2020中考数学 几何图形的折叠与动点问题（含答案）
1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝9，点E在BC上，CE＝4，点F是AD上的一个动点，若把△BEF沿EF折叠，点B落在点B′处，当点B′恰好落在矩形ABCD的一边上，则AF的长为________．
第1题图
3或 113
2.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P是边BC上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边AB、AD有交点，则BP的取值范围是________．
第2题图
6－25≤BP≤4
3.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝6，E，F分别是线段AD、BC上的点，连接EF，使四边形ABFE为正方形，若点G是AD上的动点，连接FG，将矩形沿FG折叠使得点C落在正方形ABFE的对角线所在的直线上，对应点为P，则线段AP的长为__________．
第3题图
4或4－22
4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，AB与CD不平行，AB＝CD＝5，BC＝12，点E是BC上的动点，将∠B沿着AE折叠，使点B落在直线AD上的点B′处，DB′＝1，直线BB′与直线DC交于点H，则DH＝________．
第4题图
511或513
5.如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝8，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N.当点B′分线段MN为3∶5的两部分时，EN的长为________．
第5题图
35511或53913
6.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P是对角线BD上一动点，将纸片折叠，使点C与点P重合，折痕为EF，折痕EF的两端分别在BC、DC边上(含端点)，当△PDF为直角三角形时，FC的长为________．
第6题图
247或 83
第２期 虞金龙：立体几何中的折叠、展开与动点问题 ・２９・
立体几何中的折叠、展开与动点问题
●．虞金龙 （绍兴市第一中学浙江绍兴３１２０００）
１考查要求
立体几何中的折叠、展开与动点问题着眼于对
学生空间思维能力的考查，立体几何中有许多形式
各异的折叠问题．一个平面图形经折叠后成为一个
空间图形，此时图形的结构发生了突变，从二维的
平面图形一跃成为三维的空间图形．而以立体几何
为载体的轨迹问题能将立体几何与解析几何巧妙
地结合起来，常常涉及函数、数形结合、建模、化归 等数学思想与方法，立意新颖，综合性强，能力要求
高，教师在教学中可集中讲解这类问题．
２考点回顾
近几年的高考试题比较注重考查知识的整体
性和交汇性．立体几何中的轨迹问题将立体几何与
解析几何有机地结合起来，解决此类问题的关键是
把空间问题转化为平面问题，然后再根据曲线的定
义或用解析法求出轨迹方程．立体几何中的折叠、
展开问题则要特别注意空间图形与平面图形之间
的相互联系．一般地，在同一半平面内的几何元素
之间的关系是不变的，涉及到２个半平面内的几何
元素之间的关系是要变化的，分别位于２个半平面
内，但垂直于翻折棱的直线翻折后仍然垂直于翻折
棱．在浙江省近３年的数学高考试题中，最近２年
考查这方面的问题有所抬头，２００８年考查１个选
择题，２００９年考查１个填空题，问题立意新、思维
能力要求高，值得关注．
３命题走势
立体几何中的折叠、展开问题需要学生有空间
想象力，难度大且思维能力要求高．动点轨迹问题
是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在
解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形，不仅
能考查立体几何点、线、面之间的位置关系，而且能
巧妙地考查求轨迹的基本方法．由于知识点多，数
学思想和方法考查充分，因此笔者预计２０１０年高
考会出这方面的试题．
４典例剖析
４．１ 折叠问题
例１ 一张正方形的纸ＡＢＣＤ，ＢＤ是对角线，
FEDABC四边形中的折叠问题
折叠可以带来全等图形，在平行四边形中，对角线把它分成全等的三角形，因此在四边形中经常会遇到折叠问题。解决此类问题的关键是要注意观察折叠前后的图形，发现它们之间的关系，找到边、角中的变量和不变量，寻找全等三角形，同时还会经常综合运用到四边形的有关知识。
一、例题讲解
例1 如图，将一张对边平行的纸条先沿EF折叠，点A、B分别落在'A、'B处，线段FB与AD交于点M，再将纸条的另一部分CFMD沿MN折叠，点C、D分别落在'C、'D处，且使MD经过点F．
（1）求证：四边形MNFE是平行四边形；
（2）当翻折角BFE∠ 度时，
四边形MNFE是菱形．（将答案直接
填写在横线上）
例2 如图，把矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，EC与AD相交于点F.
（1）求证：△FAC是等腰三角形；
（2）若AB=4，BC=6，求△FAC的周长和面积.
例3如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知cmCE6，cmAB16，求BF的长．
例4 在梯形纸片ABCD中，ADBC∥，ADCD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连结CE．
（1）求证：四边形CDCE是菱形；
（2）若BCCDAD，试判断四边形ABED的形状，
并加以证明
NEFMD'A'B'C'ABCDFEDCBA16．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝3 cm，BC＝4 cm．现将A，C重合，使纸片
折叠压平，设折痕为EF，试求AF的长和重叠部分△AEF的面积．
18．如图，E是矩形ABCD的边AD上一点，且BE＝ED，P是对角线BD上任意一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G．求证：PF＋PG＝AB．
动点问题
一、所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.
图形折叠及动点问题的相关计算
考情总结：图形折叠及动点问题的相关计算是近五年河南中招考试的重点及必考点，均在填空题第15题进
行考查，分值为3分，常见的类型有三角形折叠相关计算、四边形结合的相关计算，常见的设问为探究特
殊三角形存在时的线段长、探究动点在特殊位置时的线段长．
【方法指导】对于河南中招考试中的几何图形折叠与动点问题的计算，常涉及特殊三角形的探究及动点特
殊位置的探究．1．掌握折叠的性质是解决问题的关键．(1)折叠前后位置的图形全等，对应边、角相等；(2)折痕两边的图
形关于折痕对称；(3)折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分；2．特殊三角形：(1)直角或等腰三角形的判定：首先从可能满足直角的顶点或腰入手，通过矩形的性质、折
叠的性质或结合直角三角形勾股定理直接计算，或设出某条线段长，根据相似、勾股定理等，列方程进行
求解；3．河南中招考试中，此类问题的重点为分类讨论，即该题多为多解题，注意等腰三角形的腰，直角三角形
的直角顶点，特殊点的位置等．
1.（2017年）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=+1，点M，N分别是边BC，AB上的动
点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为21221或1．
【分析】①如图1，当∠B′MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点，于是得到结论；②如图2，当∠MB′C=90°，
推出△CMB′是等腰直角三角形，得到CM=MB′，列方程即可得到结论．
【解答】解：①如图1，
当∠B′MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点，
∴BM=BC=+；
②如图2，当∠MB′C=90°，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠C=45°，
∴△CMB′是等腰直角三角形，∴CM=MB′，
∵沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′，
∴BM=B′M，
∴CM=BM，
∵BC=+1，
∴CM+BM=BM+BM=+1，
∴BM=1，
综上所述，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为+或1，故答案为：+或1．
