函数的单调性及最大(小)值

函数的最大（小）值教学设计

【课标解读】

1．知识目标：理解函数的最大（小）值及其几何意义．学会运用函数图象理解和研究函数的性质．2．能力目标：理解函数的最大（小）值及其几何意义．学会运用函数图象理解和研究函数的性质．培养学生自主学习的能力，以及勇于探索、严谨求学的科学态度。3．情感目标：利用函数的单调性和图象求函数的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，激发学生学习的积极性．

【教材分析】

《函数的最值》是高中数学必修一第一章第三节的内容。在此之前，学生已学习了利用定义证明函数的单调性，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是求函数值域，解决恒成立问题的基础。重点是利用函数单调性求函数最值，以及与二次函数有关的最值的求解及应用。难点是有关求最值时的分类讨论问题。

【学情分析】

在教学过程中，教师创设情景，揭示课题，质疑答辩，排难解惑，通过教师的启发点拨，学生的不断探索，逐步解决求函数的最值问题。整个教学过程使学生主动参与、积极思考、探索尝试；让学生体验到了学习数学的乐趣，培养学生自主学习的能力以及严谨的科学态度，养成勇于探索、乐于实践的学风。

【教学目标】

知识与技能：

1．通过生活中的例子帮助学生理解函数最值的定义及其几何意义。

2．学会应用函数的单调性求解函数的最值或值域。

过程与方法：

1．通过本节课的教学，渗透数形结合、分类讨论的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育。

2．通过探究与活动，培养学生合作探究、自主学习的能力。

情感与态度：

1．通过本节课的教学，使学生能结合函数的单调性求函数的最值。 2．通过生活实例感受函数单调性对函数最值的影响，培养学生的识图能力和分类讨论的能力，养成科学严谨的求学态度，使之成为一种习惯。

【教学过程】

（一）问题情境．

1.引入： 喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点”后便下落，经历了先“增”后“减”的过程，从中我们发现单调性与函数的最值之间似乎有着某种“联系”，让我们来研究——函数的最大值与最小值。

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附件： 教学设计方案模板

教学设计方案

课题名称：单调性与最大（小）值

姓名： 工作单位：

学科年级： 高一数学 教材版本： 人教A版

一、教学内容分析

在研究函数的性质时，单调性和最值是一个重要内容.实际上，在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图像得出，而本小节内容，正是初中有关内容的深化和提高。给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图像上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严格的方法、最好根据图像观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性,这样就将以上两种方法统一起来了.

由于函数图像是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生作函数图像，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性、最值等性质.还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性和最值的理解.

二、教学目标

1.函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图像理解和研究函数的性质.

2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力.

3.通过实例，使学生体会、理解到函数的最大（小）值及其几何意义，能够借助函数图像的直观性得出函数的最值，培养以形识数的解题意识.

4.能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发学生学习的积极性.

三、学习者特征分析

1.教学有利因素

江苏书人教育培训中心2013年暑假 新高一数学第16讲函数的性质

第1页 共4页 新高一数学第16讲 函数的单调性

一、知识要点

1.函数单调性的定义：一般地，设函数f（x）的定义域为D：如果对于属于D内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2当x 1 ＜x 2时，都有 f（x1）＜f（x2），那么就说f(x)在这个区间上是增函数.

如果对于属于D内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x 1 ＜x 2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说f(x)在这个区间上是减函数.

如果函数y ＝f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有严格的单调性，这一区间叫做y＝f（x）的单调区间，在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.

注意：①函数的单调性也叫函数的增减性.

②函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念.

③判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：

a.设x1、x2∈给定区间，且x 1 ＜x 2

b.计算f（x1）－f（x2）至最简;

c.判断上述差的符号;

d.下结论(若差＜0，则为增函数；若差＞0，则为减函数)

2. 注意函数单调性的几种不同的表述形式：设0f1212,,,xxabxx那么：

12120xxfxfx12120fxfxxxfx在[a,b]上是增函数；

12120xxfxfx12120fxfxxxfx在[a,b]上是减函数；

3. 函数单调性的运用：① 比较函数值的大小；② 解抽象不等式；③ 求参数的范围。

4.常用结论：

①函数fx与fx+c(c为常数)具有相同的单调性；

②当c＞0时,函数fx与cfx具有相同的单调性；当c＜0时,函数fx与cfx具有相反的单调性；

2 课题：1.3.1 单调性与最大（小）值（第2课时）

授课教师：阳江市高新区第一中学 佘计超

教材：人教版全日制普通高级中学教科书数学第1册（必修1）

【教材分析】

本节教材知识间的前后联系，以及地位与作用

本节主要研究函数的基本性质中的单调性与最大（小）值。先认识连续函数的图像具有上升或者下降（单调性）的特点，并会用作差法判断连续函数的单调性。然后在学习了函数的单调性后，认识到函数可能还会在某一个地方具有最大（小）值，最后还会利用函数的单调性去求函数的最大（小）值。本节的内容用两课时完成，这里是第二课时。学好这一节，学生将会求一些常见函数的最大（小）值以及与最大（小）值有关的问题。运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题．这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法，学好本节，对于进一步完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有重要的理论价值和现实价值．

高中阶段对函数的最大（小）值的要求比较高，特别是常见的二次函数的最大（小）值问题。对于定义在某一区间[a，b]上的函数，学生总会认为所有的函数像一次函数一样，在两侧端点有最大（小）值,而在高一的函数中不一定是这种情况。通过本节的学习，学生将会对函数的变化过程有一个全新的认识，并为后面学习导数知识打下坚实的基础。本节教材还有一个重要的教育功能，那就是培养学生的探索精神，体验自主学习的成功愉悦。

【教学目标】

根据本节教材特点，结合学生已有的认知水平，制定本节如下的三维教学目标：

1．知识和技能目标

（1）了解函数的最大（小）值

（2）了解闭区间[a，b]上的连续函数f(x)，在[a，b]上必有最大、最小值。了解函数的最值存在的可能位置．

（3）掌握用图像法、单调性法求函数的最大值与最小值的方法和步骤．

2．过程和方法目标

（1）在学习过程中，观察、归纳、表述、交流、合作，最终形成认识．