=60°，OF的长为．
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13．（2020春•雨花区校级月考）如图，二次函数y=2mx2+5mx-12m（m为参数，且m＜0）的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（-4，0）．
（1）求直线AC的解析式（用含m的式子表示）．
（2）若m=61，连接BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，设点M为AC上方的抛物线上一动点（与点A，C不重合），以M为圆心的圆与直线AC相切，求⊙M面积的取值范围．
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14．（2020•浙江自主招生）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过原点O，它的对称轴为直线x=2．动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t秒．连结OP并延长交抛物线于点B，连结AO、AB．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当A，O，B三点构成以OB为斜边的直角三角形时，求t的值；
（3）请你探究：当4≤t≤5时，在点P运动过程中，△AOB的外接圆圆心M所经过的路线长度是（请在横线上直接写出答案即可）．
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15．（2020•东城区校级模拟）对于平面中给定的一个图形及一点P，若图形上存在两个点A、B，使得△PAB是边长为2的等边三角形，则称点P是该图形的一个“美好点”．
（1）若将x轴记作直线l，下列函数的图象上存在直线l的“美好点”的是（只填选项）．
A．正比例函数y=x
B．反比例函数y=x1
C．二次函数y=x2+2
（2）在平面直角坐标系xOy中，若点M（3n，0），N （0，n），其中n＞0，⊙O的半径为r．
①若r=23，⊙O上恰好存在2个直线MN的“美好点”，求n的取值范围；
②若n=4，线段MN上存在⊙O的“美好点”，直接写出r的取值范围．
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16．（2020•浙江自主招生）若二次函数y=x2-（2b+2）x+b2+2b的图象与x轴交于A，B两点，一次函数y=ax+2（a+1）的图象恒过定点C．
（1）求点C的坐标及|AB|的值；
（2）若△ABC为等腰三角形，求b的值．
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17．（2020•福建模拟）已知抛物线C：y=231x与直线l：y=kx+b相交于点A，B，直线l与y轴交于点P．
（1）当k=0时，求ABOP的值；
（2）点M是抛物线上的动点，过点M作MG⊥直线l于点G，当k=0时，求GBGAGM的值；
（3）点M是抛物线上的动点，过点M作MG∥y轴交直线l于点G，当k=2时，求证：不论b为何实数，GBGAMG的值为定值，并求定值；
（4）若将（2）的抛物线改为“y=ax2”，其他条件不变，则GBGAMG的值还为定值吗？若是，请求出定值；若不是，说明理由．
